基于Toeplitz化的单快拍稳健波束形成

张哲鹏　刘晓莉

摘 要： 现有的单快拍波束形成算法多是基于空间平滑原理提出的，缺点是损失了阵列孔径，且降低了系统的自由度。对此提出了一种基于Toeplitz化的单快拍稳健波束形成方法：首先Toeplitz化接收数据的协方差矩阵，然后根据约束准则得到实际期望信号的导向矢量，利用Capon法得到最优权。该方法充分利用了阵列的孔径和自由度，保证了期望信号方向的增益，且对阵列误差具有一定的稳健性。仿真实验验证了所提方法的有效性。

关键词： Toeplitz化； 单快拍； 协方差矩阵； 稳健波束形成

中图分类号：TN911 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2013）08-14-05

0 引言

传统的自适应波束形成算法要求用足够多的统计独立同分布数据来估计协方差矩阵，而实际环境往往呈现非均匀、非平稳特性，难以获得独立同分布的快拍，导致采样协方差矩阵估计出现偏差，自适应波束形成方法性能急剧下降，此时采用单快拍或小快拍数实现自适应波束形成算法显得更为有效。现有的单快拍自适应波束形成方法多是基于空间平滑原理提出的，文献[1]提出了一种基于直接数据域最小二乘（D3LS）的单快拍自适应波束形成方法，它通过空间平滑重构数据矩阵和非期望信号矩阵，利用广义特征分解得到最优权；文献[2]首先利用阻塞矩阵将期望信号阻塞，对阻塞后的信号平滑重构，得到信号子空间，将期望导向矢量向信号子空间投影得到最优权。这两种方法在得到了自适应处理所需的样本的同时，也损失了阵列孔径，降低了系统的自由度以及目标的信噪比；文献[3]针对D3LS存在的孔径损失问题提出了一种改进的D3LS方法（MD3LS），它首先通过对样本数据进行预处理，形成子阵级输出，然后通过一个变换矩阵恢复最优权维数，但它需要精确估计期望信号的复幅度，否则性能会明显下降。

理想情况下，等距线阵的非相干信号协方差矩阵具有Toeplitz性质。当存在相干源或阵列误差时，协方差矩阵不再满足Toeplitz性，而Toeplitz化可以有效地解相干[4-5]，校正阵列误差[6]，提高自适应波束形成的稳健性[7]。在单快拍情况下，阵列协方差矩阵的秩为1，显然不再具有Toeplitz性，鉴于此，本文提出了一种基于Toeplitz化的单快拍稳健波束形成方法（简记为TRB—Toeplitz Robust Beamforimg）。它首先Toeplitz化接收数据的协方差矩阵，然后根据约束准则得到实际期望信号的导向矢量，利用Capon法得到最优权。该方法既不损失阵列孔径和自由度，还对阵列误差具有一定的稳健性。

1 研究背景

1.1 信号模型

不失一般性，对信号模型作如下假设[8]：

⑴ 信号源数小于阵元数目；

⑵ 信号与噪声是统计独立的，且噪声服从零均值的高斯分布；

⑶ P个信号源为窄带远场平面波。

阵列的接收数据矢量可以写成如下形式：

其中，1?tk?L，L为快拍数，x（tk）=[x1（tk），…，xN（tk）]T，s（tk）=[s1（tk），…，sp（tk）]T和n（tk）=[n1（tk），…，nN（tk）]T分别表示tk时刻的数据矢量，信号复包络和加性高斯白噪声，（·）T表示转置操作符。a（θi）为导向矢量，且 ，A（θ）=[a（θ1），…，a（θp）]表示阵列流型，d和λ分别为阵元间距和电磁波波长。

简单起见，用A表示A（θ），k表示tk，则xk，sk，s1k，nk和n1k分别表示x（tk），s（tk），s1（tk），n（tk）和n1（tk）。

在理想情况下，等距线阵接收非相干信号的相关矩阵[9-10]为：

显然Rx为Toeplitz矩阵。式中 “（·）H”表示共轭转置，表示信号功率，为噪声功率。实际中常常用 SMI[10]（采样协方差矩阵求逆）算法来估计协方差矩阵，即

由式⑸可知，此时为秩1矩阵，存在严重秩亏，即无法直接应用于自适应波束形成。

1.2 Capon自适应波束形成

最优准则为[12]：

2 算法描述（TRB）

Toeplitz预处理[6，8]通常用于解相干源或校正阵列误差等问题，这里将它应用于单快拍的情况。通过Toeplitz化单快拍协方差矩阵，使其接近于理想的协方差矩阵，同时恢复了矩阵的秩。另外协方差矩阵的Toeplitz化处理还能使其对误差具有一定的稳健性，如阵列的扰动，通道的幅相误差等。

Toeplitz预处理主要是解决如下的优化问题：

其中，RT为所需要的Toeplitz矩阵，ST为Toeplitz矩阵集。关于⑼式的近似求解有很多种方法，比如Toeplitz近似方法（TOP）、修正的Toeplitz近似方法（MTOP）和迭代的Toeplitz近似方法（ITOP）。由于TOP和MTOP受阵元数的影响较大，在阵元数较小的情况下，性能不佳，故这里考虑的是ITOP方法，它的具体步骤为：

其中λav表示小特征值的平均。

由于Capon自适应波束形成要求精确已知期望信号的导向矢量，否则主瓣会指偏，甚至会在期望信号方向出现凹口，导致信号相消。实际中由于各种误差的存在，期望信号的导向矢量往往不能精确得到。当存在指向误差时，可以通过式（11）得到实际期望导向矢量的闭式解[13]，解决了对角加载量难确定的问题[14]，即：

其中，Un为协方差矩阵RIT对应的噪声子空间，ar，分别为实际的期望导向矢量和理想的期望信号导向矢量。表示将实际期望信号的导向矢量向理想导向矢量的正交补空间投影，约束它最小，即要求实际期望信号的导向矢量尽可能地逼近理想的期望信号导向矢量。

利用拉格朗日乘子法，可得：

式（12）为广义特征值的形式，实际期望信号的导向矢量ar为矩阵束的主特征值对应的特征矢量。

用ar和分别替代⑺式的a（θd）和，解得最优权为：

本文方法利用接收数据直接计算协方差矩阵，所以不会损失阵列孔径和系统自由度。另外，Toeplitz化协方差矩阵还对阵列误差，如阵元扰动误差，幅相误差等具有一定的稳健性，所以相对于MD3LS本文方法更加稳健。

该算法的流程图如图1所示。

3 计算机仿真分析

仿真1：均匀线阵阵元数为11，阵元间距为半波长，子阵数为L+1=6个。假设期望信号的波达方向为0?，信噪比SNR=0dB，且与噪声不相关。分别考虑非相干干扰和相干干扰两种情况，干噪比INR=50dB，入射方向为-30?，40?（假设导向矢量精确已知）。

由图2可知，当不存在指向误差时，无论是非相干还是相干干扰，MD3LS和ITOP算法都能有效地进行自适应波束形成，而D3LS算法的主波束发生了畸变，导致期望信号方向增益很低，副瓣很高，这主要是由于其孔径变小引起的。

仿真2：其余参数同仿真1，假设存在5?的指向误差。

从图3可见，当存在5?指向误差时，无论是非相干还是相干干扰， ITOP算法仍然有效，而MD3LS和D3LS算法性能很差，在期望信号方向出现了凹口，这主要是由于实际期望信号的导向矢量和理想的不匹配造成的，当指向误差较小时，主瓣可能指偏，但当指向误差增大时，会导致期望信号相消。

仿真3：均匀线阵阵元数为11，阵元间距为半波长，子阵数为L+1=6个。假设期望信号的波达方向为10?，实际中存在5?的指向误差，干噪比INR=50dB，入射方向为-30?，40?。分别观察期望信号方向的增益随输入信噪比和不同样本数据的变化。（200次蒙特卡洛实验）

由图4（a）可见，当存在指向误差时，MD3LS和D3LS算法受信噪比影响较大，信噪比越高，期望信号方向增益下降越严重，当信噪比为20dB时，分别衰减到-8dB和-18dB，而本文方法对信噪比的变化不敏感，一直保持在7.5dB左右。图4（b）表明样本数据的选取对期望信号方向的增益影响不大。

仿真4：均匀线阵阵元数为11，阵元间距为半波长，子阵数为L+1=6个。假设期望信号的波达方向为10?，信噪比SNR=20dB，干噪比INR=50dB，入射方向为-30?，40?。分别观察期望信号方向的增益随幅相误差和指向误差的变化曲线。

说明：

由图5（a）可见，三种算法对幅相误差都不敏感，但本文方法具有更好性能，保证期望信号方向增益一直保持在理论值附近。图5（b）表明，MD3LS和D3LS算法受指向误差的影响较大，随着指向误差的增大，期望信号方向增益急剧下降，而本文方法由于对实际期望信号的导向矢量与理想的期望信号导向矢量进行了约束，可以有效地校正指向误差，所以随着指向误差的增大期望信号的增益曲线变化不大。

4 结束语

实际非均匀非平稳环境中，SMI算法估计协方差矩阵将失效，采用单快拍或者极少快拍数实现自适应波束形成为人们的追求。现有的单快拍算法多是基于空间平滑原理提出的，利用空间平滑对数据矩阵进行重构，其缺点是损失阵列孔径和系统自由度。本文利用了理想情况下等距线阵非相干源信号协方差矩阵的Toeplitz性质，提出了基于Toeplitz化的单快拍稳健波束形成方法。首先直接利用接收数据形成协方差矩阵，然后对其进行Toeplitz预处理，考虑到实际中可能存在指向误差，对实际期望信号的导向矢量和标称值进行约束，得到实际期望信号的导向矢量，再利用LCMV准则进行波束形成。该方法充分利用了阵列孔径和自由度，同时，对阵列误差具有一定的稳健性。仿真实验验证了该算法的有效性。

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