条件概率的第三种解法

张晶晶

条件概率的定义：一般地，设A、B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.课本中介绍了两种解法，即P（B|A）=n（AB）/n（A）和P（B|A）=P（AB）/P（A）.

例：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？

如果三张奖券分别用X1，X2，Y表示，其中Y表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1，记C={X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1}，用A表示“第一名同学没有抽到中奖奖券”，用B表示“最后一名同学抽到中奖奖券”.

课本解法一：AB表示“第一名同学没抽到中奖奖券且最后一名同学抽到中奖奖券”，包括X1X2Y和X2X1Y这2个事件，A包括X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1这4个事件，则P（B|A）=n（AB）/n（A）=1/2.

课本解法二：C包括了6个事件，P（AB）=n（AB）/n（C）=2/6，P（A）=n（A）/n（C）=4/6，P（B|A）=P（AB）/P（A）=1/2.

下面我们介绍第三种解法.

第一名同学既然没有抽到中奖奖券，那么就只考虑剩下的两位同学和一张中奖奖券，记为Y，一张非中奖奖券，记为N.两位同学不放回地抽取，一共包括NY，YN这2个事件，則最后一名同学抽到中奖奖券指NY这1个事件，概率为1/2.

显然，第三种解法更易理解。这种解法把条件概率P（B|A）表示为A发生后剩余的含B的基本事件个数/A发生后剩余的基本事件总数.

实际上，很多条件概率都可以用这里提到的第三种解法解题.如：

1.6名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道。已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是多少？

这题理解为既然甲在第一跑道，那剩下5名同学分别排在剩下的5条跑道，那乙要排在第二跑道，是全部的1/5.

2.10件产品中有3件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第一次抽出的是次品，则第二次也抽出次品的概率是多少？

这题理解为既然第一次抽出次品，那剩下2件次品和7件正品，第二次抽出次品是9件产品中的两件，为2/9.

3.盒中有9个球，其中4个白球，3个黄球，2个黑球，从盒子中任意取出1个球，已知它不是黑球，则它是黄球的概率是多少？

这题理解为既然不是黑球，则是3个黄球和2个黑球，那它是黄球是剩下的5个球中的3个，为3/5.

那是不是所有的条件概率都可以用这里介绍的第三种方法解题呢？再来看一道例题.

已知一个箱子中装有3个红球和2个黄球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是红色的概率？

解：记摸出的2个球颜色相同为事件A，摸出的2个球是红球为事件B，由于事件A发生的同时，事件B也可能发生，故用课本给出的条件概率定义解决：

n（AB）=n（B）=C32=3，n（A）=C32+C22=4

所以，P（B|A）=n（AB）/n（A）=3/4

这道题如果用第三种解法，显然不合适了.

由此得出：条件概率P（B|A）包括两种情形.第一种情形：事件A发生后，事件B才发生；第二种情形：事件A发生的同时，事件B也可能发生.这两种情形的共同点是事件A、B都发生.如果是第一种情形，则可采用上文所提的第三种解法；如是第二种情形，则只能采用课本中介绍的条件概率解法求解.