一元一次不等式组在中考中的应用

郑丽鸿

【摘 要】当前，用一元一次不等式组的知识解决实际问题是中考的必考题，随着现代经济的快速发展，这类题常以现实生活中的经济，经营决策等热点问题为背景。本文从实际出发谈谈一元一次不等式组在经济中的应用。

【关键词】一元一次不等式组；应用

当前，中考题型越来越灵活多变，出的题目经常会从实际出发，让学生感受到身边处处有数学。这也就要求我们一线教师在平时的教学过程中，要重视数学中的实际问题。

一、考点关注

1.列不等式组解应用题的步骤

（1）认真审题，找出问题中的不等关系，设定合适的未知数，列出不等式组。

（2）解出这个不等式组。

（3）从不等式组的解集中求出符合题意的答案。

2.利用不等式组解决生活中的实际问题

通过不等式组对代数式进行比较，以确定最佳方案、获取最大利润等，考查学生对数学的应用能力。考查的热点是与实际生活密切相关的不等式组应用题。

这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用不等式组的方法求解。解决这类问题的关键是，正确的设未知数，找出问题中的不等关系，再从不等式组的解集中寻求正确的符合题意的答案。同时，要注意以下两方面：

（1）根据题目所给的信息，运用不等式的知识建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论而获解，这是一元一次不等式组应用的一种常见题型，应注意加强自我练习，以增强应用数学的能力。

（2）列不等式组解应用题的步骤大体与列方程组解应用题相同，应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词，注意分析题意，列出不等式组，然后根据不等式组的解法求解，最后根据实际意义，找出正确答案。

二、例题归类

类型一：利用一元一次不等式组解决商品销售问题

【2011 广州】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠。已知小敏5月1日前不是该商店的会员。

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？

解法分析：解决实际问题时，要注意表示不等关系的关键词，所求的结果要符合实际。

解：（1）120×0.95=114（元）

所以实际应支付114元.

（2）设购买商品的价格为x元，由题意得：

0.8x+168<0.95x，解得x>1120.

所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算。

类型二：利用一元一次不等式组进行方案设计

命题角度：

利用不等关系确定取值范围，讨论方案的可行性。

【2012 温州】温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。

（1）当n=200时，j根据信息填表：

A地 B地 C地 合计

产品件数（件） x 2x 200

运费（元） 30x

k若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？

（2）若总运费为5800元，求n的最小值。

解法分析：利用不等式组进行方案设计，首先要通过审题设未知数，列出不等式组并借此不等式组，然后通过所设未知数的实际意义，求出各种方案，进而解决最优方案问题。借助数轴求解集的公共部分是常见的方法.

解：（1）当n=200时，

①根据信息填表：

A地 B地 C地 合计

产品件数（件） x 200-3x 2x 200

运费（元） 30x 1600-24x 50x 56x +1600

②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？

（2）若总运费为5800元，求n的最小值。

解：②由题意得解得40≤x≤

∵x为整数，∴x=40或41或42

∴有三种方案，分别为：

（ⅰ）A地40件，B地80件，C地80件；

（ⅱ）A地41件，B地77件，C地82件；

（ⅲ）A地42件，B地74件，C地84件。

（2）由题意得30x+8（n-3x）+50x=5800，

整理得n=725-7x

∵n-3x≥0，∴x≤72.5

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数

∵n随x的增大而减小，当x=72时，n有最小值为221.

类型三：【2010 牡丹江市】在“老年前”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加。旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆。

（1）请帮助旅行社设计租车方案；

（2）若甲种客车租金350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？

（3）旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后，为更好的照顾游客，决定同时租45座和30座的大小两种客车。大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，为此旅行社又请了4名医生.出发时，旅行社先安排游客坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率，請直接写出旅行社的租车方案。

思路分析：找到相应的关系式是解决问题的关键.注意第三问应根据医生数及总人数来求得整数解。利用不等关系讨论哪种方案更合算。

解：（1）设租甲种客车x辆.

40x≥253+7，

解得x≥6.5；

租乙种客车y辆.

30y≥253+7

解得y≥8

若租甲种客车，需租7辆；若租乙种客车，需租9辆；

（2）租甲种客车需付费7×350=2450（元）；租乙种客车需付费9×280=2520（元）

答：单租甲种客车付费较少，需2450元；

（3）租45座的客车3辆，30座的客车5辆.

类型四：【2002 哈尔滨市】建网就等于建一所学校，哈市惠明中学为加强现代信息技术课的教学，拟投资建一个初级计算机机房和一个高级计算机机房，每个计算机房只配置一台教师用机，若干台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元； 高级机房教师用机每台11500元，学生用机每台7000元.已知两机房买计算机的总台数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元.求该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？

【特色】此题背景真实，它考查了应用方程、不等式等知识的建模能力。

【解答】建立一个由方程和不等式组成的混合组，求特解。

设该校拟建的初级机房有x台计算机，高级机房有y台计算机，

根据题意，得

解得

∵x为整数，∴x=56，57，58.同理，y=28，29.∴

答： 该校拟建的初级机、高级机房应分别有计算机56台、28台或58台、29台。

【拓展】对于混合组构成的简单规划问题，常用到消元思想，将混合组化为不等式组求解之。

用一元一次不等式组的知识解决实际问题是中考的必考题，随着现代经济的快速发展，这类题常以现实生活中的经济，经营决策等热点问题为背景。不等式与现实生活中联系非常紧密，解决好这类应用题，有助于我们在以后的日常生活中灵活应用所学知识解决实际问题。因此，对于不等式应用题的分析至关重要。

下面我就谈谈《一元一次不等式组的应用》这节课的教学设计和感受。

三、教法和学法分析

教法分析：针对学生的学习特点，情景引入从学生现实生活出发，提出了问题，以提高学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑思维能力和有条理表达思维过程的能力。让学生切实地感受到数学在生活中的应用价值，从而培养学生用数学眼光看世界的意识，引导学生去关注生活，关注社会，感受类比和化归等数学思想。

学法分析：在本节课的学习过程中，最关键的是如何建立学生的不等意识，怎样将生活问题数学化，通过仔细观察，实验、大胆猜想、不断验证、推理与交流等活动，发展学生的思维能力，从而促进学生数学观的建立。

解法探究：列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容。教学过程中，一定要反复向学生强调，在列不等式解决实际问题时，应掌握好以下三个步骤：

（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合一起来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；

（2）解出该不等式组；

（3）从已列出的不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案。

四、易错分析

学生在本节课学习时，容易了解如何审题及设未知数，但对于不等关系的寻找又容易出错。所以在教学过程中，我们应该要多引导学生怎样快速准确地找出题中的不等关系。

五、教后反思

（1）根据学生的知识结构特点，采用了三个探究和一个活动这样的教学流程。使学生能够把握住实际问题中的量与量之间的关系，从而突破构建模型中的难点，使学生能够积累分析复杂问题的经验。

（2）选择当前实事及学生身边熟悉的、感兴趣的问题，以激发学生对知识的渴望与追求，体现了数学知识与生活的联系。

（3）让学生通过探究得出运用数学知识解决实际问题的方法是：从实际问题中获取所需信息——分析、处理有关信息——将实际问题转化数学问题——解答原实际问题。在分析、解决问题的过程中发展學生用数学的眼光看世界的主动性。