函数图像中体现的辩证观点

练小青

在初中代数的函数及其图像中，蕴含的辩证观点极为丰富。这一教学内容的最大特点是“变”，即变化、变量、运动，正如恩格斯所说的“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”

现代课程理论及教学实践证明，搞好这一内容的教学，不仅可以帮助学生深化对以前所学过的基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。

一、常量与变量

辩证法认为，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。而常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的。绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，故物动则变。既然如此，相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，不妨取如下实例：1.匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量；但人在实际运动的过程中。绝对的匀速运动是没有的。如电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；但相对于某个较长时间间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量。2.某日或连续几日测量某同学的身高，可以近似地看做常量；但此同学的身高，如果从一个较长时间去看，则又是变量了。

二、运动与静止

根据人类认识事物的客观规律及初中学生的实践和知识的发展水平，我们可结合教材中的具体教学内容，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。例如，我们可以引导学生从教科书上看到的，在练习本或黑板上画出的y=x的图像去思考：这个图像表面上是静止的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘，可以发现：画成的图像表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图像永远只能是局部的，它只能是这个函数图像的一个象征物；同时这一例举也体现了部分与整体的辩证统一。

三、内容与形式

根据现行教材体系，七年级上学期，学生学习了方程的有关概念后会认为，形如y=2x+1的式子表示一个二元一次方程；九年级学生接触了一次函数概念时，会认为y=2x+1表示一个一次函数：当学生用描绘函数图像的一般方法描出y=2x+1的图像后，又认识到y=2x+1还可以表示一条直线。从哲学的角度去看，y=2x+1表示一类事物的本质联系，其内容是极其丰富的，而表达这丰富内容的形式却是相同的。这正表明，同一事物在不同的外部条件下可有多种不同的外部表现形式，相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高，他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。

四、特殊与一般

辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少有以下几个方面：1.y=kx与y=kx+b；2.y=ax2与y=ax2+k；3.y=ax2与y=a（x-h）2；4.y=ax2与y=ax2+bx+c。它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的辩证统一关系。

五、具体与抽象

现代认知科学理论告诉我们，人类对事物本质属性的认识，是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。感性认识常来之于对某些具体实践的思考；而理性认识则来之于对这些初步认识概括和抽象的过程，从而达到对事物本质属性的认识。因此只有从具体的感性认识上升发展为抽象的理性认识以后，才容易纳入原有的认知结构，才可以转化为运用的能力，才能为更高级的抽象提供基础和保证。我们可从细读教材中发现，无论是对正比例函数、一次函数、二次函数的研究，还是对反比例函数的图像及性质的讨论，都是从具体到抽象逐步展开论述和论证，从而加深对这些知识的理解。

六、量变与质变

函数及其图像中体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是很困难的，因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理解。

七、离散与连续

离散与连续是一个矛盾的两个方面，但在列表一描点一连线的过程中，连线使离散与连续得到了统一。如教科书上画y=x及y=x2的图像，均采用了由简单到复杂、从特殊到一般、由离散到连续的手法，体现了这种对立统一的关系。

总之，仔细分析教材，不难发现《函数及其图像》这一板块中，渗透和体现的上述辩证观点的内容是十分丰富的。主要观点除上面已叙述的内容之外，至少还有现象与本质、有限与无限、微观与宏观、直与曲、精确与近似、绝对与相对等内容。限于篇幅，不再一一赘述。

（责任编校：白水）