奇妙的四色问题

2013-04-29 00:31田翔仁
数学教学通讯·初中版 2013年9期
关键词:涂色数学家着色

田翔仁

绘制地图,除了要求保证其准确性外,如何给地图着色,从而能明显地区分地图上的各个区域,也是十分重要的. 很早以前,绘图员就发现,只要配置几种颜色就可以给任何地图着色了. 究竟最少要用几种颜色呢?这成了数学家们十分感兴趣的问题.

四色问题的提出

相传,四色问题是由英国青年数学家格思里提出来的. 1852年,他在绘制地图时发现,给相邻地区涂上不同颜色,只要四种颜色就足够了. 他把这个发现告诉了在大学读书的弟弟. 他的弟弟便向英国数学家摩根请教,摩根又向著名数学家哈密顿请教,但是,问题仍然没有解决……

1878年,英国数学家凯莱正式向伦敦数学学会提出这个问题,这才引起了数学界的重视. 世界上许多数学家争相进行研究,其中有数学家肯普、希伍德、闵可夫斯基等,结果仍然一无所获. 人们开始认识到,这貌似简单的题目,其实是一道超级数学难题.

四色问题的证明

进入20世纪后,证明四色问题的研究才逐渐取得进展. 1913年,美国数学家伯克霍夫改进了肯普的方法,引进了一些新技巧,导致1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图可以只用四色着色. 1950年温恩证明了35国,1968年奥尔又证明了39国,1975年有报道,已证明了52国.

为什么进展如此缓慢?主要是由于数学家提出的检验方法太复杂,工作量太繁重. 一直到1976年,美国数学家阿佩尔和哈肯利用计算机工作了1200小时,作了100亿个判断,终于证明了四色问题是正确的. 这是人类首次依靠计算机的帮助解决了著名的数学难题.

点、线、面的关系

随意画曲线的涂鸦之作也能体现数学的趣味性.

下面有一条随意画的连续曲线,起点和终点分开,我们可以用三种颜色,把它们的各个区域涂上不同的颜色.

下面我们先动手把这张地图填上颜色,再研究一下几个数量.

1. 顶点与交叉点的个数(V);

2. 连接两点的曲线段的数量(E);

3. 包括底图在内的所有大小区域的数量(F).

看看这三个数量之间有什么关系.

统计结果是:点数为10,线数为17,面数为9,然后得出10+9=17+2.

如果我们再分析下面两张特殊的地图:

它们之间都满足这样的关系,即点数+面数=线数+2.

即V+F=E+2,这个关系式称为欧拉公式.

给点涂色

这里有一个图形,上面有若干个顶点(交叉点). 如果我们给这些点涂色,并要求任何一根线的两个顶点的颜色不同,最少需要多少种颜色?

给线涂色

如果我们给这里的图形和线段涂色,并要求相邻的线段的颜色不同,最少需要多少种颜色?

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