奇妙的四色问题

田翔仁

绘制地图，除了要求保证其准确性外，如何给地图着色，从而能明显地区分地图上的各个区域，也是十分重要的. 很早以前，绘图员就发现，只要配置几种颜色就可以给任何地图着色了. 究竟最少要用几种颜色呢？这成了数学家们十分感兴趣的问题.

四色问题的提出

相传，四色问题是由英国青年数学家格思里提出来的. 1852年，他在绘制地图时发现，给相邻地区涂上不同颜色，只要四种颜色就足够了. 他把这个发现告诉了在大学读书的弟弟. 他的弟弟便向英国数学家摩根请教，摩根又向著名数学家哈密顿请教，但是，问题仍然没有解决……

1878年，英国数学家凯莱正式向伦敦数学学会提出这个问题，这才引起了数学界的重视. 世界上许多数学家争相进行研究，其中有数学家肯普、希伍德、闵可夫斯基等，结果仍然一无所获. 人们开始认识到，这貌似简单的题目，其实是一道超级数学难题.

四色问题的证明

进入20世纪后，证明四色问题的研究才逐渐取得进展. 1913年，美国数学家伯克霍夫改进了肯普的方法，引进了一些新技巧，导致1939年美国数学家富兰克林证明了22国以下的地图可以只用四色着色. 1950年温恩证明了35国，1968年奥尔又证明了39国，1975年有报道，已证明了52国.

为什么进展如此缓慢？主要是由于数学家提出的检验方法太复杂，工作量太繁重. 一直到1976年，美国数学家阿佩尔和哈肯利用计算机工作了1200小时，作了100亿个判断，终于证明了四色问题是正确的. 这是人类首次依靠计算机的帮助解决了著名的数学难题.

点、线、面的关系

随意画曲线的涂鸦之作也能体现数学的趣味性.

下面有一条随意画的连续曲线，起点和终点分开，我们可以用三种颜色，把它们的各个区域涂上不同的颜色.

下面我们先动手把这张地图填上颜色，再研究一下几个数量.

1. 顶点与交叉点的个数（V）；

2. 连接两点的曲线段的数量（E）；

3. 包括底图在内的所有大小区域的数量（F）.

看看这三个数量之间有什么关系.

统计结果是：点数为10，线数为17，面数为9，然后得出10+9=17+2.

如果我们再分析下面两张特殊的地图：

它们之间都满足这样的关系，即点数+面数=线数+2.

即V+F=E+2，这个关系式称为欧拉公式.

给点涂色

这里有一个图形，上面有若干个顶点（交叉点）. 如果我们给这些点涂色，并要求任何一根线的两个顶点的颜色不同，最少需要多少种颜色？

给线涂色

如果我们给这里的图形和线段涂色，并要求相邻的线段的颜色不同，最少需要多少种颜色？