试卷讲评的一种尝试

豆浩

数学试卷讲评课是高中数学教学的重要课型，特别对于高三，更是常规课.那么，对于一份试卷在一两节课上讲评，如何收到最好的效果？多数数学试卷讲评课都侧重于教师的“讲”与“评”，而忽视学生的“感”与“悟”，其效果甚微.有一种现象：一些考过、讲过、订正过的试题，下次遇到还会错.原因何在？笔者认为学生是考试真正的参与者和体验者.试卷讲评应从“教师的积极讲评”转移到“学生的主动参与上”.试卷讲评应以学生为主体，教师为引导，想方设法把试卷中的问题巧妙地摆出来，让学生通过独立的思考与讨论，彼此的交流与合作，从而获得真正的理解.这样印象才更深刻，记忆更久远，效果更全面远胜于教师独自讲评的千言万语.下面谈谈笔者试卷讲评的一点尝试.

一、展示错误，寻求错因

纠错是试卷讲评的重要版块，每个教师都很重视，笔者认为教师不能仅仅讲评正确答案的由来，津津乐道，有条有理，学生积极配合，看似听懂，实质还是不会.原因是学生跟着教师的思路听而自己根本没有独立思考，也没有发现自己错在什么地方，所以遇到类似的问题还会重犯.我们应寻求学生错误的源头，采用恰当的方法让学生充分暴露自己的错误，进而让他们在相互之间的思维碰撞与互相交流中自然释疑纠错，纠偏归真归正.

【案例1】：已知函数f（x）=2x+1，x≥01，x<0，则满足不等式f（1- ）>f（2x）的取值范围 .

这是模拟试卷中的一道题，错误率很高.有部分同学出现“0≤x< -1”的错误答案，原因何在？怎样才能发现学生错误的根源，并认识自己的错因呢？于是，我叫了几位成绩较好的同学回答解题的过程.

学生1：先画出函数草图（图1），由图知，当x≥0时，f（x）单调递增，所以要使f（1- ）>f（2x）成立，必须1- >2x≥0，解得0≤x< -1.

学生2：分段讨论，当x≥0时，1- >2x≥0解得0≤x< -1；当x<0时，f（x）=1，则f（1- ）>f（2x）不成立.综上得0≤x< -1.

看到了两个同学用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同学喜笑颜开，但是教室里出现更多的是不敢苟同的声音，课堂气氛立刻热烈起来，在大家的共同讨论下，终于找到了症结所在.原来学生1忽略了2x还可以小于零的情况；而学生2只按照分段函数的两段讨论，忽视了两个数分别位居不同两段的情况，还可以有 1- ≥02x<0.同时发现，本题虽是“分段函数”但无需讨论求解，直接由1- >01- >2x得出正确答案-1

通过展示错误的方式，全体学生共同参与，互动交流，通力合作，归根究底，纠偏归正，这样得出的结果学生还会忘吗？这是教师独自讲评无法比拟的，其收获的不仅仅是知识，更培养了学生自我探究、合作交流的学习精神.

二、优化解法，提高速度

纠错是首选之举，那么对于试卷中的对题就置之不理吗？他们就对的那么一致吗？特别是对于选择题和填空题，我们能否做到在单位时间内达到“对而快，快而准”呢？

【案例2】：集合A=x│ <0，B={x│x>1} ，则A∩B=（ ）.

A.{x│-13}

C.{x│-2≤x≤-1} D.{x│1

有关集合内容的小题在各种考试中排在第一或第二题的位置，属于容易题，正确率几乎每次都是100%，几乎没讲过，但一次考试中偶然发现，学生大多这样解.

解法1：由 <0得-2

上述解法中规中矩，无可挑剔.

试卷讲评时，笔者问这道题的考点是什么，学生说是分式不等式的解法和集合的运算两个考点，其他学生也不否认.

能不能有其他更好的方法？20秒内能否做出来？

另一名学生立即明白，得出解法2.

解法2：因为A∩B是B的子集，所以A∩B的范围比B的范围小.所以选D.

【案例3】：已知α，β均为锐角，cos（α-β）=sin（α-β），则tan α=（ ）.

一个学生是这样解的：

由得cos（α+β）=sin（α-β）得cos α cos β-sin α sin β=sin α cos β-cos α sin β，

整理，得cos α（cos β+sin β）=sin α（sinβ+cos β），

由α，β均为锐角，可知sin β+cos β≠0，所以cos α=sin α，tan α=1.

学生的解答的确是天衣无缝，滴水不漏，其“誓将运算进行到底”的坚毅精神，令人赞叹不已！但似乎有些小题大做.这时传来了抗议之声：

另一名学生这样解：

因为cos（ -α）=sin α，只要满足x+x′=2kл+ ，就有 cosx=sinx′，又α，β为锐角，所以，只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，tan α=1.

看来，我们在做题时特别是选择填空题我们不仅要的是正确答案，也要的是速度.要学会“先思题，再做题”，要学会“少点算，多点想”.不该算的就不算，该算的也要学会巧算、简算、估算.为高考中的解答题赢取更多的时间.有了这样的认识，发现同学们长进了不少.

【案例4】：函数y= 的最 大值与最小值和为（ ）.

发现此题利用求导无法做出来，立即用函数性质解题，因为函数y= 为奇函数，所以最大值与最小值和为0.

三、发散提升，还原本质

人们常说“万变不离其宗”，那么对于数学解题也是一样，我们只要认清它的“本真面目”，那么数学解题就显得那么的轻松自如，顺其自然.

【案例5】：（2011年高考数学浙江卷文科16题）若x，y满足 + +xy=1，则x+y的最大值是（ ）.

本题的考点是均值不等式和学生的灵活应用能力.相应的解析为：

解法1：由 + +xy=1得（x+y） =1+xy，

（x+y） =1+xy≤1+ ，解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

这是一道填空题，多数人认为这样的解法就够了，我们不妨尝试用其他方法来解，会发现有异曲同工之妙.

解法2：设x+y=t，则y=t-x将其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0.

因为关于x的方程有实数解，故Δ=（-t） -4×（t -1）≥0

解得- ≤x+y≤ ，

所以x+y的最大值是 .

解法3：设x+y=t，则y=t-x将其代入 + +xy=1中，得 +（t-x） +（t-x）=1，即 -tx+ -1=0，

用“直线与椭圆相切的条件”有Δ=（-t） -4×1×（t -1）=0

解得t= ，

所以x+y的最大值是 .

解法4：由x，y满足 + +xy=1知，x，y既可同号，又可异号，因为求x+y的最大值，故x，y同正，此时，想到余弦定理有 + -2xycos120 °=1构造三角形，再由正弦定理得 = = ，

从而x+y= sin α+ sin（60° -α）

= sin（α+60° ）

当α=30 °时，x+y的最大值是 .

解法5：令x+y=t则y=t-x原问题化为：已知3 + =1，求2a的最大值.

由3 + =1得3 =1- ≤1，即， ≤ 所以a≤ .从而2a的最大值为 .

当然此题还可用柯西不等式、向量等方法进行求解.

在平时的试卷讲评中，教师往往不做这样的引导与阐述，总是讲这种方法，那种套路，还有何种技巧.如果试卷讲评时，教师切合试题经常性地给学生还原试题的真面目，一题多解，从不同的解题方法，拓宽学生视野，并认识各种方法优劣，那么数学解题就是一种全面的思维升华，一种美好享受的过程.

试卷讲评是一种艺术，我们只是行走在探索追求的路上.“展示错误，寻求错因”“优化解法，提高速度”“发散提升，还原本质”只是笔者自己对试卷讲评的一种尝试，望尽我的一些微薄之力，能给这艺术之路增添一点光彩.

（责任编辑 黄桂坚）