“三次函数零点判别探究”的教学实录和感想

胡勇

1 探究背景

高三数学总复习的导数复习课后，有学生提出：二次函数有根的判别式，那么三次函数的根的个数能否由系数进行判别呢？对此，笔者没有立即给出答案，而是思索如何利用这个问题发动学生去自主探究，通过探究使学生熟练运用导数工具解决函数问题，让学生领悟数形结合、转化与化归、猜想和归纳等数学思想，引导学生积极参与到知识的发生发展过程中去，体验知识获取的艰辛和愉悦.

在组织学生探究之前，笔者对这个问题先行进行了探究.首先，三次函数的一般形式f（ x ）=ax3+ bx2+cx+d（ a≠0）中含有四个参数，直接探究其零点判定，对学生来说难度较大.联想到三次函数经过平移和伸缩变换后总可以化成下列形式：f（ x ）=x3+px+q.在不完全的三次函数形式里，参数减少为两个，探究的难度就大大减少了.反之，若不完全形式的三次函数零点问题解决了，一般形式的三次函数就可以先转化成不完全形式，然后再利用已有结论进行判别.

针对以上的思考，笔者设计了层层递进的疑问，每一步使学生能够做到“跳一跳，够得到”，一步步逼近结论.并且对某些公式和定理进行认真的推导，对学生的现实和数学现实中有哪些与本质类似或有联系等问题进行慎密的思考，对探究过程中学生可能出现的即时生成问题，准备好引领办法，这样才能做到胸有成竹，避免浪费宝贵的教学时间.下面是课堂实录.

2 探究实录

2.1 情境创设，引入课题

问题1 已知函数（ ）31f xxax=？+有三个零点，求a的取值范围.

设计意图 从典型的例习题联想提出新问题，从熟悉的问题而想到尚待解决的问题，从特殊的背景猜想得到一般性的结论并加以证明，这样设计可以激发学生的学习兴趣和求知欲望，提高学生的猜想和归纳能力.

（投影生1的解答过程）

3 教学体会

3.1 教师应先行考虑问题是否有探究的必要

“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开，也就是说，概念、公式、定理等的数学都要体现数学化的教学思想，要揭示数学的形成过程.什么问题可以让学生自主探究，什么问题不适合在课堂探究，根据学生的“最近发展区”如何设置探究的难度和过程，探究过程中学生可能会遇到哪些思维障碍如何启发学生解决问题，等等.这些都需要教师在组织学生探究之前应该先行探究，并解决以下两个问题：有没有探究的必要？如何确定探究的起点和探究的方式？对于那些抽象度较低、无任何知识背景的工具性知识或学生容易理解其产生或形成过程的概念或数学结论，采用接受性学习比较经济和理想.对于那些本身具有较强的经验性、演绎性或对象性的数学知识，教学中从学生日常经验或教材出发，开展数学探究性学习则是必要的.探究的起点不宜太高，应选用学生比较熟悉的背景作为切入点.将学生的兴趣和注意力引导到探究的问题中去后，探究过程应是探究课的重点所在，采用自主探索与合作交流相结合的方式为好.但要保证足够的时间和空间让学生经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程.

3.2 探究时教师要充分发动学生的积极性

苏霍姆林斯基说过：“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心创造与体验的方法来学习数学”.因此，引导学生在体验中学习，在体验中自主探究、自主发展是学好数学的关键.在学习过程中，教师通过指导、创设情境，提供信息资料、工具和情感交流等多种途径使学生在不断的“体验”中获得知识，发展能力.要给学生独立思考的时间和空间，充分用好学生的口、手和思维，让学生敢说、敢做、敢于发现问题、敢于发表见解，最大限度地让学生在体验中学习，在合作中提高，在主动中发展.只有这样学生才能真正体会和感受知识的生长过程与创作，体验其中蕴含的发现，有助于加深对概念的理解，搞清概念的内涵特征，从而提高课堂教学的有效性.

3.3 探究时教师要适时控制过程和难度

因为学生对中学数学知识之间的联系和内在的数学思想认识还具有一定的局限性，对所探究的问题难度，教师要充分把握好，并能根据学生的心理特征和学情，为学生提供丰富的案例和背景材料，引导和帮助学生提出问题，让取得数学结果的过程是一个具有坡度循序上升的探究过程.

教学调控是课堂教学活动的一个重要环节，也是确保教学探究活动顺利进行的有效手段.要提高探究学习的有效性，要求教师能够对学生探究过程进行有效调控.当学生集体遇到困难的时候，用直观的教具、图象或精辟的语言等做有针对性的启发；当学生探究误入歧途的时候，适当点拨一下探究的思路，把学生引向正确可行的方向；当学生探究的思路可行但繁琐的时候，在充分肯定的前提下鼓励学生另辟蹊径，指出更好的方法.尊重学生，信任学生，以学生为主体，时刻关注学生的学习动态适时点拨，与学生密切合作，只有这样才能充分调动学生学习的积极性、主动性，让学生在经历数学问题发现和解决的历程中体验成功的喜悦.

3.4 学生是探究的主体，教师是组织指导者合作交流者

探究的课堂体现为各种生态元素（因子）有机整合与协调运动，师生、同伴间互相激发、共同参与、合作交流、质疑探究，共同发展，持续发展，和谐发展.学生是发展的人，是学习的主体，他们有着很强的探索欲望.教师要注意角色定位的转换，由传统的知识传授者转向现代的学生发展的促进者.问题探究前先为学生提供适当的、有探究价值的背景和充分的信息，激发学生的探究热情，让学生根据所提供的信息自己设计解决思路和解决方案.在探究过程中，对学生中出现创新思维火花，要及时加以表扬，激发其奋勇直前.当学生遇到这样那样的挫折和失败时，教师要鼓励他们不要灰心，应该学会如何正确面对失败，引导他们找出问题到底出在什么地方、如何避免、怎样改进.这样有利于学生逐渐揭示数学的本质，完善对数学概念、方法、思想的理解，使学生的自主性、独立性、能动性和创造性得到真正的体现，有利于把学生培养成具有顽强意志和勇于接受挑战精神的人，有利于创新人格的塑造.