泛函微分方程零解全局吸引性研究

韩拥军

1 泛函微分方程的发展概论

1.1 泛函微分方程的概论和发展

除了理想情形,只要是具有反馈的动力系统均会出现滞后现象,如果采用传统的常微分方程对一些物理系统进行描述只会形成近似的情况,且还存在了一定的条件,在这种情况下就需要考虑含带滞后量的微分方程,比如一些具有滞后量的积分微分方程、一些存在相对复杂的偏差变元的微分方程和微分差分方程等。泛函微分方程是以上一类方程的抽象和概括。

最早的泛函微分方程是L.欧拉所提的几何问题,求一条和曲线的渐缩线相似的曲线,这样的一条曲线就满足了特殊的泛函微分方程。20世纪40年代的时候,主要研究的是微分差方程解析解,在50年代,开始转变为探讨其稳定性的研究,在H.H.克拉索夫斯基于函数空间内建立了解映射开始,滞后型泛函微分方程被确立。1978年之后加藤敏夫和赫尔共同奠立了泛函微分方程(具有无穷滞后性的)。

1.2 泛函微分方程的定理

x′(t)+[1+x(t)]F(t,[x(·)]α)=0，t≥0,α≥1 (1)的零解全局吸引性进行了分析。

在式(1)中,[0,∞]×Ct上的连续泛函为F(t,φ),x(·) 和t在[g(t),t]上的数值是F唯一依赖的数值,且x(t)的右导数由X'(t)来表示。F(t,0)≡0,t≥0。它们还要满足式(2):

-a(t)Mt(-φ)≤F(t,φ)a(t)Mt(φ),

t≥0,φ∈Ct

(2)

式(2)中的Mt(φ)=max{0,sups∈[g(t,t)]φ(s)},a∈C([0,∞],(0,∞))。如果让a=-g(0),那么式(1)的相应初始条件即:

x(t)=φ(t),t∈[-a,0]

(3)

式(3)中的φ∈C([-a,0],[-1,∞)),并且φ(0)>-1,可以证明以下定理:

F(t,φ)≥ηa(t)和F(t,-φ)≥ηa(t)

(4)

在泛函微分方程式(1)中包含了多种生态数学模型,而下述的广义时滞Logistic型泛函微分方程式(5)

x′(t)+a(t)[1-x(t)][x(g(t))]α=0,t≥0

(5)

其中在α≥1的情况下,是两个正奇数的比,a(t)和g(t)同前,我们可以发现,在式(5)中,F(t,φ)=a(t)[φ(·)]α难以满足式(2)的条件,所以定理1并不适用于式(5)。Li G[2]和王志成[3]等对式(5)解的非振动性和振动性等进行了研究,Chen[4]等对式(5)基于初始条件式(3)状况下的零解全局性进行了研究,并证明了以下定理2和定理3,如下:

(6)

本文研究的主要目的就是将条件(7)进行改善,保证方程更具一般性,当出现如下包含式(1)和式(5)的泛函微分方程式(8)

x′(t)+[1+x(t)]F(t,[x(·)]α)=0,t≥0

(8)

的状况下,α同式(1),F(t,φ)同式(1)。获得如下结论:

(9)

其中式(9)中的δ0为超越方程x+e-x=1-ln2的根,则式(8)和式(3)的各解趋近于零。

若在方程式(5)中应用上述的定理1.1,那么条件(7)将会被比它更弱的条件(9)所取代。

2 泛函微分方程的基本引理

为了证明定理4,下面将相关的几个引理罗列如下.

引理1 如果式(2)成立,那么初值问题式(8)和式(3)的解x(t;0,φ)是存在的[5],在[0,∞)上,此解还满足x(t;0,φ)>-1,t≥0。

(10)

成立，那么初值问题式(8)和式(3)的解x(t)=x(t;0,φ)满足

-1+exp[-M(eM-1)α]

引理4 不等式组

在区域{(x,y)：0≤x<1,y≥0}内仅有唯一的一个解[6],即x=y=0。

3 泛函微分方程的定理证明

现在，我们来证明定理4。

假定x(t)=x(t;0,φ)为式(8)和式(3)的解,依据引理1可知,x(t)是存在的,在[0,∞)上,而且还满足了x(t)>-1,t≥0的条件,可证明

(11)

依据引理2可知,如果x(t)是非振动性,那么式(3)是成立的,所以,只需假设x(t)为振动，使

(12)

依据引理3可知,υ的取值范围在0-1之间,u的取值范围在0和∞之间[7],对任意0<ε<1-υ,依据式(9)和式(12)可知存在t0=t0(ε)>0,保证式(13)和式(14)成立:

(13)

-υ1≡-υ-ε

(14)

x'(t)/[1+x(t)]≤a(t)υ1,t≥t0

(15)

(16)

如果在ξn≤t≤Pn的情况下,依据上式(16)和式(2)可知

由此可得

x'(t)/[1+x(t)]≤min{a(t)υ1,a(t)

其中ξn≤t≤Pn。

4 结束语

泛函微分方程应用在多个领域,如自动控制理论、医学问题、经济问题、生物学问题、人口理论等,因此研究泛函微分方程的意义重大,可在众多领域中更好的发挥作用。

[参 考 文 献]

[1] 庾建设.一类泛函微分方程零解的全局吸引性及应用[J].中国科学，1996，26(1):23-33．

[2] Li G.Oscillation Behavior of Solutions to a Generalized Nonautonomous Delay Logistic Equation[J].Ann.of Diff. Eqs.,1991(7):432-438．

[3] 王志成,庾建设,黄立宏.时滞Logistic方程非振动解的存在性[J].高中应用数学学报，1992，7(4):517-524．

[4] Chen M P, Yu J S, Zeng D G, Li J W. Global Attractivity in a Generalized Nonautonomous Delay Logistic Equation. Bulletin of Institute of Mathematics Academia Sinica,1994,22(2):91-99．

[5] 王永民．一类四阶泛函微分方程解的全局渐近稳定性[D].石家庄：河北师范大学，2007．

[6] 唐先华,周英告．一类非线性泛函微分方程的周期解及全局吸引性[J]. 数学学报中文版.2006.49(4):899-908．

[7] 汪 凯．中立型泛函微分方程周期解的存在性与全局吸引性[D].芜湖：安徽师范大学，2007．

[8] Shao Yuanfu.Periodic Solutions and Global Attractivity of Functional Differential Equations with Impulsive and Delays [J]. Journal of Ningxia University(Natural Science Edition)，2011，32(3):217-221．