基于单部两坐标雷达的目标三维定位算法

严俊坤 夏双志 戴奉周 刘宏伟 保 铮

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室，陕西 西安 710071)

引 言

传统的两坐标(Two-Dimensional,2D)雷达除了可以测量目标的距离和方位，还可以测量目标的径向速度，以及从目标回波中获取更多有关目标的信息[1]，但它不能获取目标的高度或俯仰信息.在目前的航空管理和作战指挥系统中，通常需要获得目标的三维信息.常见的三维目标定位方法主要有以下几种：1) 三坐标雷达直接测量目标的三维信息[2]；2) 两坐标雷达配合测高雷达，测量目标的三维信息[3]；3) 融合多部两坐标雷达的观测信息，测量目标的三维信息[4-10].在第一种方式中，三坐标雷达可以实时、精确地测出目标的三维信息，但缺点在于三坐标雷达生产和维护成本很高，且其技术较为复杂.在第二种方式中，两坐标雷达负责测量目标的距离和方位等信息，结合测高雷达提供的高度信息，可以得到目标的三维位置信息.这种方式实现技术比较简便，目前应用比较广泛，但是这种方式的测量过程较为复杂，难以满足实时性的需求，而且由于需要配备测高雷达，不适用于常规的2D雷达系统[4].第三种方式是近些年来兴起的一种新的定位方式，利用雷达组网的冗余信息，对目标进行三维定位.这种方式的原理是利用雷达组网在空间的多样性来完成目标三维定位.文献[5]和[6]分别研究了利用多部雷达的距离和角度信息完成目标定位的情况；文献[7]提出了利用两部雷达的距离和方位信息跟踪三维目标的方法；文献[8]对利用传感器两坐标观测实现目标三维定位这一过程进行了较为详细的研究，给出了高度误差的克拉美罗下限(Cramér Rao Lower Bound,CRLB)，并得出了许多有价值的结论.文献[9]更将前面的研究延伸到了多目标跟踪的情况.

虽然多站融合定位已成为研究热点，但这些算法都至少用到了两个或两个以上的雷达或传感器.在实际中，同一目标落入多部雷达或传感器观测区域的概率比较有限，而且多站融合定位技术需要多站同步工作和数据传输，从而限制了系统的灵活性，也使系统的工作严重依赖于雷达站间的通信情况，因此开始有学者进行单部2D雷达测高的研究[11-12].这些技术利用单部雷达提供的有限数据，能够得到目标在垂直方向上的一些信息.H. Hakl[11]等在忽略目标高度的情况下，利用单部雷达的观测数据分析了目标在垂直方向的运动情况，但其没有进行目标的三维定位；文献[12]在目标速度已知，目标远离2D雷达水平飞行的假设条件下，给出了单部雷达测高的方法，并从理论上分析了目标径向距离、目标高度等参数对测量精度的影响，但其前提条件在实际中难以得到满足.

本文仅在目标匀速运动的假设下，提出了一种基于单部2D雷达的目标三维定位方法，其本质相当于利用单部雷达不同时刻观测信息的空间多样性来进行目标的三维运动分析.本文假设2D雷达在各个时刻能够根据目标的回波测得其距离、方位和多普勒信息，并假设各测量误差相互独立，服从零均值的高斯分布.利用上述测量信息，结合目标的运动特性，即可完成目标的三维定位.本文首先从雷达测量误差开始建模，而后给出了目标三维定位误差的CRLB，最后用Taylor迭代展开的方法[13-16]完成目标位置的最大似然(Maximum Likelihood,ML)估计.计算机仿真实验验证了所提算法的可行性，并得出了一些有意义的结论.

1 系统建模

考虑如下一个假定的场景，一部两坐标雷达位于三维坐标系(x,y,z)处.目标的初始位置在x0=(x0,y0,z0)，并以v=(vx,vy,vz)的速度做匀速直线运动.那么，k时刻目标的位置xk=(xk,yk,zk)可表示为

(1)

式中T0表示采样间隔.如上所述，雷达与目标的空间位置关系如图1所示.

图1 雷达与目标的空间位置示意图

各个时刻，雷达能够根据回波数据测量目标的径向距离、方位角和多普勒信息(如图1所示).目标径向距离信息是通过测量目标反射回波相对于发射信号的时延来获得的，k时刻目标到雷达的真实距离Rk可表示为

(3)

当雷达和目标有相对运动的时候，雷达的接收信号中将会产生一个附加的多普勒频移分量fk，它与k时刻目标位置xk的关系可表示为

(4)

式中λ表示雷达的工作波长.

实际中，目标的真实信息是不可能获得的，雷达的测量往往含有随机误差.那么，雷达在k时刻的测量结果可以表示为

(5)

(6)

为了描述方便，我们将前M+1时刻的测量数据写为

(7)

式中：ΔRM, ΔθM和ΔM分别是(M+1)×1维的距离，角度和多普勒信息的误差集合.在独立高斯分布的假设下，其协方差矩阵QRM,QθM和Q可分别表示为

(8)

单部2D雷达就是根据这前M+1时刻的测量数据来估计目标的三维位置.由于这些信息存在测量误差，因此对目标进行定位时会产生误差，下节将给出定位误差的CRLB.

2 目标三维定位误差的CRLB

通常，CRLB可以给任何无偏估计量的方差设置一个下限，对于未知参数的所有取值，如果估计量达到此下限，那么它就是最小方差无偏估计量[19].

2.1 CRLB

(9)

式中：E(·)表示取期望；J(φ)表示矢量参数φ的Fisher信息矩阵 (Fisher Information Matrix，FIM),

(10)

对J(φ)求逆，即可得到参数φ的CRLB矩阵[19]：

CCRLB(φ)=(J(φ))-1.

(11)

从直观上理解，FIM包含的信息越多，估计误差的CRLB越低.

2.2 目标三维定位误差的CRLB

(12)

(13)

式中：PR,Pθ和P分别表示(M+1)×6的距离、方位角和多普勒参数的雅可比矩阵[19],且有

(14)

式中，Rk、θk和k分别表示前M+1时刻真实距离、角度和多普勒参数的集合，而PR,Pθ和P的第k列可计算为

(15)

rk表示雷达到目标的水平距离

(16)

式(15)的最后一项可计算为

(17)

将式(14)～(17)代入式(13)中，即可获得目标状态φ的FIM矩阵JM(φ)：

(18)

由式(18)可以看出，帧数M越多，用于估计目标状态的信息越多.

对FIM矩阵JM(φ)求逆，可得到参数φ的CRLB矩阵[19]：

(19)

(20)

3 目标三维位置的ML估计

对空间目标的位置进行估计时，常采用方法有两种：一是几何方法[5-6]，二是ML方法[13-16].几何方法计算简单，但分析表明，采用几何方法估计目标高度的离散性很大，经常找不到实数解，因此本文中采取优化的方式来获得目标位置的ML估计.首先，我们将式(2)～(4)重新描述为关于目标状态φ的函数：

(21)

式中：k=0,1,…,M表示时间下标.从空间解析几何来看，式(21)给出的方程组在M>2时是有解的，其中一个解就是目标的真实位置，因为这些测量信息都是源于目标的.如图2所示，上述方程组一般可解得两个高度值[8](图中的A、B两点)，即在垂直方向上存在定位模糊，原因是这组方程只用了高度平方的信息.在本文中，雷达布置在地面，取z0大于雷达高度z即可.

图2 目标三维定位示意图

此时，目标状态ML估计的代价函数可表示为[13-16]

(22)

式中：ε为惩罚因子；g(φ)为障碍函数，保证求解得到的目标高度值大于雷达的高度，

(23)

(24)

W表示观测噪声的协方差阵.在实际中，雷达在每个时刻得到的只是一个测量结果，其误差是未知的.如果将矩阵W设置为单位阵，将得到目标状态的最小二乘估计.现阶段的研究[13-16]都假设各个测量的误差已知.本文中，通过估计各个时刻回波的SNR，再根据式(6)来计算噪声的协方差矩阵W：

(25)

求解式(22)是一个非线性最小二乘的优化过程，这种问题可通过Taylor迭代展开来求解[13-16].首先，我们将d(φ)在φ=φ0附近展开成线性表达式：

d(φ)≈d(φ0)+D(φ0)(φ-φ0)，

(26)

式中：φ0是目标状态的初始解.文献[13-14]已经通过仿真验证了距离信息表达式Taylor展开的收敛性；而角度和多普勒表达式Taylor展开的收敛性则在文献[15-16]中得到了体现.

式(26)中D(φ0)为3(M+1)×6 的雅可比矩阵：

(27)

而后，将式(26)和(27)代入式(22)，并求最小值可得目标状态的ML估计[13-16]：

(28)

新求解出的φ继续用于下一时刻的初始值φ0来进行迭代，同时惩罚因子ε=ε/2，这个过程一直持续到连续两次估计结果间的差量小于一个阈值，即|φ-φ0|<γ.此时得到的φ即是目标状态的ML估计，而φ的前三个元素则表示估计得到的目标空间位置.

4 实验结果

本文针对一个在三维空间中匀速运动的目标场景，用单部2D雷达对目标进行三维定位.雷达的初始位置(x,y,z) =(3,-17.75,0) km，目标初始位置位于(x0,y0,z0)=(22.75,3,2) km，并以速度(vx,vy,vz)=(80,-40,0) m/s匀速飞行.假设雷达发射信号的有效带宽为1 MHz，波长设为λ=0.3 m，相参脉冲个数为64，接收天线孔径为24 m，观测间隔T0=6 s，一共有M帧数据用于估计目标的状态.在实验中，为了方便分析，目标的雷达截面积被认为是常数.图3给出了雷达与目标的位置示意图.

图3 雷达与目标的空间位置关系

各个时刻，为了得到距离、方位和多普勒信息的测量误差，各部雷达需要估计回波的SNR.图4给出了各个时刻回波SNR的估计结果.估计的方法是小样本情况下的ML估计法[19]，初始SNR设置为20 dB.

图4 各个时刻回波SNR估计的结果

根据结果可以看出，SNR的测量是较为精确的.根据估计的SNR，即可计算各个测量值的误差并完成目标的三维定位.下面，我们分析各参数对定位精度的影响.文中，目标的定位精度用空间位置的均方根误差(Root Mean Squared Error,RMSE)来描述

(29)

图5在初始SNR设置为20 dB，以及目标初始位置及速度相同的情况下给出了目标定位精度与观测时间长短(即帧数M)的关系.由结果可以看出，观测时间越长，定位精度越好.从图5还可以看出，大约在200 s以后，目标的定位精度下降到500 m以下.直观原因在于，用于估计目标状态的信息增加，使得目标定位精度更高.

图5 观测时间与目标定位精度的关系

在假设目标与雷达水平距离相同，且初始SNR不变的情况下，图6分析了目标高度对定位精度的影响.当目标飞行高度低于1 500 m时，定位误差的CRLB大于1 000 m.这说明单部雷达无法对低空目标进行定位.而当目标高度较高时，单部雷达可以较为精确的进行定位.目标的高度越高，定位精度越好.

图6 目标高度与目标定位精度的关系

最后，在保持其它参数及目标运动方向不变的前提下，图7给出了目标速度的大小与定位精度的关系.可以看出，随着目标速度的变快，定位精度逐渐变好.当目标速度大于200 m/s时，目标的定位精度可以达到500 m左右.

图7 目标速度与目标定位精度的关系

以上几个仿真实验验证了本文提出方法的有效性和可行性.总的来说，雷达的定位精度与回波SNR、帧数M的大小、目标飞行的高度和速度大小，以及雷达和目标之间的相对位置有关.通过上面的仿真，可以得出如下结论：

2) 定位的精度与用于定位的帧数M也有关系.根据式(18)，当帧数M越大时，FIM矩阵包含的信息越多.同理可知，目标的定位精度会随M的增加而提高.

4) 目标的定位精度，随目标运动速度的增加而变好.直观原因在于：单部雷达是利用不同时刻目标的空域信息来完成三维定位的，目标的运动速度越快，在相同的测量帧数M内，雷达获得信息的空间多样性越丰富，因此定位精度越高.

5 结 论

在目标作匀速运动的假设下，本文提出了一种利用单部2D雷达完成目标三维定位的算法.在提出的算法中，利用目标的运动特性，结合多个时刻单部2D雷达的测量值，对目标的三维空间位置进行ML估计.计算机仿真实验验证了所提算法的可行性，并得到了一些有意义的结论.计算机仿真实验结果表明，单部雷达的测量时间越长，目标与雷达的高度差越大，目标速度越快，定位精度越高.值得注意的是，本文的方法对雷达各个测量值的精度都有较高要求，而单雷达目标测量通常具有近距离探测精度高、远距离探测精度低的特点.这是因为在相同测距误差的前提下，随着测距的变大，由方位误差带来精度误差将越来越大.当测角误差达到一定程度的时候，会导致三维定位的误差变得不可接受.因此，单部雷达的三维定位范围也是有限的.同时，单站的位置不可避免的会存在误差，本文中也未给予考虑.站址误差会影响雷达距离、方位角和多普勒测量的精度，进而导致目标定位精度下降.下一步的工作中，将对站址误差对定位精度的影响进行研究，并结合实际数据来验证算法的有效性.

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