基于外点法的海上蒸发波导反演研究

王绍班，孙小东，田文飚，芮国胜，王 斌

(1.海军航空工程学院信号与信息处理山东省重点实验室，山东烟台 264001;2.海南省三亚市92056部队司令部，海南三亚 572000)

0 引言

蒸发波导是一种特殊的大气状态，容易影响无线电波传播，一方面，能降低微波频段电波传播路径的传输损耗，进而实现超视距电波传播;另一方面，能够影响电波传播路径，进而改变雷达探测盲区、增大导航定位误差等。现在，海洋事业的全方位发展对海况的获取能力提出了更高的要求，而蒸发波导在海面上几乎时时存在，因此准确地对蒸发波导信息进行实时反演对海上船与船的超视距微波通信、雷达盲区及导航设备的准确探测与定位具有重要的战略意义。

国外对蒸发波导的研究相对较早，到目前为止，在理论和实验方面都取得了很大的进展［1，2］，并实现了利用GPS散射信号进行蒸发波导参数反演。近年来，由于大气波导在海洋事业上意义突出，国内开始对大气波导进行相应的理论研究［3－5］，并取得一定成果，但是在波导反演方面，研究仍在初期阶段。

利用GPS散射信号对蒸发波导参数进行反演研究过程中，仿真的GPS散射信号功率与波导参数存在着非常复杂的非线性关系，要想得到一定精度的波导参数，需要寻求优化算法进行优化。现有的智能优化算法比较多，如遗传算法［2］、模拟退火算法［2］、粒子群优化算法［6－8］和贝叶斯算法［2］等。蚁群算法最早由 Morigo M 提出［9，10］，2009 年，王波［11］利用蚁群算法对蒸发波导进行反演研究，2012年，左雷［12］和何然［13］分别采用遗传算法和结合了正则化方法的遗传算法进行大气波导反演，这种对传统方法的改进为大气波导的反演提供了新的思路。总的来说，传统方法中的蚁群算法是基于群体智能，能够实现全局智能搜索，而且具有鲁棒性、正反馈、分布式计算，以及易于其它算法结合等优势［11，14，15］，因而被广泛应用并取得了较好的效果，但是也不免存在传统遗传算法的通病，即反演速度慢，早熟收敛。

在GPS散射信号反演海上蒸发波导的背景下，基于双参数蒸发波导模型，运用一种约束最优化方法——外点法(外部惩罚函数法)［16］进行目标函数搜索，从而进行蒸发波导反演。实验的目的是为了验证算法的优越性，所以不考虑接收机的灵敏度等问题。

1 外点法(外部惩罚函数法)

1.1 双参数蒸发波导模型

在对流层大气中，大气折射率N可以表示为［17，18］

式中，T代表大气温度，单位为K;P是大气压强，单位为hPa;e是水汽分压，单位为hPa。在实际的大气研究中，为了方便研究，通常对大气折射率做出如下修正，修正折射率 M 可表示为［17，18］

式中，z代表高度，单位为m;re代表地球半径，单位为m。

当大气折射率N满足式(3)，即修正折射率M满足式(4)时，会产生大气波导现象。

大气波导主要分为三类:表面波导、抬升波导和蒸发波导。本文主要关注蒸发波导，所以给出蒸发波导模型，如图1所示。

图1 蒸发波导模型

图1的蒸发波导模型可以从式(5)参数模型［19］中选取，得出如下双参数蒸发波导模型公式。

式中，z代表高度;M0为海面修正折射率，M0=330;c0为中性层结折射率剖面有关的经验值，c0=0.13;z0代表粗糙因子，z0=0.00015;c1的合理取值区间为［－1，0.4］，边界层的典型值取 0.13［20］;zb的取值范围为［0，500］;zd由式(6)决定。

1.2 外点法基本思想

为了说明外点法的基本思想，引入下例。

例 考虑仅有一个不等式，一个变量的问题

此时，可行域R=(－∞，－1］，目标函数图形可行域，如图2所示，显然X*=－1。

图2 目标图形函数可行域

从直观上讲，若不考虑约束，曲线Y=X2的最小点在=0处达到。距X*较远，如果保持曲线位于可行域(－∞，－1］上方的部分，即图中实线部分不动，而把曲线右边部分逐渐向上拉起(向上拉起时，保持整个曲线是光滑的)，那么所得曲线的最小点横坐标就会逐渐向X*靠拢，可以用数学描述为

拉起的目标图形函数，如图3所示。当m从零逐渐增大时，函数P(X，m)就对应于上述逐渐拉起的曲线，如图3所示。可以设想当m充分大时，P(X，m)的无约束极小点就会充分接近X*，事实上，能直接求出P(X，m)的极小点。，解得，当m→+∞时(m)=－1=X*，这与预期结果一致。

图3 拉起的目标图形函数

从此例可以看出，外点法(外部惩罚函数法)，它对违反约束的点在目标函数中加入相应的“惩罚”，而对可行域内的点不予惩罚。此法的迭代点一般在可行域外部移动。随着一个无约束问题的求解转到另一个无约束问题的求解，惩罚逐次加大，从而迫使迭代点向可行域靠近。

1.3 外点法反演蒸发波导原理

对于双参数蒸发波导模型，有蒸发波导高度d和斜率c1两个参数，目标函数关系复杂，因此本文采用外点法进行目标函数搜索。

利用GPS散射信号进行海上蒸发波导参数的反演，实际上就是把实测的GPS散射信号功率与仿真的GPS散射信号功率进行对比，通过对正向传播中蒸发波导参数的不同设置，得出不同的仿真功率，选出与实际测量功率最匹配的仿真功率，此仿真功率对应的波导参数值便是需要反演的波导参数。因此，从数学角度看，蒸发波导参数的反演归结为实际测量功率与正向仿真功率之间最小值求解问题。

基于外点法的蒸发波导反演具体步骤如下。

(1)GPS散射信号功率离散化

为了外点法搜索目标函数方便，需要将实测的GPS散射信号功率进行离散化，得到离散距离为r1，r2，…，rN的N个离散功率，即得到一个散射信号的实测功率序列，如图4所示。以此功率序列作为反演过程输入。

图4 离散的实测GPS散射信号功率曲线

(2)建立双参数蒸发波导模型

波导模型的准确与否直接关系到整个反演过程的准确性。根据参数模型［19］，利用式(5)建立如图1的双参数蒸发波导模型。

(3)GPS散射信号正向仿真功率求解

任取一组维数为m的蒸发波导高度d作为初始值，即可得到m个蒸发波导M剖面，根据抛物方程法(PE)求解正向传播的路径损耗L，再根据雷达式(9)计算得到一个m×N维的GPS散射信号正向仿真功率矩阵。

式中，r为水平距离;σ0为散射系数;C为常数，与GPS发射功率、天线增益等系统参数相关，对反演结果影响不大。

(4)目标函数的确定

目标函数是用来描述实测的GPS散射信号功率和仿真的GPS散射信号功率的符合程度。通过对两种功率数据的分析比对，发现数据稳定性良好，因此，采用功率的均方误差作为目标函数，即

(5)外点法搜索目标函数极小值

针对本文的双参数蒸发波导模型，利用外点法对目标函数搜索极小值，即对应的约束问题为

构造罚函数

式中，mk为第k步迭代时的罚因子，mk+1＞mk。

ui(gi)为单位阶跃函数，即

若设R是式(11)的可行集，则

这样，约束最优化问题变成了如下无约束最优化问题

由外点法的有关定理［16］可知:当选定mk后，由无约束问题式(12)解出的极小点若属于可行域，则它就是约束问题式(11)的极小点，若不属于可行域，则肯定不是约束问题式(11)的极小点了。这时，就应该增大mk，重新求解无约束问题式(12)，迫使新的极小点向可行集靠近，直至搜索出极小值。

2 实验结果及分析

为了验证在GPS散射信号反演海上蒸发波导的背景下，所运用的外点法进行目标函数搜索在反演过程中的准确性和实时性等指标，做出如下几个实验。实验中选取了应用广泛的蚁群算法作为对照，蚁群算法的初始参数设置如下:蚂蚁个数m=40，最大迭代次数 Mc max=30，挥发系数 ρ=0.8，常数概率 P0=0.2。

实验目的是为了验证算法的优越性，所以不考虑接收机的灵敏度等问题。因此，实验中，有蒸发波导高度d和斜率c1两个参数，假定波导高度真值、斜率值，由此得出的功率矢量看作实测的GPS散射信号功率。前期实验过程中，对两个参数同时设置并搜索目标函数极小值，根据参数及目标函数的数据，仿真得到的是三维图形，观测性不强，不利于算法的比较;因此，在下述实验中，分别对两种算法的目标函数仿真数据进行求和取平均，以此得出的数据作为算法比较的指标。

利用抛物方程法求解正向仿真功率中，σ0采用积分方程的矩量法(MOM)进行计算［21］。常数C对反演结果影响不大，根据实际情况，取C=150。

2.1 实验一 误差分析

首先，选取蒸发波导高度为5 m、斜率c1取典型值－1时所测量的功率作为实际测量功率序列然后，蒸发波导高度d从［5，40］搜索，步长取0.1 m，斜率 c1从［－1，0.4］搜索，步长取 0.01，可以得到351×141组仿真功率序列，分别与实际测量功率按所构建目标函数进行计算，根据外点法进行多次搜索迭代，选出目标函数最小值及所对应的波导高度值和斜率。

依此类推，蒸发波导高度d在区间［5，40］，步长取0.1 m，斜率 c1在区间［－1，0.4］，步长取0.01，依次选取数值，并以此时的测量功率作为实际测量功率，重复上述步骤，迭代选取目标函数最小值及所对应的波导高度值和斜率。

需要注意的是，实验中选取外点法中的一个重要参数——罚因子作为横坐标，如式(12)中的mk，每一个罚因子对应一组蒸发波导高度d和斜率c1。

不同蒸发波导高度、不同斜率时，两种算法目标函数值的求和平均，即平均功率差值比较曲线，如图5所示。可以看出，外点法搜索出的功率曲线更接近实际测量功率曲线，误差更小。

图5 随罚因子变化算法平均功率差值比较

不同蒸发波导高度、不同斜率时，两种算法反演出的使目标函数最小的波导高度值与实际波导高度值的平均差值比较曲线，如图6所示。可以看出，外点法搜索出的波导高度值更接近作为真值的波导高度，误差更小，更稳定。

图6 随罚因子变化算法平均波导高度差值比较

2.2 实验二:迭代次数

选取蒸发波导高度13 m作为波导高度真值，经过计算，外点法和蚁群算法反演出的波导高度值分别为14.2 m，15.1 m，两种算法优化解随迭代次数变化，如图7所示。

图7 两种算法优化解随迭代次数变化

同时，从图7可以看出，外点法较蚁群算法能够以更少的迭代次数选取出优化解，而且优化解更准确。

3 结语

在GPS散射信号反演海上蒸发波导的背景下，基于双参数蒸发波导模型，运用外点法进行目标函数搜索，从而进行蒸发波导反演。假定波导高度真值，由此得出的功率矢量看作实测的GPS散射信号功率，同时，在一定波导高度范围内逐一进行搜索，搜索到的每一个高度值对应的功率矢量即为仿真的GPS散射信号功率，根据目标函数，分别与实测值进行比较，最接近的一组功率矢量对应的波导高度即为反演得到的最优值。经过仿真验证表明，相对于蚁群算法，外点法反演速度快，迭代次数少，计算结果精度较高。

能否进一步提出更优的反演算法使得更能适应GPS散射信号反演蒸发波导的需要是下一步的工作重点之一。

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