实时子结构试验在数值积分和控制方面的研究进展

贾传果 李 可 杨绍钊 张付杰 王 维

(1.重庆大学土木工程学院，重庆 400045;2.山地城镇建设与技术教育部重点试验室，重庆400045;3.济南四建(集团)有限责任公司，济南 250031)

1 实时子结构研究概述

实时子结构试验方法是近年来发展较为快速的一种新型结构抗震试验方法。该试验方法对结构中物理特性复杂且不易用数值方法模拟的部分进行实时加载，其余部分用数值方法进行模拟，能够降低简化数学模型给单纯数值分析方法计算结果带来的误差，也能够避免单纯动力试验方法的高成本，减小物理模型的试验规模，从而更方便地进行大比例尺甚至足尺试验。

实时子结构试验是试验加载和计算机模拟的混合试验技术。由于试验性能的速度相关性和试验加载的实时性，使得实时子结构试验在数值积分方法、试验系统的加载控制和试验系统累计误差等方面比拟动力试验更复杂。尽管进行实时子结构试验的想法在20 世纪80年代就出现了，但是由于条件的限制(如计算、数据的交换以及作动器的加载)，直到1992年Nakashima 等［1］才首次发表了实时子结构的试验研究成果。该试验将一个位于多层建筑基底的阻尼器作为试验子结构，而将建筑物凝聚成一个线性的单自由度系统。此后，一些学者相继开展了这方面的研究。

目前实时子结构试验的研究处于起步阶段，已有研究成果［2-10］仅限于小规模结构的试验，大部分试验中物理子结构和数值子结构的耦联也仅仅通过单个作动器实现;而且数值模型也很简单，只有一个或几个自由度，很多情况下只考虑线性数值子结构模型［11］。要进行复杂的实时子结构试验，还存在许多难题，如数学模型的计算时间、整体稳定性和误差控制，作动器时滞补偿以及多轴试验时加载系统自身的相互作用等问题。针对上述问题，近年来国内外很多学者也对控制方法［5-15］和数值积分方法［16-22］进行了大量的探索和改进。

2 实时子结构试验的数值积分方法

Newmark-β 法、中心差分法等实时子结构试验积分方法是在拟动力试验的基础上提出来的，均以Euler-Lagrange 形式的二阶动力方程为基础。实时子结构试验需要模拟实际荷载速率进行加载，也即每一个加载步骤必须在几个毫秒内完成，因此数值子结构的计算必须在非常短且固定的时间内完成，它对数值积分方法的计算效率、精度和稳定性提出了更高的要求。

虽然隐式积分方法大多无条件稳定，有些还具有较好的能量耗散特性，但在积分过程中需要反复迭代，不适合对路径敏感的非弹性结构;对于非线性结构而言，所需要的迭代次数随非线性程度的不同而不同，因此很难采用相同的积分步长。显式积分方法可以避免上述问题，但由于其稳定性条件的限制，对于复杂结构而言需要非常短的计算步长以致无法实现;对于带有粘滞或粘弹性阻尼器的试验而言，实时加载的特性不仅需要显式的位移求解还需要显式的速度表达式，显式和隐式方法的概念在此就发生了变化。

中心差分法是一种常用的显式积分方法，但它无法得到显式的速度表达式。文献［16，18］采用了位移向前的差分的方法求解目标速度，并称该方法为实时子结构中心差分法。除此之外，Nakashima 等［1］还采用速度向前差分的方法预测目标加速度，即实现了中心差分法中速度和加速度的显式化。对于显式Chang 方法和显式Newmark方法，文献［23］提出了显式的速度表达式，把拟动力意义上的显式方法转化为实时子结构意义上的显式方法。同时文献［24，25］也对显式Chang法［26］作了等效的修正。上述显式化的修正满足了实时子结构显式方法的要求，但是原有方法的无条件稳定性也随之丧失［18，23，24］。

为了得到满足实时子结构试验要求而又无条件稳定的显式积分方法，文献［17］把算子分裂法(Operator-Splitting Method)应用于实时子结构试验。另外，文献［27］基于离散控制理论提出了显式积分方法-CR 法，与显式Chang 法不同之处是该方法不仅包含显式的位移表达，还具有速度的显式表达。这些显式方法(包括显式Chang 法)在数学上也称之为线性隐式方法，它们是把固定次数的迭代嵌入积分方法的表达式中，这样可以在保证原隐式方法无条件稳定性的基础上降低计算量。

为了在实时子结构试验中采用数值特性优越的隐式积分方法，吴斌等［9］提出了隐式实时子结构试验方法－等效力控制方法(Equivalent Force Control Method)，该方法的本质是利用力反馈控制环代替数值迭代来求解非线性方程。为了避免迭代对路径相关的结构带来的失真影响，Shing［21］采用了定迭代次数的牛顿迭代法对位移命令进行二次插值以间接控制速度，并在迭代结束后采用初始刚度来修正残余误差以降低迭代次数不足的影响。文献［28］把Shing 迭代思想引入到α 方法中，并应用于实时子结构试验。Bayer等［8］为了避免隐式积分方法带来的积分步长内的迭代，将固定积分间隔内的计算分为若干积分步，并通过控制子步的数目来控制试验精度。

为了保证作动器的连续实时运行，Nakashima等［1］提出一种交错的中心差分法，该方法采用的积分步长是试验运行步长的两倍且相邻积分过程在时间上有一个试验运行步长的重合，即在已知2n－3 到2n 步位移的前提下，由2n－3和2n－1步的位移预测2n +1 步的位移，下一个过程是由2n－2和2n 步的位移计算2n +2 步的位移。为了解决同样的问题，Nakashima和Masaoka［29］采用考虑内外插值的的中心差分法，该方法将数值子结构的计算过程分为动力方程的求解和输出信号的生成两个任务——在积分过程完成之前输出信号用已知位移的外插计算，积分过程完成后输出信号用内插计算。

在实时子结构试验中，除了上述常用的二阶积分方法外，其他还有Rosenbrock 方法［23，29］、Tustin 法［30］、一阶保持器法［5］等一阶积分方法。Darby 等［5］采用数字控制中的一阶保持器方法，这种方法的一个缺陷是要进行指数矩阵运算;另外，为了反映时间剧烈变化的荷载对地震的影响，还在数值积分方法中采用了积分形式。Bursi 等［23，31］把Rosenbrock 方法引入实时子结构试验中，该方法也是一种线性隐式的方法，可以提供显式的位移和速度表达式，并具有较好的高频稳定性;为了确保作动器的连续实时运行，还提出了基于参量控制的预测——代入法。

对于积分方法而言，除了上述直接积分方法(Direct Integration Method)，还有耦合积分方法［32］。这一方法在拟动力试验和多体动力系统等方面应用广泛，在实时子结构试验上的应用比较少。为保证连续拟动力试验的连续加载，文献［33-35］在Newmark 方法的基础上提出了并行的耦合积分方法——PM Method，该方法用不同的数值积分过程来求解数值子结构和物理子结构，利用拉格朗日算子的预设、代入和同步来考虑数值子结构和物理子结构的界面问题。为利用积分方法的高频过滤作用，Bursi 等［36］把PM 方法的思想应用到α 方法上形成了PM-α 方法，并对PM方法和PM-α 方法的稳定性和精度进行了系统的分析。在实时子结构试验方面，文献［20］提出了基于耦合积分方法的实时子结构离线仿真方法和现场试验方法。离线仿真方法也是用不同的积分过程来求解数值子结构和物理子结构，利用迭代的思想来实现界面的实时耦联;而现场试验则是通过对已知位移的进行外插来实现界面的实时耦联。两种耦合积分方法的不同之处在于:一个是通过拉格朗日算子来保证界面耦联;一个是通过迭代来保证界面耦联。

上述各种数值积分方法的稳定性和精度在相关的文献中都有详细的分析，同时部分方法在实时子结构试验中的稳定性和精度也得到了系统的研究。清华大学的迟福东等［37］则对时滞稳定性问题进行了研究，结果表明由于时滞的存在，子结构的拆分需满足一定的需求才能保证试验系统稳定。文献［23］对基于直接积分方法实时子结构试验的绝对稳定性和精度进行了系统的分析，结果表明子结构的拆分需满足一定的限值才能保证试验的绝对稳定性;同时精度降低为一阶精度;从谱分析中发现这样的试验方法本身就引入了数值阻尼，且数值阻尼的大小不可控(不仅对高阶响应有过滤的作用，而且还影响低阶响应)。哈尔滨工业大学的吴斌等［16］提出了一种结合数值仿真确定放大矩阵的方法来验证试验的绝对稳定性，研究表明，随质量比、频率比的增大，试验的稳定界限减小;随阻尼比之比、控制器增益Kp的增大，稳定界限先增后减。

对于实时子结构试验积分方法一个值得研究的问题是，如何保证一个稳定性的数值积分方法在实时子结构试验框架下的稳定性和精度。另外，如何利用一些积分方法的高频过滤特性(过滤高频响应和试验误差并不影响低频响应的精度)也是一个值得研究的方向。

3 实时子结构试验的控制系统及控制方法

试验子结构加载的实时性要求试验系统必须在每个时间步长内快速准确平稳地实现所给的目标指令，这不仅需要高效稳定的数值积分方法，同时还需要有可靠的控制方法和相关的试验设备，以保证子结构间的力平衡条件和位移协调条件。

实时子结构试验的加载设备大致有以下两种类型:一是利用作动器将计算位移直接作用到物理子结构上［3］;二是将物理子结构置于振动台上进行试验［14］，通过振动台来施加计算位移。除加载设备外，实时子结构试验还需要伺服控制器、位移传感器、力传感器和计算机等硬件设备。实时子结构试验所包含的软件设备主要有Matlab 及其工具箱Simulink、Real-Time Workshop和xPC Target［28］。各国学者所建立的试验框架，在试验系统的硬件和软件设备方面大致相同但略有差异。Nakashima 等［31，38］的实时子结构试验加载系统采用的是电液伺服系统，试验的控制由数值伺服控制器、DSP 板以及与之相连的D/A转换器和A/D转换器完成，数值子结构的积分以及位移信号的生成则是在装有另外一个DSP 板的计算机中进行。Blakeborough 等［30］的实时子结构试验加载系统采用Instron 公司的电液伺服系统，试验的控制由Microstar DAP 2400a 板和8800 控制器形成的控制环路完成。Bonnet 等［10］的实时子结构试验采用了dSpace 数字信号处理卡，dSpace 卡也是DSP 板的一种，加载于dSpace 卡的程序可以用Matlab 中的Simulink 编辑。Jung 等［28］的试验采用美国MTS 公司的数字控制系统作为液压伺服作动器的控制器，试验中采用一对PC 机求解运动方程并产生目标位移，PC 与作动器的控制器之间用SCRAMNet 连接，以减小信号传输时滞。Bursi 等［18］采用了伺服电机驱动的滚珠丝杠作动器和dSPACE DS1104 RD 控制板，试验系统的控制是通过一个PID 控制器和基于多项式的时滞补偿方法［7］来实现的。文献［39］在欧盟项目SERIES 的框架下建立了一个实时子结构试验框架，试验的加载系统采用了四个电推力作动器，并由AC890 元件控制。国内哈尔滨工业大学吴斌等［9］的实时子结构试验采用的是MTS 电液伺服作动器，由MTS 试验控制计算机完成。而清华大学实时子结构试验系统采用的则是MTS 电液伺服振动台加载系统，控制器为MTS469D 控制器［40］。

加载系统的动力特性决定了作动器在一定的频率范围内很难快速并准确的施加指定的位移，这就是所谓的Actuator dynamics［10］，它通常表现为时滞和幅值误差。这种现象对于Open-loop 控制的试验(如振动台试验)来说影响不大，至少可以采用常规的补偿办法降低其影响。但对于Close-loop 控制的实时子结构试验来说，其影响不可轻视。即使是很小的差别，也会在控制闭环中累积到下一步的作动器位移命令中，最终会导致过大的误差积累，甚至造成试验过程的失稳。对于这种现象，一些学者提出了相应的时滞补偿方法。Horiuchi 等［2］认为时滞的影响可以看作是给结构附加了一个负阻尼，当这个负阻尼大于结构本身的阻尼时，试验将失去稳定性;为降低时滞的影响，他们提出了基于立方外插的时滞补偿方法，即采用立方外插的办法计算将来某一固定时刻的位移用以作为下一时刻的目标位移。这种简单有效的方法被很多学者［3，30，31，41］所采用。后来，Horiuchi 等［12］又提出一种基于线性加速度的位移预测方法，即假设预测步的加速度由上两步的线性外插得到，然后利用本时刻的速度和加速度以及预测步的加速度求得预测位移。这种新方法使得试件的质量范围提高了3 倍，频率范围提高了40%。Darby 等［13］的研究表明，作动器的时滞还受试验试件的影响，相对于作动器来讲试件的结构特性越刚所造成的时滞就越大;为此，他们在线性控制理论的基础上提出一种时滞估计方法，这种方法能准确地估计试件为线性时的系统时滞。Wallace 等［7］利用时滞微分方程对作动器时滞的影响进行了理论研究，并采用了过补偿的方法以提高实时子结构试验的稳定性。Wallace 等［42］还提出了一种基于测量零点处实时控制误差的自适应时滞补偿方法。此外，不少学者还在逆模型控制的基础上提出了一些时滞补偿方法，如基于拟动力学的前馈控制方法［47］和基于拟传递函数的双补偿方法［48］。

当目标位移计算完成后，一般需要通过一个基于PID 控制方法的控制元件传给作动器。在实时子结构试验中，这个作动器及其控制元件形成了它的内环控制，其目标是确保作动器能够准确快速地施加目标位移。事实上，内环PID 控制参数的最优选择是随试件特性的不同而不同。因此，不少实时子结构试验加载系统都设有自适应调整功能。从实时子结构试验的原理上讲，实时子结构的控制还需要一个外环控制以保证数值子结构和物理子结构之间的位移协调和力平衡条件。这个外环控制与内环控制不同，它的作用不是直接的补偿时滞或者降低作动器的失真度，而是把误差合成一个整体并尽量减小这种合成误差。基于这个方面的考虑，Wagg和Stoten［4］在实时子结构试验中应用了最小控制合成法，这种方法实际上就是一种外环控制方法，也是一种自适应控制方法。这种方法及其修正方法——基于误差的最小控制合成法被成功的运用和分析［4，10，11，14，15，19，42］，但这些方法在低阻尼系统、扫频试验及多变量系统上的应用还有待于进一步研究。文献［43］提出了一种基于开环控制和闭环控制的逆模型控制方法，它可以利用开环控制更便捷地跟踪参照点，同时可以利用其闭环控制过滤误差和修正模型失真以获得准确的控制性能［44］。文献［45］采用了一种基于闭环优化控制的模型预测控制方法，这种方法通过控制对象的模型预测进行多次闭环优化以补偿可测误差。上述两种方法在实时子结构试验上的应用较少，但它们的自适应特性和鲁棒性表明其在实时子结构试验方面的应用值得研究。文献［49］基于H∞环路成形的控制方法提出了一种实时子结构试验外环控制方法。

对于复杂结构，特别是大跨度桥梁、水坝等，进行实时子结构试验时，通常需要考虑作动器的相互作用，即控制耦联。Darby 等［13］在对一个单层刚架的实时子结构试验中，使用了两台作动器进行加载。研究表明，对于多作动器系统，仅仅通过对每个作动器单独进行补偿来实现试验系统的稳定性是不可靠的;试验系统极有可能由于作动器之间的相互作用而产生不稳定性。Wallace等［42］的实时子结构试验考虑了作动器耦联是一个典型的多点输入动力相互作用问题。研究中还对试验误差的来源进行了分析，认为试验精度主要取决于数值模型计算和同步传输的精确度。目前，多点输入的实时子结构试验研究还很少，有待进一步研究。

多数的研究者期望用理想的控制方法和时滞补偿方法来减少试验加载和控制所引起的误差，但是这些方法使试验控制程序更加复杂和冗长，使目标位移信号的计算、转换和处理时间过长，反而有使误差问题严重化的趋势。为了解决这类问题，英国Bristol 大学Neild 等人［14］采用的方法是把数值模型和控制器通过连续时间转换方程(Continuous Time Transfer Function)进行整合，并利用零阶保持器进行时间上的离散，该方法中数值子结构和控制系统的离散采用的是相同的积分方法且步长相同，采用1ms。这样的离散一方面只能保证一阶精度，这对复杂结构很难实现。后来，Mettupalayam和Sivaselvan［46］采用Newmark-β积分方法转化成控制框图的形式，并采用零阶保持器对整个系统进行时间上的离散。这样的方法相当于用二阶积分方法求解数值子结构，但是仅采用零阶保持器法离散控制系统，叠加之后必将是一阶精度。

4 结语

随着工程领域高耸、大跨及智能结构等大型复杂结构试验需求的增加，实时子结构试验得到了快速发展。从字面意义上看，实时子结构试验包含两个层面:实时性和子结构思想。这两个层面都具有双面性。实时性体现了其相对于拟动力试验的优越性，可以更加真实地反映结构的动力响应。而实时性，如实时计算、实时数据传输和实时加载等，却加剧了试验的复杂性，对试验提出了更高的要求:高效的数值积分方法、理想的时滞补偿方法、高速的数据传输系统以及精准的控制方法等。实时子结构试验引入了子结构思想，相对于传统的振动台试验而言，实时子结构试验使得进行复杂结构的大比例尺甚至足尺试验成为可能。相反，子结构概念的引入增加了试验误差控制的难度，降低了试验结果的可靠性。因此，正确地把握实时子结构试验的优越性，了解其研究现状和面临的关键问题，平衡优越性和困难两者间的关系，对于进行试验方法与设备的深入研究和工程应用都具有重要意义。

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