一类二维抛物型方程的ADI格式

【摘 要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的ADI格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率.

【关键词】二维抛物型方程；ADI格式；稳定性；截断误差

1.引言

抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]：

其中，为常数.

在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即ADI格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。

2.差分格式的建立

为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数L和N，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记

假定第层的已知，则由第（Ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（Ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2].

3. 稳定性分析

下面采用von Newmann方法[3]对上述D格式进行稳定性分析. 一般地，低阶项不影响差分格式的稳定性，所以不妨略去项，并对（3）、（5）式消去中间变量得：

利用Taylor展开式求误差，可知此处建立的D格式的截断误差阶为.

参考文献：

[1]管秋琴.一类二维抛物型方程的有限差分格式[J]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2010，26（1）：7.

[2]Richtmyer R D ， Morton KW. Difference methods for initial - value problems （2nd edition） [J ] . John wiley &sons.; 1967.

[3]戴嘉尊，邱建贤. 微分方程数值解法[M]. 南京：东南大学出版社 .2002.

作者简介：

舒阿秀（1977—），女，安徽旌德人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事偏微分方程数值解的研究。

基金项目：

安徽省教育厅自然科学基金重点项目（KJ2010A224）；安庆师范学院青年科研基金项目（KJ201020）