代数几何码的广义汉明重量综述

胡万宝　吴小兰　李倩

【摘 要】广义汉明重量刻画线性码性能的一个重要参数，而代数几何码来自于代数曲线，拥有较丰富的纠错能力强的好码。一些学者通过不同方法计算出代数几何码的广义汉明重量，本文就其研究现状及发展作一综述。

【关键词】广义汉明重量；代数几何码；线性码；代数函数域

1.引言

差错控制码广泛应用于不同信道的信息传输，为增加信道可信性设计。码字的汉明（Hamming）重量是指这个字中的非零的项的个数，这在线性码中决定码的纠错能力。广义汉明重量的概念由第Wei [1] 在1991年引入，一个线性码的r-级广义汉明重量就是指其最小的r维子码支集. 之后不久， Feng， Tzeng， and Wei [2]研究BCH码及其它某些循环码的广义汉明重量. 在文章[3， 4]中， 第二和第三级几何Goppa 码（代数几何码）的广义汉明重量由Munuera C. 和Ramirez D 部分得出，后来胡[7]将这些结果推广到更高次数上.在系列文章[8-12]中， Homma M. 和 Kim S.J. 决定了Hermitian 曲线上的两点码的第二级汉明重量.

本文从代数曲线（代数函数域）出发，介绍代数几何码，再综述研究代数几何码的广义汉明重量的一些方法和结果，在此基础上推出了循环码的广义汉明重量的新结果，这里的码长n=pm-1，p是素数。

有限域上的代数函数域是我们研究的最有用的工具，参看[5]，文章中的采用和[5]一致的记号。

2.一些线性码的基本概念和熟知结果

先定义广义汉明重量.

， ，

两点代数几何码即为：.

文章[3，4，7，8，9，10，11] 等都利用Hermitian曲线上构造代数几何码，并刻画其广义汉明重量. 由于篇幅所限，本文不再赘述.

实际上，除了Hermitian曲线外，还有更多的丰富的曲线能构造更好的代数几何码，如（超）椭圆曲线等、有理函数域的初等 Abelian扩张等都有良好的性质和丰富的内容， 可以作为未来研究码的广义汉明重量的发展方向.

参考文献：

[1]Victor K. Wei， “Generalized hamming weights for linear codes”， Transactions on Information Theory， vol. 37， no. 5， pp. 1412-1413， 1991.

[2]G. L. Feng， K. K. Tzeng， and V. K. Wei， “On the generalized Hamming weights of several classes of cyclic codes” ， IEEE Trans. Inform. Theory， vol. 38， pp. 1125-1130， 1992.

[3]Munuera C.， Ramirez D.，”The second and third generalized Hamming weights of Hermitian codes”. IEEE Trans. Inform. Theory， vol. 45， pp.709-713， 1999.

[4]Munuera C.， “On the generalized Hamming weights of geometric Goppa codes”， IEEE Trans. Inform. Theory， vol. 40， pp. 2092-2099， 1994.

[5]H. Stichtenoth， “Algebraic function fields and codes”， Springer Universitext， 1998. The second version.

[6]Wolfmann， “New bounds on cyclic codes from algebraic curves，” in Lecture Notes in Computer Science， vol. 388. New York： Springer-Verlag， pp. 47-62， 1988

[7]Wanbao Hu， Generalized hamming weight of algebraic geometric codes from algebraic curves， J. of university of science and technology of China， vol.33， no.6， pp 641-645， 2003.

[8]Homma M.， Kim S.J.， “Toward the determination of the minimum distance of two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. vol. 37， pp. 111-132， 2005.

[9]Homma M.， Kim S.J.， “The two-point codes on a Hermitian curve with the designed minimum distance”， Des. Codes Cryptogr. vol. 38， pp. 55-81， 2006.

[10]Homma M.， Kim S.J.， “The two-point codes with the designed distance on a Hermitian curve in even characteristic”， Des. Codes Cryptogr. vol. 39， pp. 375-386， 2006.

[11]Homma M.， Kim S.J.， “The complete determination of the minimum distance of two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. Vol.40， pp.5-24， 2006.

[12]Masaaki Homma， Seon Jeong Kim， “The second generalized Hamming weight for two-point codes on a Hermitian curve”， Des. Codes Cryptogr. Vol. 50， pp.1-40， 2009.

[13]Zhi-min Li， Xin Xu， and Cun-hua Li， “On the Generalized Hamming Weights of Some Product Codes” Advances in Computer， Communication， Control & Automation， LNEE 121， pp. 281-288.

[14]Henning Stichtenoth and Conny VoB， Generalized Hamming Weights of Trace Codes， Transactions on Information Theory， vol. 40， no. 2， pp554—558，1994.