分形理论在沥青混凝土疲劳开裂过程中的应用

孙长军，崔卫平，陈 雷，秦丽娟

（1.唐山曹妃甸发展投资集团有限公司，唐山 063210；2.武汉理工大学硅酸盐建筑材料国家重点实验室，武汉 430070）

沥青混凝土是一个具有复杂几何特征的由多种级配集料组成的复合材料体系，其内部微观粘结裂缝的分布不仅总体具有分形特征，而且具有自相似性，可用分形几何学来加以描述和分析。沥青混凝土疲劳开裂过程是其内部微观裂缝不断生长并扩展的过程。该文通过建立分形维数与疲劳开裂过程的关系，用分形理论来探究疲劳开裂过程中沥青混凝土裂缝的生长与扩展过程，为沥青混凝土的开裂过程研究提供一种新的方法和思路。

1 分形理论概述

分形（fractal）是由美国哈佛大学的教授Mandelbrot于1975年首次提出来的。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学。混凝土作为典型的多孔介质，其内部图形是如此的不规则，以致它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述，因此可用分形集合来讨论和分析。

分形几何图形最基本的特征就是自相似性和它的标度不变形。表征这两种分形性质的定量参数为分形维数（Fractal Dimension），它是用来描述一个复杂系统的复杂、不规则程度的参数。分形集的维数有多种多样的定义，常见的有豪斯道夫（Hausdorff）维数、相似维数DS（similarity Dimension）、分配维数Dd（Divider Dimension）、盒维数（又称Bouligand维）等。

因盒维数是由相同形状集覆盖确定的，计算比较容易，其应用较为广泛。以分形曲线为例介绍盒维数的概念。把曲线放在一个边长为ε1的网格内，如图1（a）。数出和曲线相交的网格（即盒子）数Ni（ε1）＝13。如把码尺缩小一倍，ε2＝ε1/2，即把网格变小（一个盒子成为4个盒子），如图1（b）。

这时和曲线相交的盒子数N2＝29。继续这个过程，网格不断变小，对一组ε1，ε2，ε3，…，εi，可测出一组N1，N2，N3，…，Ni。令r＝εi（r和εi均是相对值），N＝Ni，根据分形维数定义

可得

式中，A为比例常数。

对上式取对数并作图，则logNi和logεi的双对数坐标上就会出现一条直线，用最小二乘法来拟合logNi～logεi，求出斜率即为对应的分形维数值D，称之为盒维数。在直线上取两点（Ni，εi）和（Ni＋1，εi＋1），则盒维数为

2 实验方法

按照《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》JTG E20—2011要求成型马歇尔试件。试验在UTM－25动态材料试验系统中进行，在25℃下将试件保温4h。试验加载模式为应力控制模式，加载频率2Hz，加载波形为正弦波，荷载大小采用试件破坏荷载的0.4倍。按照上述参数控制对试件进行疲劳加载，同时在加载过程中记录试件纵向变形量S。

在疲劳加载过程中，用数码相机提取不同加载阶段下试件的表形貌图，如图2（a）～2（d）所示。图2（a）和图2（d）分别对应于疲劳加载破坏的开始阶段和疲劳开裂破坏阶段。

在获得疲劳加载破坏不同阶段试件表面裂缝形貌图后，还需要对图片进行软件处理。剪除图像中无用部分，挑选成像质量较好并无干扰的区域作为计算区域，并尽量全部覆盖裂缝，然后转换为灰度图像。然后对图像进行增益降噪处理，增益除噪的目的是使裂缝与其他图像信息最大程度地分离。处理后得到比较清晰的裂缝图像，以最终破坏形貌图2（d）为例，处理前后如图3所示。

3 结果与分析

3.1 裂缝的分形特征

以时间最终破坏时裂缝形貌为例，对处理后的图3（b）进行盒维数覆盖，计算分形维数D。用不同大小网格覆盖得到的结果如表1和图4所示。然后对log（1/ε）与log（N（ε））的双对数关系进行线性回归分析，回归得到的直线斜率即为分形维数D。

表1 盒覆盖处理结果

由图4可知，相关系数为0.994 1，log（N（ε））与log（1/ε）呈现良好的线性相关性，说明开裂裂缝有明显的统计相似性，裂缝具有明确的统计意义上的分形特征。从回归结果可知该裂缝对应分度维数（图4中直线的斜率）为1.388。

3.2 开裂过程的分形特征

试件经过近6 000s出现彻底破坏，计算不同阶段提取图像的分形维数，得到在加载不同阶段的纵向变形位移S与分形维数D的关系，如图5所示。

由图5可知，试件疲劳开裂裂缝的分形维数随着裂缝的生长与扩展而增大，且在破坏不同阶段增大的趋势也不同。随着加载的进行，试件疲劳开裂主要分为三个阶段，短期内迅速变形，此时分形维数主要表征试件表面原有细观裂缝；平稳破坏阶段，变形位移平稳增加，裂缝逐渐生长扩展，表现出分形维数逐渐增加；当试件疲劳破坏明显开裂时，纵向形变量S短时间迅速上升，分形维数继续增大到破坏时的1.388且上升趋势也相应增加。

4 结 语

沥青混凝土开裂裂缝有明显的统计相似性，裂缝具有明确的统计意义上的分形特征；在疲劳加载开裂过程中，沥青混凝土具有分形演变特征；随着沥青混凝土裂缝的生长与扩展，分形维数和纵向形变位移变化相一致，共为3个阶段，分别是短时间内迅速增加、较长时间平稳增加、短时间迅速增大。

［1］ 谢和平，薛秀谦.分形应用中的数学基础与方法［M］.北京：科学出版社，1997.

［2］ 中华人民共和国.公路工程沥青及沥青混合料试验规程（JTJ E20—2011）［S］.北京：人民交通出版社，2011.

［3］ 黄晓明，吴少鹏，赵永利.沥青与沥青混合料［M］.南京：东南出版社，2002.

［4］ Changjun Sun，Shaopeng Wu，Ning Tang etc.Fractal Features of Cracking of Self－monitoring Asphalt Concrete.2011International Conference on Mechatronic Science，Electric Engineering and Computer，2011：475－477.

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