从尺规作图看古希腊数学观及其对教育的启示

向 坤，宁连华

（南京师范大学 数学科学学院，江苏 南京 210023）

当人们凝视古希腊的数学成就时，无不感叹其思想的精深和奇妙，特别是其在几何上达到的辉煌高度.虽然记载表明，几乎所有被考察过的古代人类都或多或少地掌握并运用着几何知识，但从系统发展几何知识的做法和最终影响人类思维方式几千年之久的结果来看，古希腊人所做的开创性工作无论如何被褒奖都不为过.其中最引人入胜的内容之一便是尺规作图，即在只有圆规和直尺（“尺规”二字是按习惯说法译的，这里的“尺”按其没有刻度理解，实际应是“直边”）的情况下，通过有限次的使用，来解决不同的平面几何作图问题.一直以来，人们都以古希腊人“爱智”为由来看待这一问题——几何图形的繁多而复杂与工具的极为有限（仅两样）并被严格限制，使得这一问题艰难但又充满趣味，这确实激励着人们在思维的高度上不断跃进.直到现在，不少学者和教育家仍将此看作是训练儿童思维的最佳材料.但是，当研究者审视数学史，以联系的观点来看待尺规作图问题，便会对此有新的认识，并会从更深的层面来理解数学的发展.

1 古希腊人对“数”与“形”的认识的历史

1.1 毕达哥拉斯的“万物皆数”

早期人类因交换计数、土地丈量等实际需求开始了对数学的认识.由于在生活中如此频繁的使用，人们甚至从来不曾有意识地区分过算术和几何——它们都是如此的直观和自然.因此，很难讲他们的活动具备科学的性质，这一发展直到古希腊时代才进入新的阶段.受希腊民主思辨氛围的影响，毕达哥拉斯首先“有意识地承认并强调：数学上的东西，如数和图形是思维的抽象，同实际事物与实际形象截然不同.”[1]并由此开始思考究竟应该以算术还是以几何为基础来研究数学问题.通过对天体运行、音乐和谐及前人知识的考察，毕达哥拉斯最终提出了“万物皆数”的思想，并将此看成宇宙形成的原则.这一点从他对奇数、偶数、平方数、完全数等的细致考察便可证实.正当毕达哥拉斯及其门徒沉浸在发现这一信念的欢愉之中时，他的弟子希帕索斯对不可公度量（即无理数）的发现否定了毕达哥拉斯试图用整数来窥探宇宙的计划，后人将这一事件称为毕达哥拉斯悖论或第一次数学危机.

1.2 欧多克斯与“不可公度比”

这一危机使古希腊人深刻地认识到两点.第一，经验是不可靠的.“万物皆数”正是经验的产物，这一教训提醒古希腊人寻求更为有效地获得知识的方法.第二，算术是不可靠的，几何才是宇宙的真知，因而几何自然地成为他们研究的基础.这一观点因为欧多克斯的工作而变得越来越坚实.欧多克斯引入“量”这一代表诸如线段、角、面积、体积、时间等能够联系变动的东西（不是数）的概念，然后欧多克斯定义两个量的比与比例，并由此将可公度比（有理数）和不可公度比（无理数）都包括在内.这一后果便是“硬把数和几何截然分开了，因为只有几何才能处理不可公度比”[1].从另一方面看，这一做法是古希腊人对无理数的逃避——没有作出图来，便不承认.由此可见，几何作图在数学家们心中占据越来越重要的地位了，在他们眼中，“可作出”的量才是“存在”的.关于此，亚里士多德的警告最能说明问题，他指出一个定义只能告诉人们一件事物是什么，并不说明它存在.如人们可以定义一个图形——圆方——既是圆的又是方的，但它并不存在.而亚里士多德所采取的用以证明存在的方法就是构造[1].自此之后，古希腊人便将其在数学上最大的气力花在几何方面，尤其是几何图形的构造问题，因而几何学在希腊得到了极大的推进.

1.3 《几何原本》与尺规作图

几个世纪后，希腊人已经积累了大量零散的几何知识，欧几里得在经过系统地整理和编排后终于完成了闪耀着人类最高理性光芒的巨著《几何原本》.当人们评价《几何原本》时，看到的不应仅是前人在内容上的贡献.事实上，对于逻辑、严谨的理性精神的膜拜，欧几里得与其前辈们也是一脉相承的.这一点从《几何原本》中以公理、公设为基础的论证程序及前3个公理明确承认直线和圆的构造性，而规定其他数学概念则必须构造出来以证明其存在的做法，可以清楚地看出.

至于作图只限于尺规一事，历史上也众说纷纭.一说希腊人以直线和圆是基本图形为由，认为直尺和圆规是最佳作图工具.还有人说柏拉图反对用其他机械工具，因其过于依赖感觉而抛弃思想，而后者恰是柏拉图理论的第一性.应该看到，公元前5世纪，人们或许对此限制遵循的并不严格，而欧几里得公理确实限制只许用尺规作图，自他之后，这一限制便严格规范了.

2 对古希腊人数学观的哲学思考

综述历史可以看出，古希腊人对尺规作图的重视反映出了他们对数学研究基础和真理认识途径的深刻思考.

2.1 关于数学本源的争辩

关于算术与几何究竟哪一个才是数学的本源的问题一直未曾离开哲学家们的视界.直到18世纪，康德在其《纯粹理性批判》中还就“纯粹数学何以可能？”给出如下解释：几何是关于空间的知识，算术是关于时间的知识.由于空间与时间都具有先验性和直观性，因此几何命题和算术命题都是先天综合判断（即绝对的知识——作者注）.这是自人类拥有智慧以来一直秉承的宇宙本体观的体现.不可公度量的发现使希腊人被迫放弃了整数至上论而投身几何的怀抱，这一转变使他们开始直面认识论问题，这对后续哲学的发展起到了重要的奠基作用.具体地讲，希腊人开始逐渐抛弃直观经验（虽然这在当时是很不彻底的），转而求助演绎逻辑.M·克莱因对此评价说：“希腊人对数学的最大贡献是坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理演绎法推出……证明在数学中所处的地位改变了.”[1]正是对演绎逻辑的单纯依赖，才使得千百年来数学命题始终立于不败之地.而正是有数学作为坚强的后盾，人们才敢于一次次地追问和探寻真理的源泉.正如柏拉图在《共和国》第Ⅶ篇所说：“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神.”

2.2 关于作图工具的限制的认识

从哲学的角度看，古希腊学者将作图工具限制于直尺和圆规，很大程度是出于对数学美的追求：一方面，柏拉图认为直线和圆是最简洁、最清楚的图形，因此只有直线、圆，以及由它们得出的图形才是最清楚的；另一方面，直线和圆的对称性反映了部分与部分之间的统一性，而将这种统一性推而广之，便可探寻到整个宇宙的奥秘.基于此，希腊人力图把这些思想作为普遍理论来发展[2]：其中的一大成果便是《几何原本》反映出的公理化思想——它的诞生和发展对西方文明产生了极为深远的影响.不仅近、现代几乎所有的数学成果正是抓住这一思想才免于滑向怀疑论的泥沼，就连西方的思辨哲学也因援引公理化的方法才达到令人瞩目的高度；另一成果便是希腊人在历史上留下的两个任务：其一是对声名卓著的三大作图问题——倍立方体、三等分角和化圆为方的继续研究，它们在数学发展中的价值是不容低估的，对它们的研究不仅使古希腊几何学（尤其是圆锥曲线和高次曲线理论）有了更进一步的发展，从后来问题的解决也可看出，它使人们在超越数理论等纯代数领域也获得了巨大的前进；其二便是数学概念存在的标准问题，随着数学的发展，这一问题已从早期的本体论问题变成了数学哲学认识论问题而在现代数学中引发重大争论.直觉主义学派的“存在”等于“被构造”思想便可看成是“存在”等于“可作出”思想的发展.

2.3 古希腊人极力推崇几何学对数学发展的阻碍作用

古希腊人对几何学极力推崇这一思想的片面性也极大地阻碍了数学的发展.这主要表现在：

第一，他们把大部分代数都化成了几何.在不可公度量出现及欧多克斯在几何上构造出无理数后，希腊人便放弃了真正的代数和无理数[1].这从他们依赖图形解方程的做法便可看出，同时，在希腊人那里，数学量的命名也往往依据其几何意义（如平方、立方等）.而欧几里得在其《几何原本》中描述和证明数学定理（包括代数恒等式）也从未离开过几何作图.难怪M·克莱因说：在欧多克斯以后的两千年间，几何学变成几乎是全部严密数学的基础.这一做法的直接后果便是代数发展的停滞：不仅古希腊没有产生较为完备的代数符号系统（这一点从《几何原本》中大量论述繁杂的数学命题便可看出），甚至15世纪，有很多数学家还认为研究三次以上的方程是“荒唐可笑”的，因为它们并不具有明显的几何意义[3].这一情况直到文艺复兴后才逐渐有所变化.

第二，由于对几何图形的依赖，数学家们得出了大量矛盾的结论.这些结论都是如此显然的谬论，但是怀着对演绎推理的坚信而仔细审查证明过程，又使人们无话可说.其根本原因就是数学家们过分相信图形的直观，使得那些“绝不可能”变成了“显而易见”，其中一个最著名的例子便是对“任意三角形都是等腰三角形”的证明.

第三，希帕索斯发现不可公度比这一事实，突出了使所有希腊数学家迫切想要解决的一个难点：离散和连续的关系.毕达哥拉斯就曾错误地认为直线是由有限个点组成的[1]，虽然欧多克斯对此有过修正，他指出：“量跟数不同，数是从一个跳到另一个，例如从4到5”，而“量是不定数值的”，它是“连续变动的东西”[1].但由于放弃对算术（代数）的研究，数学家们仍无法正确地认识连续和离散，因而当芝诺把离散与连续的关系惹人注意地摆出来的时候，希腊数学家们只能束手无策地看着这一悖论的发生.事实上，芝诺悖论的提出代表着早期辩证法的萌芽，进一步发展便可导出有关极限的理论，但是由于受时代影响，芝诺自身也没能突破其认识的片面性，因而他亲手画的圆不仅困住了同时代的其他学者，连他自己也没能逃脱.

3 反思历史给数学和数学教育带来的启示

现在，当人们再次审视古希腊数学发展时，或许会得出更为深刻的理解和启示.

3.1 应该正确认识无理数的发现

由于生产力的极度落后，早期人类对知识的追求往往离不开神话和魔术[4]，古希腊人首先试图不依赖宗教信条来理解和阐释宇宙结构，代表着科学思想的萌芽，这一迈进在人类文明上有着辉煌的意义，但他们将思想绑缚于形而上学，又极大地限制了进一步的发展.无理数的发现使毕达哥拉斯学派如此惶恐不安的原因就是他们将真理的源泉寄托于“数”（更确切地说是“整数”），而“数”在毕达哥拉斯看来又不仅仅具有抽象的含义，更具有神秘主义的形而上学意味，因此不少学者称无理数的发现给了毕达哥拉斯“致命一击”[5]，使他的宇宙崩塌了.之后希腊人放弃“数”而将眼光转向几何，本质上继续了宇宙本体论，这也决定了其对数学本质的认识难以向前迈进.

事实上，无理数的发现本质上反映的是客观实在与人的主观思维之间的矛盾，是认识论，而不是本体论上的问题.“数”作为客观现实的抽象，是离散与连续的统一体，但是由于主观思维方法上的形而上学，客观对象的这种辩证性在认识过程中就会遭到歪曲，从而辩证的统一就会变成绝对的对立，如果再将它们机械地重新联接起来，对立环节的直接冲突就是不可避免的了[3].从这一层面讲，挣脱掉盲目的形而上学的束缚，“矛盾正是对知性的局限性的超越和这种局限性的消解”[6].

3.2 应该正确认识数和形的统一性

应该看到，盲目崇拜几何使得古希腊的数学走入畸形的发展道路.这主要表现在：

第一，古希腊算术（和代数）没有获得长足进步，包括其算术知识积累的匮乏和代数基础的薄弱.一方面，早期毕达哥拉斯学派对数的研究使得他们成为数论发展的先驱，但受数字神秘主义的影响，其研究逐渐偏离了数学，最终希帕索斯发现无理数而断送了其对算术的研究.因而两个多世纪后，欧几里得《几何原本》中出现的仍只是对毕达哥拉斯学派结构松散的数的理论的整理.而由于缺乏较为完备的代数符号系统，使得这些命题的表述和证明显得尤为复杂，《几何原本》中关于素数的理论和性质几乎全部都是用文字叙述和说明的，这使得理论的传播和研究都受到极大限制.（注意到这与古埃及和古巴比伦文明相比没有多少进步，人们便会感到极大震惊！）另一方面，欧多克斯的比例理论虽然部分地解决了无理数的逻辑基础（说部分，因为他仅将它建立在几何的基础之上而逃避了对其本身的研究），但自此之后数和形的密切联系就被强硬地割裂开来.由于攀附几何，代数的理论基础十分纤弱[2]，因而维克多·卡兹才会称5个世纪后丢番图处理了高于3次的幂是“一个明显的突破”[7].

第二，代数与几何的不协调又反过来限制了几何的发展.如由于欧几里得无法给出任意长度乘法的定义，他在《几何原本》中对“矩形”的说明都显得含糊，而大量看似重复或繁杂的命题的出现，也使得后来的学者对欧几里得是否真正理解这些命题产生了质疑.另一个更加著名的例子便是三大作图难题，它们的解决也说明了人类限制眼界的代价便是真知的不可得.

事实上，数学对象源于客观现实，“这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实”[8～11]，而真实世界的任何事物都是质和量、数和形的辩证统一，既没有不具有数量属性的“纯粹的形”，也没有不包含任何形的内容的“纯粹的量”，因此肯定数和形的统一性就是对现实世界辩证性的承认.从整个数学的发展来看，数的研究和形的研究是互相渗透、互相依赖、彼此不可分割地联系在一起的，背离这一原则，试图通过单纯的数的研究或者单纯的形的研究而得到整个数学只能是妄想，这一点从现代数学哲学的讨论，特别是数学基础的研究中得到证实.

3.3 应该辩证看待数学发展与现实需要的相互作用

最后，如果进一步探寻古希腊人对算术抛弃得如此彻底的原因，就会发现这与他们脱离现实的高谈阔论有着直接的联系.M·克莱因曾指出：“古希腊时期享受教育的阶级轻视实际事物……有教养的人不关心实际问题，他们可以在几何学里考察所有矩形而不去关心哪怕一个矩形的实际大小.”[1]正是这样把数学思维同实际需要割裂开来，数学家们始终活在他们理念的王国中而没有感到有去改进算术方法和代数方法的压力，因此他们在躲过了现实对其做出任何拷问的同时，也浪费了无数个能让他们的理论获得修正而迈向更高平台的机会.

正如研究者一贯坚持的，数学的研究来源于客观现实，最终也要服务于客观现实.马克思说：“人的思维是否具有客观真理性，这并不是一个理论的问题，而是一个实践的问题.”因此，数学客观真理性的最有力证据在于其在真实世界的成功应用，同时，现实世界永远是理论得以深入发展的母体所在.当数学的发展越来越偏离实际而幽冥不可捉摸时，就是研究者们发出质疑的时候了.

[1]M·克莱因.古今数学思想，第一册[M].上海：上海科学技术出版社，1979.

[2]中外数学史编写组.外国数学简史[M].济南：山东教育出版社，1987.

[3]夏基松，郑毓信.西方数学哲学[M].北京：人民出版社，1986.

[4]斯科特.数学史[M].北京：中国人民大学出版社，2010.

[5]H·伊夫斯.数学史上的里程碑[M].北京：北京科学技术出版社，1990.

[6]黑格尔.逻辑学（上卷）[M].北京：商务印书馆，2009.

[7]Victor J Katz.数学史通论[M].北京：高等教育出版社，2004.

[8]恩格斯.反杜林论（《马克思恩格斯选集》第三卷）[M].北京：人民出版社，1966.

[9]刘鹏飞，徐乃楠，王宪昌.数学价值观是数学文化研究的重要内涵[J].数学教育学报，2012，21（4）：73-75.

[10]费祥历，许晓婕.数学文化教育的思考与实践[J].数学教育学报，2012，21（1）：13.

[11]刘振达，王青建，邵茹.从数学史角度研究数学学习动机[J].数学教育学报，2012，21（3）：26-30.