分数概念的个体建构——起点与机制及影响因素

张 睆，辛自强

（1.山西师范大学 教师教育学院，山西 临汾 041004；2.中央财经大学 社会发展学院 心理学系，北京 100081）

分数概念的学习对于儿童认知发展具有重要意义，它为儿童处理现实情境中两个量的关系提供了有效数学工具，也有利于儿童思维从具体运算水平向形式运算水平过渡.目前，学者大都强调分数概念学习的个体建构性质[1～3]，即重视个体原有知识经验，主体动作以及对动作的个人反省在知识建构中的作用[4].从这一视角出发，该领域的学者对分数概念建构的知识起点、建构机制及其影响因素进行大量探讨.首先，分数概念是在何种个人经验基础上建构起来的？其次，儿童又是如何基于这些个人经验建构出正式的分数概念知识的？这一过程包含了哪些阶段或水平？最后，哪些因素影响着分数概念的个体建构过程？它们是如何发挥作用的？研究者拟首先对这些研究成果依次进行介绍和评价，然后对进一步的研究问题和思路做出展望.

1 分数概念建构的起点

儿童习得分数概念，并非始于对分数数学符号系统的学习.事实上，在接受正式的分数教育之前，儿童就具备了有关的个人日常经验.研究者称之为分数的个人知识（personal knowledge）、非正式知识（informal knowledge）或者初步概念（initial concept）[5]，以区别于儿童在学校教育中所学到的分数正式知识.这些个人经验构成了儿童学习分数概念的知识起点.从目前研究来看，这些个人经验可能主要包括两类，一类是分割和计数，另一类是对相对量大小的知觉.

1.1 分割和计数

分割是指个体将一整体等分为若干部分的能力.在接受正式分数教学之前，儿童很早就具有这种能力.例如，4岁儿童无需试误就可以对一些面积较小、形状规则的图形进行对半等分，一部分发展较快的儿童甚至可以在4岁成功完成三等分任务[6].稍大一些的儿童可以使用多种等分策略来解决分配问题.例如在匹萨分割任务中，儿童可以先确定分享的人数，并根据人数确定匹萨分割的份数，或者先将匹萨分割为多块，再通过一一对应的方式进行分配[7].可以看出，通过这些策略，儿童将一个整体等分为几个相互独立的部分，并将每个部分都看作一个“1”，这样，分数问题就通过分割和计数的方法转化为整数问题.或者说，通过分割和计数操作，儿童可以基于原有整数知识初步理解分数概念.

1.2 类比数量的知觉表征

虽然分数问题通过分割操作可能转化为整数问题，但与整数不同，分数是一个表示两个量倍比关系的相对量，或者说是一个比例.近来一些学者认为，人类在婴儿期即拥有一个基于倍比法则来表征两个数量相对大小的类比数量系统（analogue magnitude system）[9～11].例如，婴儿在分辨两个较大整数的数值差异时，往往基于这两个数值之比，而非二者之差，而且这种分辨能力需要基于一定的知觉线索[12].婴儿早期比例推理研究则表明，6个月大的婴儿就可以敏感地区分出两种豆子的不同混合比例[13]，这说明婴儿不仅可以基于倍比法则表征两个整数数量的相对大小（例如1和2的差异），而且可以对两个相对量大小的差异进行比较（例如1/4和3/4的差异）.

2 分数概念建构的机制

儿童如何在上述个人经验基础上建构正式的分数概念？这一过程又经历了哪些不同的阶段？学者们提出了不同的分数建构理论，对分数建构的机制和过程做出了解释.

2.1 递归理论

加拿大阿尔伯塔大学教授Thomas E.Kieren提出了分数概念获得的递归理论（a recursive theory）[14].所谓递归，就是用某概念的简单情况定义自己的其他情况，在此基础上不断复制拓展.例如，关于“祖先”的递归定义为，某人的双亲是他的祖先（基本情况），某人祖先的双亲还是他的祖先（其他情况）.在这个定义中，某人的任何一个祖先都是某人双亲的不断拓展，即“祖先”就是“双亲的双亲的…双亲”.

Kieren认为，儿童对于分数概念的理解水平分为多个层次，其中高层次理解是在低层次理解的基础上建立起来的，并且在必要时可以还原为低层次理解.由于这一特点类似于逻辑上的递归，因此他将儿童建构分数概念的过程视为一个基于个体经验的“递归”过程.具体来说，Kieren将个体对分数概念的理解水平由低到高分为8个层次：（1）原始了解水平（primitive knowing），原始并非意味着儿童对数学概念的理解是粗糙的，而是指以相关个体经验为起点理解相应的数学概念，这些个体经验包括分割、单位化和相对量的表征能力；（2）表象形成水平（image making），儿童在这个阶段形成了分割的表象，但这些表象往往是与各种具体问题情境联系在一起的，其表象内容是在不同情境中各种具体的分割操作；（3）表象获得水平（image having），儿童可以在表象水平上将分数视为一个客体的量，而非基于不同情境的操作；（4）性质关注水平（property noticing），这个阶段的儿童可以脱离一些具体的实例而关注于分数的一些特定性质，例如他们可以讨论在现实世界中从未见过的两个分数（257/4和89又1/4）是否相等；（5）形式化水平（formalising），在这个水平，儿童可以对分数进行形式化地思考，例如理解a/b的含义；（6）评论水平（observing），儿童可以做出“没有最小的正分数”这样概括性的判断，而不会像性质关注水平的儿童那样认为“有最小的正分数，因为分母变大，分数就会变小”；（7）结构化水平（structuring），该水平意味着个体对数学概念的理解达到了理论化水平；（8）创造水平（inventing），达到创造水平的个体可以打破原有理论体系的框架，提出新问题，创造新概念.

Kieren强调这一递归过程具有3个重要特点：第一，当低层次理解转化为高层次理解之后，个体就不再依赖于低层次方式来理解分数.例如，当个体系统掌握了分数运算法则之后，就不需要再来思考每一步运算所代表的具体意义，而可以直接采用形式化的方法解决问题.Kieren称这种转化为“不需要”边界（“don’t need” boundary）.第二，虽然人们获得高层次理解之后，不再需要采用低层次理解方式，但是这不意味人们遗忘了该理解方式，在需要的时候，该理解方式可以随时被提取出来.例如，在儿童刚刚获得高层次理解方式时，如果面临较为困难的问题，他往往需要还原到初级理解方式去解决，Kieren称这个现象为“折回”（fold back）.他强调这种“折回”过程对于儿童建构高层次理解方式极为有利[15].第三，每个理解层次都包括有动作和表述两个方面.理解水平的变化必然包含有动作和表述的变化，大多数时候，动作变化发生在表述变化之前，但是随后二者会交替出现.动作变化与表述变化之间的循环往复过程，是儿童数学理解层次变化的重要途径.

所谓的递归机制，是将分数概念建构中不同层次知识间的同构关系比喻为逻辑上的递归关系.该理论实质上强调了分数概念建构过程的4个特点：第一，同一知识可以在多个层次上被表征，从最基础的动作和知觉经验，到情境化的表象，再到去情境化的表象，最后到达符号水平.第二，高层次的知识结构并没有代替低层次的结构，不同层次的结构之间可以相互转化.第三，从低层次知识结构到高层次知识结构的建构过程中，较为困难的任务对知识建构具有重要意义.第四，动作和语言表述是个体建构知识的两个重要认知工具，二者之间的相互促进和相互转化在知识建构中具有重要作用.

2.2 动作—效果关系反省抽象理论

从皮亚杰的发生认识论到当代的数学概念建构理论都强调，动作是数学概念建构的起点，而反省抽象是儿童数学概念建构的主要机制[16].基于这一思想.普度大学的Tzur教授提出了分数概念获得的动作—效果关系反省抽象说[3]，解释了儿童如何通过反省抽象，进而从自身动作中建构分数概念的具体过程.

该理论认为，分数概念实质上来自对行动和效果之间关系的反省抽象.基于Sfard关于数学概念对象过程二重性的观点，以及Glaserfield对数学概念图式的“三成分”说，Tzur认为分数概念图式是由问题情境、情境中的运算和运算的效果3个成分构成的[17].在这3种成分中，运算成分可以视为内化了的动作，而运算效果实质上也是动作的效果.因此分数概念的建构实质上是个体对动作及其效果间关系进行反省抽象的过程[3].

Tzur认为这一反省抽象过程是从动作的反复自我调节中开始的.具体来说，动作执行结构包含3个要素：目标、行动和效果.儿童在分数问题解决中，首先基于目标执行一系列的行动，然后将行动的效果与目标相比较，并据此调节原先的行动.例如，要求儿童找到一条直线的1/7和1/5时，儿童会首先截取一小段直线，然后这一小段直线重复叠加多次，并比较叠加后的直线与原先的直线之间的差异，如果原先的直线较长，则儿童会适当增加一小截直线的长度，然后再叠加，再比较，直至相等.

在个体不断调节自身动作的过程中，分数概念得以建构.Tzur认为这一过程具体包括两个阶段.第一个阶段称为共存阶段（participatory stage）.在这个阶段，个体会将每一次行动及其效果间的关系，以及采取该行动的问题情境（包括具体的问题目标）共同储存在记忆中.此时，行动—效果关系性知识是情境化的，其提取和应用也只能在类似问题情境中发生.例如，儿童在上述直线任务中会发现，如果每段小直线增大一些，则叠加到长直线的次数就会少一些.这时，如果问儿童，1/7和1/5哪个大些，儿童可以正确回答，但是在折纸任务中他们却不能正确回答该问题.第二个阶段称为预期阶段（anticipatory stage）.在这个阶段，个体会将不同情境下的行动—效果关系进行比较，并抽取其中的共同模式，作为抽象的行动—效果关系知识.此时，个体会“预想”到整体一定条件下，份数越多，每份越少，从而建构出分数概念的部分—整体含义，并能区分1/7和1/5的量的大小.

2.3 两种理论的对比分析

可以看出，无论是Kieren强调的递归过程，还是Tzur试图说明的反省抽象过程，实质上都在说明正式分数概念是如何在个体原有经验基础上建构而成的.而且上述两个理论都从个体已有知识经验，任务特征与主体动作的角度来解释分数概念的建构机制，而没有涉及社会合作和文化因素在分数概念建构中的作用.因此可以说，这些理论都是分数概念的个体建构理论.

但是，这两个理论的侧重点也有所不同.Kieren将分数概念的建构机制比喻为逻辑上的递归过程，侧重于强调分数概念建构的不同层次及层次间的同构关系，即高层次理解是对低层次理解的拓展，而没有详细说明个体如何从一个层次开始，经过了怎样的心理加工过程从而发展到另一个层次的.因而可以认为，该理论主要是一个分数概念建构的层次模型.而Tzur借用了Piaget提出的反省抽象，并具体说明了个体如何从自身的分割动作之中抽象出分数概念的部分－总体含义，因此该理论是一个分数概念建构的过程模型.

3 分数概念建构的影响因素

研究表明，在分数概念的个体建构过程中，个体的原有知识经验、主体动作和分数数学符号都会起到重要作用.然而这些因素对于分数概念建构的影响到底如何，学者们并没有一个简单一致的看法，而是争论颇多.

3.1 分割计数动作的影响

分割计数是儿童解决分配问题的常用策略，也是儿童理解分数概念的重要个人经验基础.皮亚杰等即认为，儿童能理解部分—整体关系，是得益于他们具有大量的分割操作经验[6].但是，儿童对于分数量（即相对量大小）的认识，是否也基于这种操作经验，尚存在一些争议.有学者认为儿童是以分割计数的方法来认识分数量的大小的.例如，儿童如要认识分数a/b的大小，可以将整体等分为b份，并将其中一份（1/b）视为单位，然后再将该单位反复计数a次[7].

但是近来的一些研究表明，这一结论可能并不适用于学龄前和小学低年级儿童，分割和计数操作可能会阻碍这些儿童对于分数量的认识.例如，分割操作使儿童将分数视为按照某种固定程序操作的结果，而非一个单独的量.从而使得儿童在一些加法运算中出现错误，他们常常将分子相加做分子，将分母相加做分母，例如1/3+1/3得到了2/6[18].另外，儿童之所以很难理解假分数，是因为他们基于对整体的分割来理解分数大小的，因此他们难以理解，为何一个分数可以比整体还要大[19].新近研究表明，低龄儿童在连续量比例推理任务上的成绩要好于离散量任务[9～10].研究者认为，这可能是由于这些儿童在离散量任务上倾向于使用计数策略，计数操作得到的是整数，但儿童难以理解两个整数的相对大小.而在连续量任务中，儿童则很少甚至根本不使用分割计数的操作，而使用婴儿时期即具备的类比数量知觉表征能力.因此其问题解决成绩较好.

分割计数动作究竟是促进还是阻碍着个体对于分数量的认识？上述两种观点给出了看似矛盾的观点.这种矛盾可能体现了儿童对于分数量认识能力的发展特点.在其发展早期，儿童可能基于类比数量表征能力来笼统认识分数量的大小，而在发展后期，儿童可以基于其日臻熟练的分割计数操作来实现对分数量大小的更为精确的认识.

3.2 整数知识的影响

在正式的数学学习中，儿童会在掌握整数的基础上学习分数.虽然同称为“数”，但整数概念与分数概念之间具有许多差异：整数使用一个数符号来表示，而分数符号包括两个数符号和一个分数线，看上去更像一个算式；判断整数的大小可以采用计数的方式进行，而分数的大小却是数不出来的；二者虽然运算法则相同，但是整数的乘法运算总可以使数字变得更大，除法运算可以使数字变得更小，而分数的乘除运算却既可能使分数更大，也可能使之更小[2，20].

由于整数概念与分数概念在许多方面存在不同，因此有观点认为儿童已有的整数知识会阻碍其习得分数知识（可简称“阻碍观”），从而出现“整数偏向”的现象[21～22].例如，在完成分数大小比较任务中，学生会认为，分子相同时，分母越大，分数越大，这是因为学生不能理解分子和分母的关系，而把分数看作两个相互独立的自然数[2]，从而采用整数的大小比较法则来处理分数比较问题.

另有观点认为，“阻碍观”可能过于强调了整数知识与分数知识之间的差异对分数知识建构的影响，虽然整数与分数概念存在诸多不同，但由于分数能力并非整数能力的自然延伸，二者起源于不同的心理结构，因此其发展完全可以并行不悖[24]（可称“平行观”）.该观点强调，“整数偏向”的出现可能是不当的教育措施造成的.例如，数学教育过多强调整数计数能力的培养，这种教学阻碍了儿童灵活地理解“单位”概念[11].事实上，学生可以在学习整数的同时就开始学习分数，从而避免整数知识巩固后对分数学习的不利影响[26].研究也表明，幼儿就可以具备解决分数问题的能力，而且这种能力与解决整数问题的能力是平行发展的[25].

第三种观点则认为，虽然二者有些不同之处，但整数知识不但不会干扰分数习得，甚至是分数概念习得的基础（可称“促进观”）.一方面，从有理数的测量意义上看，整数与分数概念并没有太大差异，儿童可以在物理数字线任务中，以其整数知识为基础建构分数概念[27].另一方面，整数知识，尤其是计数能力的发展，是儿童建构分数知识的基础.美国乔治亚大学Steffe教授提出了分数概念发展的“再组织假设”（the reorganization hypothesis）[28].该理论认为，分数图式的产生是整数图式重新组织的结果.儿童运用整数计数图式解决分数问题，是儿童获得分数图式的基础.

总体来看，这3种观点实则强调了整数和分数间关系的不同侧面.平行观强调的是二者有独立的建构起点，整数来自于先天的感数系统和计数动作，而分数可能来自于相对量知觉和分割动作.促进观强调的是整数和分数在有理数概念下的统一性，二者都可以看作某个量包含了多少个测量单位，其大小都是对单位反复累加的结果，无非整数的测量单位是1，而分数的测量单位是单位分数.阻碍观强调的是整数和分数间的矛盾性，由于二者在意义上具有一贯性，而在动作和符号表征方式上却具有很大差异，从而使得儿童从整数学习过渡到分数学习的过程中，出现了整数对分数习得的阻碍.需要注意的是，这些观点之间仅仅是各执一词，而未必是在逻辑上针锋相对.例如，“平行观”强调整数和分数各有独立起源，但独立起源并不意味着独立发展.因此，“平行观”并不能否定“促进观”或者“阻碍观”，更为可能的情况是，这3种观点可能表述了在分数概念建构的不同阶段，整数概念和分数概念间具有不同的关系.

3.3 数学符号的影响

分数数学符号由两个整数和一条分数线构成，例如“1/3”.作为一种人为创造的数学标记，分数符号是分数概念的主要表征形式，并且在不同的问题情境下可以表示整分、测量、比、商、算子等不同含义[29].

从知识建构的内部过程来看，分数符号是一种重要认知工具.Gelman等人认为，虽然语言能力和基本数能力在起源上相互独立，但是在基本数能力的进一步发展中，语言符号起到重要的促进作用[30].对于分数数学符号来说，其使用可能产生一些独有的数学概念和加工过程，而在不使用这些数学符号的情况下，这些概念和加工过程是难以存在的[26].从这一点来看，分数符号的使用应该会促进儿童分数概念的建构.

另一种观点则认为，分数数学符号的获得并不必然促进，甚至可能阻碍分数概念的理解.具体来说，由于分数的符号里包含了两个整数符号，而经过系统的整数学习，儿童已经将这些符号与整数紧密联系在了一起.因此，当分数以数学符号的形式呈现时，儿童对分数概念的理解很容易受到他们已经习得的整数知识的影响，从而出现“整数偏向”现象[21].实证研究也表明，在儿童最初接触分数符号时，他们往往不能理解分子和分母的关系，而把分数看作两个相互独立的整数[2].同时，当分数以数学符号的方式呈现时，低年级儿童对分数概念的理解会产生困难，而当分数以图形方式呈现时，3至7岁的幼儿都对分数概念具有一定程度的理解，并能进行简单的分数加减法运算[25].

相对于图形表征来说，分数的符号表征毕竟具有明显的优势.它可以表示更广泛问题情境中的两个量的关系，并且可以通过数学法则对两个量的相对大小进行更精确的处理.例如，如果让儿童比较99/100和98/99两个分数的大小，则儿童可能很难通过图形表征来完成这样的任务，而通过符号表征和相应的运算法则，儿童就可以得到准确答案.因此可以说，符号表征对于分数概念建构的阻碍作用，可能是一种在分数概念建构过程中相对局部和暂时的现象.

总的来看，虽然以往研究者对分割计数动作，整数知识经验以及分数符号工具3个因素的作用进行了争论.但是3个争论的核心，实际上依然是整数到底是促进，还是阻碍分数.只是这种促进或者阻碍，可能具体体现在分割计数动作和分数符号两个影响途径上.

4 未来研究的展望

分数概念作为儿童小学数学学习中的困难环节，引起了心理学者和数学教育研究者的普遍关注，激发了大量的研究.这些研究从知识建构视角出发，分析了儿童对分数概念的多种个体经验基础.不同研究者提出了各自的分数概念建构理论，刻画了儿童分数概念的获得过程和机制.同时，研究者在分割计数动作、先前的整数知识经验、以及分数符号因素对分数概念理解如何影响等问题上进行了大量争论.这些研究、理论与争论提出了在该领域中一些亟待解决的，具有重要理论意义的研究问题.

第一，从起点上看，儿童在何种个体经验基础上获得对于分数“量”的认识.要说明这一问题，有必要首先在理论上将儿童对相对量的认识区分为笼统认识和精确认识两种能力.从分数概念建构的视角来看，更应关心的是儿童对于相对量的精确认识能力是如何获得的.这是因为，分数概念是帮助人类精确处理两个量之间关系的有力数学工具，掌握这一数学工具的目的在于形成对相对量大小的精确认识能力.因此，虽然早期的类比数量知觉表征能力可以为儿童提供某种对于相对量大小的笼统的认识，但是更为关键的是精确认识是如何起源和发展的.儿童是在知觉表征能力基础上形成精确认识的，还是另起炉灶，基于分割计数操作发展起来对分数量的精确认识.这些问题都值得进一步的研究加以探讨.

第二，从机制上看，在分数概念建构中，对于已有经验的反省抽象是如何发生的.在其后期，皮亚杰试图用反省抽象来说明知识建构的具体机制问题.所谓反省抽象，是指将不同的动作或者运算中的一致性抽离出来，形成一个新的图式的过程，在反省抽象的多次作用下，早期发展阶段上的操作序列可以逐渐地被建构为一个形式运算序列[32].然而，反省抽象这一概念是从功能或理论层次对知识建构机制的描述，难以在实证研究中直接加以检验.Tzur的动作—效果关系反省抽象理论的重要价值在于，在分数概念建构这一特定领域中阐述了反省抽象的具体过程，为研究者采用实证方法探讨反省抽象过程提供了可使用的理论工具.基于这一理论，可以进一步从儿童对自身操作及其效果的记忆的储存和提取特点，以及在记忆储存过程中内容的变化过程等方面，来探讨知识建构的反省抽象机制.

第三，从影响因素上看，“整数偏向”是否与数学符号工具的使用有关.传统的建构主义理论大都强调了符号工具在知识建构中的重要作用.但这些研究大都是从社会建构的视角出发，关注的是社会合作和语言等因素在知识建构中的作用，而少有实证研究从个体建构的取向说明这种符号工具在新旧知识交互作用中是如何发挥影响的.对符号工具在整数偏向中的作用的研究，有助于探讨这一问题.符号工具与个体经验之间可能具有密切关系.具体来说，个体会基于过去经验对符号形成一种自然理解，而这种自然理解与符号所表示的正式数学意义之间，是否差异很大，可能决定了这种符号形式对正式知识建构的影响.从这种意义上说，符号对分数建构的影响，实质上是儿童关于符号的原有知识对符号当前所代表新知识的影响.在分数知识建构中，这些符号可能构成了个体原有经验影响新知识获得的一种途径，而如果没有这种符号，相应的影响就难以发生.

回答上述3个问题，实质上是试图说明个体经验、符号工具和个人操作在具体的分数建构过程中的作用机制.虽然建构主义作为一种重要的哲学认识论，围绕着新旧知识相互作用这一核心观点探讨了人类知识获得过程，并对教育实践产生了巨大影响，但是目前缺乏在某个具体知识领域中，从个体认知发展的视角进行的精细实证研究来具体说明知识的具体建构机制，因此在许多问题上产生了不小的争论.而上述研究思路则可以充实这一领域，为澄清这些争论提供相应的实证依据.同时，也可以为分数概念的教学实践提供研究参考.

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