适度数学味：数学教学的必然追求

张卫星

《数学课程标准》明确指出：“数学教学应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索，合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。”数学教育家张奠宙先生曾明确指出：“数学教育，自然是以‘数学内容为核心。数学课堂教学的优劣，自然应该以学生是否能学好‘数学为依据。”可见，数学教学应从教材内容和学生实际出发，精心设计教学过程，使生活材料数学化，数学教学生活化，让教学具备适度的数学味，让学生充分感悟数学的无穷魅力，从而潜移默化地拥有数学思维、数学眼光。那么，如何让数学教学保持适度的数学味呢？

一、让数学情境自然延伸

学习是学生主动的建构活动，因此学习应与一定的情境相联系。让学生在实际情境中进行学习，可以使学生利用原有知识和经验同化当前要学习的新知识。这里所说的“情境”不仅仅指“生活情境”，孩子的认知起点、思考性的问题等都是一个有效的教学情境。良好的情境创设能有效激发学生已有的经验，但是如果情境只是起到激发学生兴趣和引入的作用，那么情境的运用就是浅层的。让创设的数学情境自然延伸，及时延伸，找到更多的触点，在延伸中提升、引领学生思维，自然而然地触及数学的内涵和本质，这样的情境才是自然有效的，这样的课堂才更有数学味。

如在教学“确定位置”一课时，一位教师经历了如下的教学片断：

师：每个学期我们都要召开家长会，你是怎样给爸爸、妈妈介绍你在教室里的位置的？

生：我在南边第2组第3排。

生：我在第4组第8排靠墙。

（学生各抒已见）

师：大家介绍自己位置的说法不同，容易混淆。为了方便，我们把竖排叫做列，从左边起，分别是第一列、第二列……把横排叫做行，从前边开始分别是第一行、第二行……

师：现在统一了标准，你能用数学语言准确地介绍一下自己的位置了吗？

生：我在第2列第3行。

生：我在第8列第6行。

……

师：现在谁能用数学语言准确地介绍一下你好朋友的位置，让大家猜猜他是谁？

（学生用“第几列第几行”来确定好朋友的位置）

师：你还能想到用什么方法来确定自己的位置？请把你的想法写下来。

（学生写下来后交流展示）

生：8-2。

生：5、4。

生：6列3行。

……

师：大家觉得这几种方法有什么共同点？

生：他们都是用两个数来表示的。

师：为什么要用两个数来确定呢？一个数不是更省事吗？

生：因为确定了第几列第几行才能确定他的位置。

师：这两个数分别表示什么？

生：第一个数表示第几列，第二个数表示第几行。

师：数学的一大特点是简练，其中第一个数表示的是第几列，第二个数表示的是第几行。同学们能够想到用两个数分别表示“列”和“行”来确定位置，很了不起。为了交流的方便，我们可以用一对数表示，比如（5，4），表示第5列，第4行。数学上把这一对数称为数对（板书：数对）。请你用数对来确定自己在教室里的位置。

……

上述教学片断中，教师始终关注现场情境，及时延伸，围绕“数对”问题，通过三个层次的延伸，掌握了“用数对确定位置”这一内容。所创设的情境接近学生“最近发展区”，自然提高了学生的数学学习质量，发展了学生的数学学习能力。可见，让数学情境在教学中自然延伸，可以促进学生主动思考、探索，激发积极的情感体验，从而让学生享受适度数学味所带来的乐趣。

二、让教学难点充分演绎

教学难点是指学生不易理解的知识或不易掌握的技能技巧。在一般情况下，使大多数学生感到困难的内容，教师要着力想出各种有效办法加以突破，否则不但这部分内容学生听不懂学不会，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。因此，教师要从学生的学习思路出发对教学难点进行充分演绎，力求让学生能够深刻理解。

如“植树问题”是一个典型的数学问题，现行人教版教材把它作为数学广角的内容编入四年级下册。教学中很多教师对于“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”这样三种情况的区分予以了特别关注。为了提高解决问题的正确率，他们往往要求学生牢牢记住相应的“计算公式”（“加1”“不加不减”“减1”），但实际情况却并非教师想象中的那么顺利与简单，因为他们忽视了植树问题教学的难点就是这个“1”。那么，如何让学生快速理解这个“1”呢？为此，在学生经历了操作、验证过程，并得出“间隔数+1=棵树”这一规律后，一位教师及时追问，让学生通过交流与分析，理解植树问题中的“1”从哪里来。具体教学片断如下：

⒈教师追问：为什么要“加1”呢？这个“1”是从哪里来的呢？

⒉组织学生讨论，并在自己研究的线段图上圈一圈，找出“1”代表哪棵树。

⒊根据学生的回答，用课件演示“间隔数与棵数间一一对应”的过程，并分析如下两种情况：

⑴“1”表示最后一棵树

教师引导学生解释：在小路边，一端先种一棵树，一棵树对应一个间隔，再种一棵树，再对应一个间隔……10棵树应该对应10个间隔，40棵树应该对应40个间隔……最后还有一棵树没有对应，因此要“加1”。这个“1”就是没对应的那一棵树，所以在“两端都栽”的情况下求棵树要间隔数加1。

⑵“1”表示第一棵树

通过课件的直观演示，师生共同归纳得到：“1”指的是前面第一棵树。

上述教学，执教者通过课件一一对应的直观演示，让学生理解这个“1”可以代表前面第一棵树，也可以代表最后一棵树。当学生真正理解了这个“1”的由来，植树问题的模型也就顺利建构。可见，让教学难点充分演绎，既可以让学生理解数学知识的本质，又可以让数学味得到适度体现。

三、让数学概念逐步建构

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。因此，概念教学必须要小步子推进，让学生真正理解概念的来龙去脉。

“有余数除法”是人教版实验教材三年级上册的内容，是“表内除法”的延伸和发展，是学生学习多位数除法的基础。教材内容抽象、概念性强，学生刚学过表内除法，已经习惯用乘法口诀求商，不容易理解“余数”概念，对于除法不能直接从乘法口诀求商有许多困惑。因此，如何让学生获得鲜明的表象，建立“余数”的概念，是执教者必须要思考的一个问题。为此，一位教师在学生能够用实物小棒搭正方形后，设计了如下的教学片断：

师：同学们，你们能在脑中用9根到20根的小棒独立搭正方形吗？分别有怎样的结果？能用算式表示吗？（生思考并写算式）

生汇报如下：

9÷4=2（个）……1（根）

10÷4=2（个）……2（根）

11÷4=2（个）……3（根）

12÷4=3（个）

13÷4=3（个）……1（根）

14÷4=3（个）……2（根）

15÷4=3（个）……3（根）

16÷4=4（个）

17÷4=4（个）……1（根）

18÷4=4（个）……2（根）

19÷4=4（个）……3（根）

20÷4=5（个）

……

师：观察上面的商和余数，你有什么想法？

生：12÷4=3（个），可以看成是余0根。

生：余数是1、2、3、1、2、3重复。

师：为什么余数只出现1、2、3，不出现4、5呢？

生：因为1、2、3根小棒不能搭成1个正方形，多4根的话，还可以搭1个正方形，多5根的话，还可以用其中的4根搭1个正方形，还多1根。

师：余数和除数的大小有什么关系？

生：余数不能比除数大。

生：余数要比除数小。

……

脑中搭正方形在内容上与实物操作相似，但体现了不同的思维水平，加深了学生对余数意义的理解。从小棒的实际操作到数学算式，学生经历了横向数学化的过程，通过摆“9根、10根……20根小棒”，学生经历了纵向数学化的学习过程。从实物小棒图到头脑小棒图，不管是多1根、多2根、多3根，都不够搭1个正方形。学生逐步建构起了“余数要比除数小”的概念。可见，通过数形结合等方式让学生体验有余数除法的含义，既可以让学生理解余数的概念，又可以让学生在试商、调商计算技能方面获得一定的基础。同时，引导并提炼“余数要比除数小”这一结论的过程也是数学味油然而生的过程。

四、让数学知识融为一体

数学知识具有严密的逻辑性，各知识点之间有着内在的联系。如果能把各知识点按一定的线索进行梳理，就可以沟通知识间的前后联系，使所有的知识融为一体，大大减少学生理解与识记的压力，从而提升学习质量。同时，还可以让学生感受到数学的本质味道——科学与严密。

基于上述思考，笔者在教学“多边形的面积复习”一课时，尝试引导学生换一个角度整理，从梯形的变形入手，通过直观图形的比较和抽象公式的沟通，横向打通了梯形和三角形公式、平行四边形及长方形之间的内在联系。具体教学片断如下：

谈话：其实，我们换个角度看，这些公式之间还有另外一些联系。

⒈梯形与三角形面积公式

⑴出示梯形：它的面积怎么算？（出示公式S=（a+b）h÷2）

⑵课件展示上底不断缩短变成三角形的过程：如果还用这个公式计算面积，你有什么看法？（要把公式中一个底变成0）

⑶用0代替一个底，再整理一下，看看变成了什么？（出示公式S=（a+0）h÷2=ah÷2）

⒉梯形与平行四边形面积公式

⑴把这个梯形再变一变（课件展示上底不断变长成为平行四边形的过程），如果还用梯形这个公式，你有什么建议？（要把上底、下底变成同一个字母）

⑵把上底和下底都用a表示，再整理一下看看，变成了谁的公式？（出示S=（a+a）h÷2=ah）

⒊梯形与长方形面积公式

⑴当然还可以再变，（课件展示上底向两边同时变长成为长方形的过程）还能用梯形这个公式吗？（上底下底变得相同，高用b表示）

⑵再整理一下，变成了谁的公式？（出示公式S=（a+a）b÷2=ab）

⒋小结：我们发现，梯形面积公式可以作为这几个图形的通用公式，当梯形的一个底变成0时，梯形公式就变成了三角形公式（板书：b=0时→S=ah÷2），当上底与下底一样长时，梯形公式就变成了平行四边形公式（板书：b=a时 →S=ah），进一步还可以变成长方形的面积公式（S=ab）。

上述平行四边形、三角形、梯形等三个面积公式，除了在纵向推导过程中存在千丝万缕的联系外，在横向比较时会发现，它们的计算公式在形式上也有相通之处。笔者就是把这种相通之处进行适度提炼，让所有的学生都能有所感受和理解，从而让学生较为深刻地体会数学知识的严密之美。

总之，学生学习数学的过程既是从感性到理性的抽象概括，同时也是从理性到理性的同化迁移过程。教学时，我们要遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，力求用数学本身的魅力——数学味去吸引学生。因为有数学味的数学课才能让学生越来越喜欢，越来越聪明；有数学味的课堂才能使学生积极主动参与，从而构建起新的知识体系，进而提高其数学思维能力。当然，数学味的创设要适度，应以大部分学生能够接受为宜。

（作者单位：浙江省仙居县岭下张小学）

责编/张晓东