关于数学分析课程教学改革的几点认识

牛耀明

（包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014030）

关于数学分析课程教学改革的几点认识

牛耀明

（包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014030）

本文讨论在数学分析课堂教学中，通过改进教学理念和方法，能够使学生更好地和更有效地掌握数学分析的教学内容和相关数学思想，培养学生的数学素养和提高学生解决问题的能力，从而提高数学分析课程的教学质量.

数学分析；课程；教学改革

由于“数学分析”侧重于理论知识的研究，经常会使学生感到枯燥、对知识点理解不深刻，从而影响学习效果.如学生在一元函数微积分的学习中，对极限、导数和连续的概念理解不够深刻，在学习多元函数的微积分时，学生学习会很吃力，学生会对多元函数微积分的相关定义理解不准确，从而不能很好地掌握相关内容，也导致学生很被动，不知学习数学分析的用处，从而教学质量受到严重影响.为了能够使学生更好地和更有效地掌握数学分析的教学内容和相关数学思想，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力以及提高数学分析的课程的教学质量.笔者提出以下几点关于数学分析课程教学改革的建议.

1 培养学生学习数学分析的兴趣

数学的历史从某种角度来说可以看成是数学名人的历史.在课堂教学中讲到相关知识时可以介绍数学家的生平和研究经历，有助于培养学生对数学的学习兴趣，使学生在其中找到学习数学的精神动力.在数学分析的教材中的相关定义和定理涉及很多数学家，如在介绍预备知识时的数学符号正弦sin和余弦cos，虚数单位i以及自然底数e，这些数学符号都是欧拉命名的，并且欧拉是第一个使用函数来描述包含各种参数的表达式的人.于是在教学时可以向学生讲述数学家欧拉的生平和研究经历.欧拉1707年4月15日出生于瑞士，欧拉被描绘成“分析学的化身”，他使数学发生了彻底的变革，他扩展了数论、代数学和几何学，同时创建了图论、变分学和分拆论.欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷.[1]在他生命的最后17年中，欧拉的双目完全失明，对失明的到来却很镇定.但是他并没有让自己屈服于寂静和黑暗，在最后一点光感消失之前，他就使自己习惯了用粉笔在大石板上写公式，然后让他的孩子们当抄写员，他再口授公式的解释.他的数学新作不仅没有减少，反而增多了.在课堂教学中教师如果能在恰当的时候给学生介绍这些历史名人的生平不仅可以传递数学思想，而且可以起到对所学知识的提升，增强学生学习数学分析的兴趣.还比如在教学内容讲到微积分基本公式时，可以介绍牛顿和莱布尼茨分别独立发现微积分基本公式的相关历史.于是课堂教学渗透数学史可以提高学生学习积极性、开阔学生视野，提高教学效果.

2 处理好数学分析与高中数学教学的衔接

由于数学分析教材和新的高中数学教材在内容上有很多重复的知识点，并有内容不连续的脱节现象.如果任课教师不能及时了解新的高中数学教学内容上有哪些改变，没有及时更新教学理念，没有针对这些变化调整教学方法，从而会影响教学效果.如在介绍预备知识时，讲到几类初等函数的性质时，三角函数可以简单介绍，因为这部分内容中学数学已经系统地地介绍过，在课堂教学中重点介绍中学没有学过的函数如符号函数、狄利克雷函数以及黎曼函数的性质，因为这几类函数有着重要的分析性质.在处理极限和导数的教学过程中，计算数列极限、导数运算法则、求导公式以及这些知识的简单应用已经被编写到高中数学教材中.于是在课题教学中应该给学生少布置一些极限计算和求导数的习题，而应该多布置一些证明数列极限和极限存在的习题，以及高阶导数与微分的习题，这样才能让学生更好地理解数学分析这门课的思想和培养解决问题的能力，深刻掌握相关知识点，为将来更高层次的学习打下扎实的基础.

另一方面由于数学分析这门课程的定义和定理都是通过数学语言来刻画的，这同中学数学完全不同，为使学生顺利地过渡到大学数学学习中，因此在课题教学中应该加强学生数学语言方面的教学.由于数学语言表现出来的概括性、抽象性、简洁性、精确性等特性，是文字所不能替代的.[2]任课教师在课堂教学中尽量多用数学语言来描述相关概念和定理，在上课时让学生用数学语言回答所提问题，让学生用数学语言解决问题.此外，应该引导学生从否定的意义上去理解数学分析的概念，熟练掌握这些概念否定的叙述形式，使学生能将一个命题及它的否命题进行文字语言与符号语言的互译.如“极限存在、极限不存在”，如“级数一致收敛、级数非一致收敛”等.

3 提高学生解决问题的能力

教师在数学分析教学中应该提高学生解决问题的能力.笔者发现在每次的考试过程中学生如遇到的题目与与平时练习的题目变化比较大时，很多学生束手无策，不能解答，究其原因之一是学生对相关知识点没有深刻理解和掌握.因此教师在数学分析教学中就应重视背景教学，抓住知识的实际背景，使学生不仅掌握数学理论知识，而且认识到数学来源于实际生活，从而为学生分析处理实际问题奠定基础，培养学生分析、解决实际问题的能力.例如，在讲授定积分、重积分以及曲线积分和曲面积分时，先介绍这些概念的物理背景，即不均匀的各种形状的构件的质量问题.求质量的基本思路都是一样的，都是“分割、近似代替、求和、取极限”，不同形状的构件，分割的对象不同，求和的形式不同，抽象出来就是不同的积分.接下来在给出相关积分的严格定义和讨论其性质，这样让学生既了解了这些积分概念产生的背景，又对这些积分有了比较系统和和深入的认识.[3]

笔者在教学中发现学生解题能力差的表现是学生对相关知识点不能灵活应用.众所周知，数学概念的产生和发展都来源于对实践的感性认识，如果教师在教学中能借助直观的几何图形来引导和启发学生观察、分析，将有助于学生理解抽象的概念，如深刻理解函数的微分、定积分、二重积分等概念的几何意义，能使学生对这些概念理解更深刻，能更灵活运用概念分析问题，提高学生的分析与解决问题的能力.数学分析中有些问题如果使用数形结合的方法来教学生解题，可提高解题效率，如在数学分析教学中，特别是计算重积分时应画出积分区域，再确定积分的范围.此外，教学中应注意避免大段的理论讲授，尽可能讲练结合，边讲边练，并且要做到精讲多练.例如由于定积分中值定理的形式比较多，且每个定理对函数的要求条件不同，笔者在教学过程中发现学生在学习定积分中值定理这部分内容时比较容易混淆这些定理的条件，在遇到问题时不知应用哪个定理.因此在教学过程中让学生多做这方面的练习，多布置这方面的习题为作业，教师可以及时了解学生的学习中值定理的情况，并根据学生的练习反馈情况实施更有针对性的教学.这样才能让学生深刻理解每个积分中值定理中对函数要求的条件和灵活应用，从而提高学生的解题问题的能力.

总之，数学分析这门课程的教学是一个不断探索与改进的过程.因此数学分析任课教师在教学中要注重数学思想方法的渗透，教学中应注意避免大段的理论讲授，尽可能讲练结合，边讲边练，并且要做到精讲多练，让学生深刻掌握数学分析的相关知识点，培养学生的数学素养和提高学生解决问题的能力.

〔1〕Willian Dunham.微积分的历程[M].北京:人民邮电大学出版社,2010.

〔2〕刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京，高等教育出版社，1992.

〔3〕陶哲轩.陶哲轩实分析[M].北京:人民邮电大学出版社,2007.

G642

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1673-260X（2013）08-0227-02

内蒙古自治区高等学校科学研究项目资助（NJZZ12198）