基于结合力模型的自适应飞机防滑刹车控制

李丰羽 焦宗夏

(北京航空航天大学 自动化科学与电气工程学院，北京 100191)

在起飞和着陆阶段，飞机依靠防滑刹车系统(ABS，Anti-skid Braking System)控制，通过协调舵面和前轮操纵保证飞机安全刹停.为了防止由于机轮打滑造成事故，使用稳定和高效防滑刹车控制策略对提高飞机地面安全性有着重要意义.

飞机的防滑刹车系统是一个复杂的具有不确定性的非线性系统，系统的非线性主要由结合系数与滑移率和刹车力矩与压力等映射关系导致［1］.

目前飞机防滑刹车控制律主要是依靠对机轮角速度、角加速度和机体速度的测量，以预先设定的减速率或滑移率等为控制目标，通过改变刹车压力实现飞机防滑刹车.飞机防滑刹车控制律常见的有压力偏调、滑模变结构控制、模糊控制和滑移率闭环控制［2－6］等.但是在不同跑道状况(干、湿)、材质(沥青、软土)或温度等条件下，由于机轮与跑道之间的结合力发生变化，对应的期望滑移率工作区间会随之偏移.此时只可能保证飞机防滑刹车系统有效工作，但不能确保满足可靠性和高效性的要求.

轮胎/路面摩擦力模型是基于结合力模型的非线性防滑刹车控制律研究的基础.文献［7］提出的魔术公式是基于大量试验基础上的稳态摩擦力拟合公式，给出了以滑移率为自变量的结合系数的表达式.

基于鬃毛变形理论的动态LuGre摩擦力模型考虑了结合力的速度相关性［8］，其用来表示鬃毛形变量的内部摩擦状态变量具有有界性和满足Lipschitz条件等性质，使其便于应用在刹车系控制律研究方面，其不可测量的内部摩擦状态可以通过状态观测器进行估计［9－10］.通过合理设计自适应律可以解决由未知外部工作状况引起的模型参数不确定问题［10－12］.

首先考虑到飞机滑跑中受到地面载荷、气动力和发动机残余推力等，建立机体和机轮的动力学模型，其中机轮所受结合力使用动态LuGre摩擦力模型表示，将未知跑道状态映射到模型参数.利用双状态观测器［11］估计模型的不可测内部摩擦状态，并更新由自适应律估计得到的模型参数估计值.

通过在线求解分布式LuGre摩擦力模型的伪稳态模型极值，得到结合系数的最大值及相应的滑移率.将此滑移率作为控制系统的跟踪目标，利用反馈线性化思想构造前馈控制器进行防滑刹车控制，从而达到改善未知跑道状态下的防滑刹车系统工作效率的目的.

1 飞机机体及机轮动力学模型

1.1 飞机的地面受力分析

飞机在地面滑跑过程中受力如图1所示.

由图1可知，在坐标系Oxyz中飞机质心速度V和受力的关系为

其中，m为飞机质量;R为总空气动力，沿坐标系Oxyz的分量为D，L和Y，方向如图1所示;F为地面通过起落架给机体的力.

为了简化模型，做出以下假设.

假设1

1)左、右机轮对称刹车，且工作条件(跑道状况和温度等)相同，则有

其中，Fx为飞机轮胎与跑道之间的结合力.

2)不存在侧向加速度和侧力，即左、右机轮垂直载荷均匀分布，则有

其中，Fn为机轮受到的法向力.

3)机体质心速度与机轮转动中心速度相同.

4)忽略前起落架水平载荷、发动机推力和升力.

注意，前起落架水平载荷和发动机推力相对结合力较小;升力相对重力较小，因此建模时被忽略.根据假设1，水平纵向速度分量v与受力的关系简化为

其中，Ka为气动阻力系数，且有D=Kav2.

1.2 机轮的受力分析

刹车压力Pb通过刹车系统产生刹车力矩uτ使得机轮减速.由机轮受力分析(图2)可知，由于机轮与地面等效接触点的线速度同机体速度存在速度差，使得机轮工作在既滚又滑的状态，与跑道之间产生大于滚动摩擦和滑动摩擦的结合力，使得飞机减速刹停.刹车力矩与刹车压力具有复杂的非线性关系，不影响控制效果前提下，此处简化为线性关系 uτ=KbPb，其中 Kb=npμpnhApRb为刹车力矩增益系数，与摩擦偶摩擦面个数np、摩擦偶摩擦系数μp、刹车作动活塞个数nh、活塞面积Ap和摩擦半径Rb相关.

图2 机轮受力示意图

综合假设1中4)和图2分析可得机轮动力学方程:

其中，J为机轮的转动惯量;ω为机轮相对转动中心的角速度;r为机轮转动半径.

为了度量飞机轮胎滑动运动的程度和法向力与结合力的关系，定义滑移率和结合系数如下:

其中，相对速度vr=v－rω.

1.3 飞机轮胎结合力模型

结合力模型采用动态LuGre摩擦力模型［8］:

其中，z为内部摩擦状态;σ0为名义静摩擦系数;g(vr)=μC+(μS－ μC)e－|vr/vs|1/2，μC和 μS为库伦摩擦和最大静摩擦系数，vs为Stribeck相对速度;β0和β1为轮胎橡胶刚度和阻尼系数;β2为粘滞阻尼系数.

注意，z表示轮胎微观上鬃毛的变形量，是摩擦力模型中的重要部分，而且具有未知和不可测量的特性，可通过设计观测器对其进行估计.由z的含义可知其具有如下有限变形特性:

性质 1 如果 |z(0)|≤ μS/σ0，则有:|z(t)|≤μS/σ0，对于∀t≥0;

性质 2 ∞ ＞μS≥g(vr)≥μC＞0，∀vr.

根据LuGre摩擦力模型参数的物理意义，做出如下假设.

假设2 飞机轮胎结合力模型参数β0，β1和β2为正数，且全局一致有界.

由前述分析可知模型参数对应跑道状态，参数值对结合系数-滑移率曲线(μ-λ曲线)形状影响如图3所示.由式(7)中结合系数定义可知，模型参数对结合力的影响与对结合系数的影响趋势相同.

图3 参数不同的μ-λ曲线(v=50m/s)

2 控制器设计

由图3可知，参数值不同的μ-λ曲线的最大结合系数及相应的期望滑移率均不相同.因此控制器需要根据不同结合力需求，通过控制算法改变刹车压力，以期望使机轮工作在结合系数最大值附近;而且在跑道状态发生变化时，能够实时估计摩擦力模型参数，进而在线解算最大结合系数，确保获得当前路面状态下的最大结合力和理想的机体减速度，保证系统的有效性，缩短刹车距离，提高系统的工作效率.

2.1 控制目标

为了充分利用机轮与地面之间的结合力，通过在线求解式(10)中分布式动态LuGre摩擦力模型的等效伪稳态模型极值，可以获得最大结合系数μmax及相应的期望滑移率λ［10］d.

由式(7)中滑移率定义可知，对应于λd可得最大结合力Fxmax.因此将通过控制刹车压力使飞机轮胎工作在λd及其左半平面附近作为系统的控制目标，可以保证飞机防滑刹车系统的工作效率.

其中，l为飞机轮胎与跑道接触长度;η=λ/(1－ λ);γ =1 － β1|η|/［rωg(vr)］.

式(10)中结合系数是多变量函数，其中飞机速度可以通过传感器测量，结合力模型参数通过设计观测器和自适应律进行估计，在求极值时上述两种变量可作为常数.因此通过在给定区间求极值的方法得到μmax及相应的λd.

2.2 基于状态观测的自适应控制器设计

由式(6)中滑移率定义可知期望相对速度vrd=vλd，则可认为对应当前速度v，对期望滑移率的跟踪等价于对vrd的跟踪.根据vr定义可知，其导数为

将式(4)、式(5)、式(8)和式(9)代入式(11)可得

其中，g1=J/(rKb);g2=Fn(2J/m+r2)/(rKb);θ=β1+β2，故 g1，g2和 θ均为正.

定理1 在跑道状态未知时，由式(4)和式(5)描述飞机机体和机轮模型，由式(8)和式(9)描述轮胎结合力模型，在满足假设1和2时，可以得到:

①系统内所有信号均有界;

②存在自适应律:

其中，γβ0，γβ1和 γθ为正常数;e为相对速度的跟踪误差，使用如下双状态观测器估计内部摩擦状态值得到和

其中γ0和γ1为正常数，使得利用反馈线性化构造的刹车压力控制律:

其中c1为正的反馈增益，通过改变刹车压力，能够保证系统跟踪由式(10)在线解算得到λd.

证明 由相对速度跟踪误差的定义e=vrvrd可知，将式(4)、式(5)、式(8)和式(9)代入 e导数表达式，整理可得

定义半正定Lyapunov函数如下:

其中，值得注意的是，状态估计误差及其导数定义为

规定乘积项的估计误差为

同理可知:

将式(21)～式(24)代入Lyapunov函数V沿着式(13)～式(18)轨迹的导数，根据假设2可得

由式(19)可知 e·∈ L∞，由式(25)可知 e∈L2，且 e∈ L∞.由 Barbalat引理可知，当 t→ ∞时，e→0.由误差e和式(6)中滑移率λ定义可知，当t→ ∞时，λ → λd.故②得证.

3 仿真结果

为了验证设计的状态观测器、自适应律和控制律的有效性，以某型飞机为对象设计仿真验证程序，仿真参数如表1所示.

表1 仿真参数表

程序运行开始即进行防滑刹车，刹车压力指令信号驱动刹车装置作动，通过将刹车片压紧在刹车盘上产生的力矩进行刹车.通过在区间［0.05，0.45］内在线计算最大结合系数 μmax及相应的期望滑移率λd，将λd作为系统的跟踪目标，通过刹车系统使机轮工作在能够提供的最大结合力附近，机体的减速度最大，防滑刹车效率最高，刹停距离最短.为了便于分析和显示，仿真曲线显示3 s之前的仿真结果.

由图4和图5可见，结合力模型的参数和内部摩擦状态估计值很快收敛到真值附近，模型参数真值为表1中仿真参数设定值，内部摩擦状态真值由仿真程序中对象模型提取.

图4 摩擦力模型参数估计值和真值曲线

飞机刹车系统按图6中刹车压力指令进行防滑刹车控制，得到图7和图8所示的期望滑移率跟踪曲线及跟踪误差曲线，表明稳定后机轮工作在期望滑移率附近，可以获得最大结合力，以理想的机体减速度进行防滑刹车，确保了飞机防滑刹车的效率.

图5 摩擦力模型内部摩擦状态估计值和真值曲线

图6 刹车压力指令信号曲线

图7 仿真对象滑移率和期望滑移率曲线

图8 期望滑移率跟踪误差曲线

图9显示为在所设计的控制律下飞机机体和机轮的线速度曲线.

图9 飞机机体和机轮速度曲线

4 结 束 语

飞机防滑刹车过程中未知的跑道状态对应了轮胎结合力模型中参数的不确定性.针对此问题通过设计状态观测器估计轮胎结合力模型中的内部摩擦状态值，设计自适应律估计结合力模型参数，以在线解算结合力伪稳态模型得到的期望滑移率为跟踪目标，采用反馈线性化思想构造前馈控制器进行防滑刹车控制，通过飞机防滑刹车系统使飞机轮胎工作在期望滑移率附近，提高了飞机防滑刹车效率.

References)

［1］王记森.非线性控制理论在防滑刹车系统中的应用研究［D］.西安:西北工业大学自动控制系，2001 Wang Jisen.Nonlinear control thoery and its application to aircraft antiskid brake system［D］.Xi’an:Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，2001(in Chinese)

［2］汤传业.飞机防滑刹车系统仿真研究［D］.西安:西北工业大学机械电子工程系，2007 Tang Chuanye.Studies on aircraft anti-skid braking system simulation［D］.Xi’an:Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，2001(in Chinese)

［3］李玉忍，马瑞卿，薛晶，等.飞机防滑刹车系统的变结构控制研究［J］.西北工业大学学报，2008，26(6):752 －754 Li Yuren，Ma Ruiqing，Xue Jing，et al.Improving variable structure control of aircraft anti-skid brake system［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2008，26(6):752 － 754(in Chinese)

［4］何恒，吴瑞祥.改进的BP神经网络在飞机防滑刹车系统的应用［J］.北京航空航天大学学报，2004，30(6):561 －564 He Heng，Wu Ruixiang.Improved BP neural network in design of aircraft antiskid braking system［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2004，30(6):561 － 564(in Chinese)

［5］田广来，谢利理，岳开宪，等.飞机防滑刹车系统的最佳滑移率式控制方法研究［J］.航空学报，2005，26(4):461 －464 Tian Guanglai，Xie Lili，Yue Kaixian，et al.Study on optimal control method of an aircraft anti-skid braking system based on slip-ratio［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2005，26(4):461－464(in Chinese)

［6］李波，焦宗夏.飞机防滑刹车系统关键技术研究［D］.北京:北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，2008 Li Bo，Jiao Zongxia.Studies on the key technology of aircraft brake system［D］.Beijing:School of Automation Science and E-lectrical Engineering，Beijing Univercity of Aeronautics and Astronautics，2008(in Chinese)

［7］ Pacejka H B，Sharp R S.Shear force development by pneumatic tyres in steady state conditions:a review of modeling aspects［J］.Vehicle System Dynamics，1991，20(3/4):121 －175

［8］ deWit CC.Dynamic tire friction models for vehicle traction control［C］//Decision Control.Phoenix:IEEE，1999:3746 －3749

［9］ deWit CC，Tsiotras P.Observers for tire/road contact friction using only wheel angular velocity information［C］//Decision Control.Phoenix:IEEE，1999:3932 －3937

［10］ Yi J，Alvarez L，Claeys X，et al.Adaptive emergency braking control in automated highway system using a dynamic tire/road friction model［C］//Decision Control.Sydney:IEEE，2000:456－461

［11］ Tan Yaolong，Ioannis Kanellakopoulos.Adaptive nonlinear friction compensation with parametric uncertainties［C］//The A-merican Control Conference.San Diego:AACC，1999:2511 －2513

［12］ Chen Bihua，Ge Shuzhi，Wang Chengwen.Robust adaptive neural network control of aircraft braking system［C］//Industrial Informatics.Beijing:IEEE，2012:740 －745