基于测量船的实时定轨改进方法❋

沐俊山❋❋，刘冰，薛国虎，戴正旭

（中国卫星海上测控部，江苏江阴214431）

基于测量船的实时定轨改进方法❋

沐俊山❋❋，刘冰，薛国虎，戴正旭

（中国卫星海上测控部，江苏江阴214431）

为了适应多目标任务的测定轨需求，进一步提高测量船定轨的时效性，对时间序列最优定轨方法进行了研究，分析了定轨工作中涉及的飞行动力学模型，对序贯定轨的过程进行了贝叶斯统计描述。基于工程应用的可行性，采用扩展卡尔曼滤波方法和无迹滤波方法，并对两者进行了改进，在计算上采用平方根扩展卡尔曼滤波方法和平方根无迹滤波方法，在定轨模式上，采用一种新的混合定轨方法。改进后的方法在保持精度的基础上提高了滤波器时间更新效率，模拟数值计算和实战数据验证的结果表明，两种滤波定轨方法均能够在较短的时间内收敛，并达到预期的定轨精度。

测量船；最优轨道确定；平方根扩展卡尔曼滤波；平方根无迹滤波

1 引言

航天测量船主要从事对航天器的跟踪测量、遥测及遥控工作。其中，对目标航天器的弹道状态估计和轨道测量与确定是测量船工作的重要内容之一。当前，测量船统计定轨方法中，无论是事后处理还是短弧段的准实时处理，均采用基于最小二乘原理的批处理方法。单位矢量法［1］和微分改正方法均属于批处理方法，此类方法的特点是测量数据需要进行离线处理。

随着卫星编队任务等应用需求，多目标发射任务越来越多。在这种发射任务中，火箭不仅携带多个有效载荷，而且还包括多个卫星之间的承载舱，在各目标分离时，多个目标之间存在一定的碰撞风险，因此需要对各目标的位置、速度状态矢量尽可能快速准确地进行估计和预报，并快速地评估和预报碰撞风险。目前的事后定轨方法不仅在时效上滞后，另外无法加入有动力的数据，导致有效定轨弧段较短。针对新的任务需求，我们研制并改进了基于时间序列最优估计的实时定轨系统。本文就研制过程中涉及的相关技术进行阐述。

2 定轨算法

2.1 动力学模型

飞行器在飞行过程中受到多种力的作用，其中包括地球二体和非球形引力、大气阻力、太阳光压、日月和行星的摄动、潮汐等作用。对近地轨道卫星所受到的力除了地球引力和大气阻力外，其他力的作用产生的加速度均低于10－7km2/s［2］。当飞行器在某个时刻的状态矢量确定后，其在这个时刻的瞬时密切轨道根数也就确定了。飞行器状态矢量包括其速度r和位置v。该飞行器在其他时刻的状态可以使用当前位置、速度基于已知的动力学模型进行外推，目前的轨道计算方法既可以使用分析方法［3］也可以使用数值方法进行外推，通常这种计算基于某个地心惯性坐标系进行，例如J2000.0。

其中，r和v是飞行器在地心惯性系下的位置、速度矢量；式（2）右边第一项为地球和飞行器之间理想的二体模型，第二项包括各种摄动作用；anonsphere为地球非球形引力作用，asun/moon为日月摄动，adrag为大气阻力摄动，asunlight为太阳光压摄动，atide为固体潮作用；anonsphere是非球形引力势Unonshpere的梯度，Plm为缔合勒让德多项式形成的系数，Clm、Slm为引力场系数。在基于高速率测量数据的实时定轨应用中，上述摄动项可以根据测量精度进行裁剪，轨道外推和误差状态转移矩阵的摄动影响一般分别进行考虑。例如，利用分析模型计算误差状态转移时可以只考虑非球形引力J2项作用［4］，但是在进行轨道外推时，则需要根据测量数据精度来匹配合适的外推模型精度，一般情况下，大气摄动也考虑在内。

其中，Cd为大气阻尼系数，A为飞行器垂直与速度矢量方向上的截面面积，ms为飞行器质量，ρ是飞行器所在位置的大气密度，υrel为飞行器相对大气的飞行速度。

2.2 最优实时轨道确定的系统模型

轨道确定中的动力学模型和测量模型均为非线性的模型。其中力学模型为连续时间模型，可以转化为适合计算机处理的离散模型［5］。而测量模型是自然的离散时间模型。离散的动力学模型和测量模型可以用下式表达：

测量模型和动力学模型分别在上文中描述，其中f为表达动力学模型式（1）和式（2）的过程模型，h为测量模型［6］。xk∈Rn为在离散时刻k的n×1维状态矢量，zk∈Rm为该时刻m×1维测量元素矢量。wk∈Rn是n×1维过程噪声矢量，υ∈Rm为m ×1维测量噪声矢量。υ和w均假设为期望为0的高斯随机过程，并且

其中，δ为Kroneck函数。上述过程和测量模型系统模型可以定义为基于马尔可夫链的贝叶斯统计模型：

在项目研制过程中，我们分别实现了多种非线性滤波方法，其中包括扩展卡尔曼滤波（EKF）［7－8］方法、无迹卡尔曼滤波（UKF）、高斯赫米特滤波（GHF）和粒子滤波（PF）。鉴于工程应用的可行性，我们选择了计算负荷相对较低的EKF和UKF并对其进行数值计算的稳定性改进。计算字长限制导致计算舍入误差的积累将导致状态协方差的估计值失去非负定性，负定的状态协方差将使卡尔曼增益的计算失真，从而使从残差中提取的反馈补偿信息失真，最终导致滤波器发散。解决计算舍入误差问题的一个主要方式是通过平方根方法，即在滤波的过程中不计算状态协方差，而计算状态协方差的平方根。使用平方根方法不仅能保证状态协方差的非负定性，并且在数值计算中，使用一半的计算机字长即可达到状态协方差的计算精度。平方根方法是一大类方法，项目主要采用QR和Cholesky两种矩阵分解技术进行平方根计算，形成平方根扩展卡尔曼滤波（SR-EKF）和平方根无迹滤波方法（SR-UKF）。限于篇幅，这里略去具体的滤波器数学模型。

3 数值实例与分析

3.1 数值计算结果

在实时定轨系统的实现过程中，还要涉及许多问题，例如：时间系统和坐标系统的实现与转换、测量数据在线野值剔除、飞行器外推动力学模型、EKF定轨使用的状态转换矩阵的计算方法、滤波器参数定制等内容。例如，在外推动力学模型工作中，我们分别实现了精密的数值法外推模型和基于平均根数理论的分析法外推模型等，在数值方法中，可以根据测量数据精度，人工选择各种摄动模型及阶数。在状态转换矩阵的形成上分别采用了基于受摄力偏微分的分析法、基于单位矢量的分析法和基于有限差分的数值法。我们分别使用了模拟和实测数据对系统进行了测试。

图1～3为利用一组8min的模拟测量数据进行定轨的结果，定轨采用秒节点雷达测量数据，模拟数据中测距随机误差标准差设置为100 m，测角随机误差标准差设置为0.02°。两个滤波器的轨道外推模型采用数值法外推模型，摄动包括2×0阶非球型引力和大气阻力摄动。在定轨模型中，我们采用了一种混合定轨方案：在SR-EKF滤波器中，使用数值法进行轨道外推，使用分析法并进行有限差分形成误差状态转移矩阵；在SR-UKF滤波器中，在sigma点形成的误差椭圆中心点利用数值法外推，而周围的点使用分析法外推。这种混合定轨方法保持了数值法定轨的精度，充分利用了分析外推的速度，使滤波器在保证足够精度的前提下提高时间相应的效率。

图1为利用SR-EKF定轨结果与参考轨道在参考轨道RIC（径向、切向、法向）坐标系下位置分量误差，图2为利用SR-EKF定轨结果与参考轨道在参考轨道RIC坐标系下速度分量误差，图3为利用SREKF和SR-UKF进行定轨的结果与参考轨道在半长轴上的对比。

图1 SR－EKF定轨结果RIC位置分量误差Fig.1 The relative errors in RIC position components under SR－EKF

图2 SR-EKF定轨结果RIC速度分量误差Fig.2 The relative errors in RIC velocity components under SR-EKF

图3 两种方法定轨半长轴与理论结果偏差比较Fig.3 Semi-major axis results generated by the two filters

从各图可以看出，两个滤波器从启动开始计算到60 s，收敛速度较快，后续收敛速度减慢，其中在RIC坐标系位置分量收敛缓慢，在切向分量上存在一定波动，这是由于飞行器在切向分量上速度最大，估计误差也最大。在RIC速度分量上，100 s后收敛缓慢而平滑，由于初轨确定工作中最重要的参数就是半长轴，其直接决定轨道的能量，而速度的准确估计很大程度决定半长轴的精度，与参考轨道相比，半长轴上在60 s后已经达到2 km以内，在100 s以后，定轨结果已经收敛并保持200m以内。

另外，我们还使用历史任务测量数据对两个滤波方法进行了进一步验证，并将计算结果与事后定轨方法结果进行了比较。通过验证，两个改进的实时定轨均能够处理随机性不稳定的实战任务测量数据而未出现不收敛的情况。另外，实时定轨结果与单位矢量法的定轨结果精度上基本相当。

3.2 两种方法的比较

从两种方法互相比较的结果看，对于测量船的测量数据精度，两者定轨结果差别非常小。由图3可知，UKF在前100 s比SR-EKF对轨道初值和协方差的不确定性更为敏感，比SR-EKF偏差较大，在150 s后SR-UKF滤波估计结果略优于EKF，差别在20m以内。

我们利用SR-EKF和SR-UKF从功能上实现了对飞行器的短弧段、高密集数据的实时轨道确定，时间响应性能和精度均达到了预期的水平。两种定轨方法存在一定区别。SR-EKF需要计算误差状态转移矩阵，而SR-UKF无需这一环节。完整的误差状态转移矩阵需要分析各摄动力学的雅克比矩阵，对于二阶SR-EKF甚至要分析得出海森矩阵，并对其进行积分，不仅分析过程复杂，计算消耗也大。具体应用中，根据精度需求往往利用数值法或者分析法进行简化和裁剪。SR-UKF无需计算误差状态转移矩阵，直接通过sigma点外推计算并加权而得。但是，对于航天器状态的六维矢量，需要积分器对每次测量进行13次的轨道和测量外推，对于高精度的数值法轨道外推，也会造成一定的计算负担，因此我们在两种滤波器中均采用了新颖的混合定轨方案，既保证了精度又提高了计算速度。

4 结束语

为了适应新的任务需求，我们研究并改进了基于测量船的时间序列最优定轨方法。模拟和实战数据的测试验证表明，系统在测量弧段较短的情况下实现了预期的收敛性和精度。后续需要进一步研究的内容包括如何提高原始测量数据的精度和进一步融入飞行器有动力段的测量数据以增加有效定轨弧段。

［1］陈务深，陆本魁，马静远.单位矢量法的数学模型（MMUVM）极其简化形式（PUVM1）的迭代法的收敛性［J］.天文学报，2007，48（3）：343－354. CHENWu-sheng，LU Ben-kui，MA Jing-yuan.The convergence prerformance ofMMUVM and PUVM1［J］.Astronomy Journal，2007，48（3）：343－354.（in Chinese）

［2］Vallado D A.Fundamentals ofastrodynamics and applications［M］.3rd ed.New York：Springer，2007.

［3］刘林.航天器轨道理论［M］.北京：国防工业出版社，2000. LIU Lin.The Orbit Theory of Spacescraft［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2000.（in Chinese）

［4］马鹏斌，王丹.基于EKF和多信息源融合的空间交会对接过程实时定轨方法［J］.载人航天，2001（3）：27－30. MA Peng-bing，WANG Dan.Real-time Orbit Determination for Space Rendezvous and Docking Based on EKF and Multisource Information Fusion［M］.Manned Spaceflight，2001（3）：27－30.（in Chinese）

［5］Jazwinski A H.Stochastic processes and filtering theory［M］. New York：Academic Press，1970.

［6］李红艳，沐俊山，傅敏辉，等.星箭分离前后的联合统计定轨方法［J］.电讯技术，2011，51（12）：48－52. LIHong-yan，MU Jun-shan，FUMin-hui，etal.A New United Statistical Orbit Determination Method for TT＆C Ships［J］. Telecommunication Engineering，2011，51（12）：48－52.（in Chinese）

［7］Montenbruck O，Eberhard G.Satellite orbits：models，methods，and applications［M］.Berlin：Springer，2000.

［8］Tapley BD.Statisticalorbitdetermination［M］.London：Elsevier Academic Press，2004.

沐俊山（1973—），男，安徽人，硕士，高级工程师，主要研究方向为航天测控和轨道力学；

MU Jun-shan was born in Anhui Province，in 1973.He is now a senior engineerwith theM.S.degree.His research interests include maritime space TT＆C technology and satellite orbitmechanics.

Email：mujunshan＠gmail.com

刘冰（1968—），男，江苏人，硕士，高级工程师，主要研究方向为航天测控总体；

LIU Bing was born in Jiangsu Province，in 1968.He is now a senior engineer with the M.S.degree.His research concerns space TT＆C system.

薛国虎（1974—），男，江苏人，硕士，高级工程师，主要研究方向为航天测控总体；

XUEGuo-huwas born in Jiangsu Province，in 1974.He isnow a senior engineer with the M.S.degree.His research concerns maritime space TT＆C system.

戴正旭（1983—），男，江苏泰兴人，2006年于南京航天航空大学获学士学位，现为助理工程师，主要从事弹道数据处理、精度分析等方面的研究工作。

DAI Zheng-xu was born in Taixing，Jiangsu Province，in 1983.He received the B.S.degree from Nanjing University of Aeronautics and Astronautics in 2006.He is now an assistant engineer.His research concerns trajectory data processing and precision analysis.

Improvement of Optimal Sequential Orbit Determ ination M ethod for TT＆C Ship

MU Jun-shan，LIU Bing，XUEGuo-hu，DAIZheng-xu
（China Satellite Maritime Tracking and Controlling Department，Jiangyin 214431，China）

To satisfy the requirementofmulti-target launchmission and improve the time performance oforbitdetermination of spacecraft for TT＆C ship，new sequential optimal estimation methods are proposed and studied. The dynamic processmodel in spacecraft orbit determination is analyzed，and a Bayesian description for the Markov process is described.For the engineering application of theoreticalmodels，improved methods SR-EKF and SR-ULF based on two typical nonlinear filters are proposed.Furthermore，a new hybrid orbit determination model is adopted which utilizes both high precision numerical propagator and high speed analytical propagator. The simulation and historicalmeasurement data verification shows that both filters have achieved the expected accuracy，speed and convergence.

TT＆C ship；real-time orbit determination；square root extended Kalman filter；square root unscented Kalman filter

V556

A

1001－893X（2013）02－0177－05

10.3969/j.issn.1001－893x.2013.02.013

2012－08－01；

2012－10－17 Received date：2012－08－01；Revised date：2012－10－17

国家高技术研究发展计划（863计划）项目

Foundation Item：The National High－tech R＆D Program（863 Program）of China

❋❋通讯作者：mujunshan＠gmail.com Corresponding author：mujunshan＠gmail.com