二维粒子输运问题的G—S和SOR迭代方法

王晓慧 等

摘要： 解决粒子输运问题最基本方法是源迭代。对于简单系统，源迭代收敛速度很快。然而对于复杂系统用源迭代求解，收敛速度变得很慢。文章考虑采用高斯-塞德尔（G-S）迭代方法和超松弛（SOR）迭代方法求解粒子输运问题，加快迭代收敛速度。数值实验表明，G-S和SOR迭代方法收敛所需的次数和CPU时间比源迭代要少。

Abstract： The most basic transport iteration method is source iteration. For the simple physical system， source iteration converges fast. But when the physical system is complicated， it is inefficient. In the paper， we shall use Gauss-Seidel （G-S） and Successive Over Relaxation （SOR） iterative methods to solve the particle transport problem to accelerate the convergence speed. Numerical experiments show iterates and CPU time needed for convergence are less than those of the source iteration.

关键词： 粒子输运；源迭代；超松弛迭代

Key words： particle transport；source iteration；SOR iterative method

中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）03-0299-02

0 引言

最基本的输运迭代方案为源迭代，对于一个粒子经历很少碰撞的问题，源迭代收敛得很快，此类问题要么是泄露系统（粒子可能经历几次碰撞就很快逃离外边界），或者处于一个系统里到处存在强吸收（粒子可能经过几次碰撞就被俘获）。然而对于扩散特性的空间区域，其中包含光学厚（泄露几率很小）及散射居主导地位的复杂系统（俘获几率很小），大量粒子被俘获或泄露出去之前需要经历多次碰撞，仍应用源迭代求解，收敛速度会很慢，成本昂贵。而很多实际问题都属于后一类型，因此，人们一直渴望加快SI的收敛速度。

1 源迭代

柱坐标（r，z；ω，η）下的输运方程为：

■■（r？准（r，z；ω，η））+η■（？准（r，z；ω，η））-■■（ξ？准（r，z；ω，η））+∑？准（r，z；ω，η）=S（r，z） （1）

其中，S（r，z）=q（r，z）+■？蓦？准（r，z；ω′，η′）dη′dω′

μ=■·■■，μ=■cosω，η=■·■■，-1？燮η？燮1，0？燮ω？燮π，r∈（0，R），ξ=■·■■，ξ=■sinω。

上述方程中各物理量的含义为：∑是总截面，σ■是散射截面，q是内部的各向同性源，S是源，？准是待求的角通量。

为了方便，在简单连续性方程条件下引进一些基本概念，我们定义如下简化抽象的算子形式：

L？准？劬■■（r？准）+η■？准-■■（ξ？准）+∑？准

S？准+q？劬S（r，z）

则方程（1）可以写为L？准=S？准+q。

最基本的输运迭代方案为源迭代，其定义如下：

L？准■=S？准■+q l？叟0

其中？准■由使用者给定，每次迭代的开始，都需把一个前一时刻的？准■代入上式的右端，得到一个新的估计值，迭代过程重复执行，直到连续两次估计值小于预先指定的数值。

2 G-S迭代与SOR迭代

源迭代是解决粒子输运问题的最基本方案，它具有简单的物理解释。对于大量粒子在被俘获或泄露出去之前只需经历很少碰撞的简单系统，源迭代很有效。而对于包含有光学厚（泄露几率很小）及散射居主导地位的复杂系统（俘获几率很小），大量粒子被俘获或泄露出去之前需要经历多次碰撞。在这些系统中，应用源迭代收敛很慢，成本昂贵。实际问题中很多问题属于后一类型，因此长久以来，人们一直渴望加快源迭代的收敛速度。

从数值分析知道，简单迭代法收敛速度是很慢的，为了提高收敛速度，自然想到把已算出的值代替旧值。因此，我们采用Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法对离散纵标方程求解。从求解格式可以看出，G-S和SOR方法与源迭代相比，所需的计算量和存储量都是一样的，没有任何明显的增加，但数值实验表明，迭代次数和所需时间都明显减少，加快了收敛速度。

3 数值实验

表1为空间离散网格为I×J=200×200和方向离散为S2（即M=16）时，源迭代与G-S方法的比较。表2则是源迭代与SOR方法的比较。可以看出，G-S方法和SOR方法收敛所需的迭代次数和CPU时间都少于源迭代所需要的。随着∑和σ■的同步增大，对应所求解的物理系统越来越复杂，三种方法收敛所需迭代次数和CPU时间都增大了，源迭代收敛所需迭代次数和CPU时间都最多，G-S方法次之，SOR方法最少。但是SOR方法求解时，松弛因子很小的增大或减小都可能导致收敛非常慢，甚至不收敛，因而松弛因子的选择比较困难。

4 结束语

文章给出了求解二维输运方程的G-S和SOR迭代方法，两种方法都与源迭代方法一样易于编程实现，而且它们所需的计算量和存储量也都与源迭代方法相当。数值实验表明，在各种求解系统中，它们收敛所需要的次数和CPU时间都比源迭代少。特别是随着物理系统越来越复杂，这种加速比越明显。

参考文献：

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