超导磁悬浮复合材料储能飞轮转子优化设计

汤继强，张永斌，刘 刚

（北京航空航天大学“惯性技术”重点实验室；北京航空航天大学“新型惯性仪表与导航技术” 国防重点学科实验室，北京100191）

飞轮储能是一种高效无污染的储能技术，在航天器姿控[1]、电力调峰以及电动汽车中都有广泛应用[2]。复合材料在储能飞轮中的应用使飞轮的储能密度进一步提高，然而复合材料径向强度较低，需要通过张力缠绕原位固化[3]、胶接[4]、过盈装配[5]等技术手段提高其径向强度。

多环过盈装配是提高复合材料转子径向强度十分有效的措施[6]，Naki[7]提出了各向异性转子应力计算方法；Ha 通过实验验证了转子尺寸[8]、加工剩余应力[9]以及纤维缠绕角[10]对转子强度的影响；Callioglu 等[11]研究了各向异性高速转子在内外压力作用下的应力分布；Wen 等[12]用位移法对复合材料转子进行了优化设计；秦勇等[13]提出了基于叠加原理的多环过盈嵌套的应力计算方法。

本文利用平面应力理论，建立金属轮毂和复合材料多环过盈装配的应力模型，提出合理的金属轮毂–复合材料转子的设计方案，并利用多学科优化设计方法，以储能量为目标，以转子圆环厚度和环间过盈量为优化变量，在满足强度约束条件的情形下对转子进行优化设计，最终得到转子的优化设计方案。本文的研究结果可以为复合材料飞轮转子的设计、制造和优化提供依据。

1 磁悬浮复合材料飞轮转子模型

1.1 超导磁悬浮储能飞轮复合材料转子结构

本文作者所研究的超导磁悬浮储能飞轮[14]转子结构如图1所示。为提高转子储能密度，设计了一种辐射状金属轮毂结构，外侧为比强度很高的复合材料环。金属轮毂的内腔与磁轴承和电机组件连接，为转子提供径向支撑并提供转动转矩，金属轮毂上侧装有主被动轴承磁轴承，实现转子的轴向位移主动控制，金属轮毂的下侧装有超导磁轴承，可以减少轴向磁轴承的能量消耗。金属轮毂和复合材料圆环以及复合材料圆环之间通过过盈配合产生初始径向压应力，以抵消转子高速转动时产生的离心应力，从而提高径向强度，提高飞轮储能量。

图1 金属轮毂-复合材料转子结构Fig.1 Structure of mental-composite flywheel rotor

1.2 转子应力分析

对金属–复合材料以及复合材料–复合材料过盈装配模型进行数学建模，假设复合材料在缠绕时保持对称缠绕，则金属轮毂和复合材料环和过盈装配初始应力分析都可以简化为轴对称的平面应力问题，从而得到两个转子圆环在极坐标系下的位移控制微分方程[7]，即

其通解为

在转子高速转动时，圆环在内外压力作用下的应力解和位移解公式如下式（3）所示。

式中，rσ、σθ分别为转子圆环的径向应力、环向应力，Pa；ru为转子圆环的径向位移，m；qa和自由面，径向应力为0，即qb分别为圆环内外表面的压力，N；

对于圆环之间的过盈接触面，根据应力和位移连续性条件，在不发生失效破坏的情况下，其径向接触力相等，并且接触边界连续，即

1.3 转子应力场、位移场计算

对于多层不同材料过盈装配的圆环，要得到其应力场，首先要通过边界条件确定方程中的接触应力。对于n 层不同材料转子，其最内层和最外层为

利用上述边界条件，可以建立多环过盈配合时接触力和位移之间的关系矩阵，即

通过求解上述矩阵，可以得到各个圆环之间的接触力p，利用公式即可以得到每个转子圆环的位移解和应力解。

2 复合材料转子优化设计

2.1 优化模型建立

针对前述的超导磁悬浮复合材料储能飞轮转子，对复合材料转子圆环的厚度和环间过盈量进行优化设计，以提高转子的强度和极限转速，达到储能密度的最大化。优化设计主要考虑转子强度约束条件：在静止状态下，转子圆环不会因为过盈装配压应力过大而失效；在高速转动时，转子中的应力需要在许用范围之内，并且接触面必须保持一定的压应力，以保证连接强度。

各转子圆环过盈装配之后，转子在静止状态下，会承受径向压应力、环向压应力和环向拉应力，为保证设计合理，各个应力需要在许用压力范围之内，即

式中，i 表示第i个转子圆环（下同），Xc表示径向压应力，Yc表示环向压应力，Yt表示环向拉应力。

在转子高速转动时，环间接触应力为压应力，为了保证接触强度，能够传递一定的力矩，要求环间接触压应力满足以下关系式

同时，在工况状态下，转子中的应力也必须在许用范围之内，由于压应力小于初始压应力，一定能满足要求，所以只需校检转子中的拉应力数值，即

根据加工条件，要求复合材料圆环厚度满足

根据装配条件约束，取环间过盈量

根据飞轮总体尺寸和磁轴承尺寸约束，转子的内径Ri和外径Ro为定值且磁轴承和金属轮毂尺寸固定，仅对复合材料圆环部分的尺寸进行优化，即

本文以转子的储能量为优化目标，转子尺寸一定的情况下，使转子的储能量达到最大化，则可以得到优化模型为

2.2 优化设计方法及结果

为使飞轮在额定尺寸下达到最大储能量，对变量采用序列二次规划法NLPQL，全域的最优点是可行域中所有满足约束条件自变量点的最大值，对三层复合材料圆环的厚度和环间过盈量进行优化，优化流程如图2所示，论文中选取材料的属性见 表1。

根据上述优化模型，利用优化软件iSIGHT 结合MATLAB 计算程序进行最优解的计算，最终得到算例的最优解，优化前后的转子参数对比见表2。经过优化，转子的接触应力更为均匀，均在–0.5 MPa附近，强度设计更为合理，并且复合材料圆环的径向和环向最大应力均在合理范围内，安全系数>1.5。转子的极限转速从50000 r/min 增加到57997 r/min，储能量从1147 W·h 增加到1543 W·h，储能量增 加34.5%。

图2 转子优化流程Fig.2 Optimization flow chart of the rotor design

表1 转子材料的性能参数Table 1 Material properties of the rotor

表2 转子最优解计算结果Table 2 Optimization result of the rotor

3 结 论

对一种高储能密度超导磁悬浮储能飞轮复合材料转子的应力分布进行了数值分析，得到了其应力分布的解析解，并通过序列二次规划法对转子进行了优化设计。以转子中复合材料圆环的厚度和环间过盈量为优化变量，以储能量为优化目标，在强度约束条件下得到最优设计结果，使转子储能量从1147 W·h 增至1543 W·h，储能密度由40 W·h/kg 升高到 53.8 W·h/kg，储能量和储能密度均升高34.5%。研究结果表明，在优化约束合理的情况下，本文的研究方法提高了转子设计的合理性和效率，对 复合材料转子的设计及优化有重要意义。

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