具有脉冲收获的Gompertz模型的最大存储量问题

杨 娜, 窦家维

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 陕西 西安 710062)

0 引言

由于可再生生物资源优化管理问题的研究直接关系到资源的可持续发展，故近年来在这些方面的研究受到广泛地关注.关于种群模型的脉冲优化开发问题，许多学者对其进行了研究并取得一些重要的成果[1-4].

Gompertz 模型是可再生资源管理中最常用的模型之一,对于以Gompertz增长率描述的种群系统，文献[5]和[6]研究了比例脉冲收获情形下以最大可持续产量为目标的优化收获问题.注意到上面的问题都是选择收获努力量为控制变量的周期控制问题,考虑的时间范围都是无限的,但在实际中遇到的很多问题更关注的是在给定的时间范围内的优化收获问题[7].

本文主要考虑在一个有限时间周期内由Gompertz模型描述且具有脉冲常量收获的种群系统，在收获量给定的前提下,寻求最优的脉冲收获时刻，使得种群在周期末的存储量达到最大.

对于所考虑的问题，利用下面的脉冲微分系统描述：

(1)

由于脉冲收获时刻变化时，种群在周期末的存储量也随之改变，本文将考虑如何选择收获时刻ti，使得当种群数量按照(1)在时间周期t∈[0,T]内发展变化时，在收获量相同的情形下，种群在周期末的存储量达到最大.

显然，在无任何收获发生时，系统(1)具有正初值的解在[0,T]内为正.如果在[0,T]内进行n次收获，假设每次收获量为常数E，收获时刻分别为0≤t1≤t2≤…≤tn≤T，记π=[t1,t2,…,tn]为一个收获策略，在这个收获策略之下，系统(1)对应的解记为N(t)[t1,t2,…,tn]或N(t)[π].一个策略π是可行的，当且仅当N(t)[π]>0，t∈[0,T)且N(T)[π]≥0.

下文中，记Sn为[0,T]内n次收获情形下所有可行策略π=[t1,t2,…,tn]的集合.

假设可行集Sn非空，如果有n次收获策略π*=[τ1,τ2,…,τn]，使得

N(T)[π*〗 =maxπ∈Sn>N(T)[π]

(2)

则称π*是一个n次最优收获策略.

定理1 如果Sn非空，则n次最优收获策略一定存在.

证明：在初始种群N(0)=N0给定的情况下，如果可行策略集Sn非空，则种群在周期末的存储量N(T)[t1,t2,…,tn]是[t1,t2,…,tn]∈Sn的函数，并且系统(1)满足脉冲微分系统关于解对参数的连续依赖性条件，所以N(T)[t1,t2,…,tn]是收获时刻ti(i=1,2,…,n)的连续函数，又因为对于所有的i=1,2,…,n，ti∈[0,T]，因而一定存在最优收获策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得

N(T)[π*〗=maxπ∈Sn>N(T)[π].

证毕.

1 充分长时间周期情形下的优化收获问题

本部分主要讨论下面问题: 假定时间周期[0,T]充分长，以保证有足够的时间选择实施n次最优收获策略π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，在此情形下，确定最优收获策略中τi(i=1,2,…,n)应满足的条件，并由此获得该情形下相应的最优收获策略.对于一个具体问题，时间周期[0,T]至少需要多长才能满足要求，本节末将给出其确切值.

这里所要讨论的优化收获问题(1)～(2)为一个脉冲优化控制问题，我们将应用文献[8]和[9]中关于脉冲微分系统的极值原理研究解决.在文献[8]中，作者首先提出并证明了脉冲微分系统的极值原理，文献[9]对该极值原理在某些特殊情形下的应用条件和证明进行了简化.

根据文献[8]中的记号，有

f0=0,g0=0,

f1(N)=rN(lnK-lnN),g1(N)=-E.

首先容易证明函数f1(N)和g1(N)满足对优化控制问题(1)～(2)应用极值原理时所要求的条件(参看文献[8]和[9]).为了直接应用文献[8]中的极值原理，将问题转化为-N(T)[π] 的极小值问题，即寻求π*=[τ1,τ2,…,τn]∈Sn，使得对于任意的π∈Sn，有

-N(T)[π*〗=minπ∈Sn>(-N(T)[π]).

若以H表示“连续”Hamilton函数，Hc表示“脉冲”Hamilton函数，则有

H(λ,N)=rλN(lnK-lnN)

(3)

(4)

其中，λ=λ(t)为协态变量.

由于在所讨论的问题中，只需考虑最优脉冲收获时刻的选择，由文献[8]中的定理2可知，如果π*=[τ1,τ2,…,τn]是脉冲控制问题的最优收获策略，并且N(t)是系统(1)对应的解曲线，则存在协态变量λ(t)，满足协态方程:

(5)

并且对任意的i=1,2,…,n，当τi=0时，应有

(6)

当τi>0时，应有

(7)

下面进一步讨论由(6)及(7)所确定的条件(由于(7)为(6)式中取等号的情形，仅讨论(6)即可).

将H的表达式(3)代入(6)，得到

rλ(τi)N(τi)[lnK-lnN(τi)]

(8)

f1(N(τi)-E)≥f1(N(τi))

(9)

故由上面讨论可知，使得N(T)[π]取最大值的最优收获策略应满足:

如果在t=0时的种群数量N(0)满足(9)式，则应在τi=0时进行收获；如果在t=0时种群数量N(0)不满足(9)，则应该在τi>0 时进行收获，这时τi应满足条件N(τi)=A，这里A由下式确定:

f1(A-E)=f1(A).

(10)

下文中，记

F(N)=f1(N-E)-f1(N)(N>E)

关于F(N)的有关性质，有下面结论:

命题1F(N)(N>E)是单调增加的，它有唯一零点N=A，满足EA时F(N)>0，当N

证明：当N>E时，

F′(N)=r[lnN-ln(N-E)]>0,

故函数是单调递增的;

又由于

limN→E+F(N)=-f1(E)<0,

F(K)=f1(K-E)>0，

故知F(N)=f1(N-E)-f1(N)=0有唯一解N=A，满足E

(11)

下面，将根据不同的初值情况，确定具体的优化收获策略.

定理2 对于给定的初始种群N0，一定存在整数p≥0，满足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τn=0

(12)

如果p

(13)

由此所得到的策略π*=[τ1,τ2,…,τn] 是n次最优收获策略.

证明：由命题1，如果N0≥A，则有f1(N(0)-E)≥f1(N(0))，满足(9)式，故应取τ1=0.

同理，如果还有N1=N0-E≥A,…,Np-1=N0-(p-1)E≥A, 则仍有f1(Ni-E)≥f1

(Ni)(i=1,2,…,p-1)，即(9)式仍然成立，故应该相应地取τ2=τ3=…=τp=0.

进一步，由于Np=N0-pE

由式(12)和(13)所确定的收获时刻满足极值原理中最优策略需满足的必要条件，且容易验证其它可行策略均不满足该必要条件，又由于最优策略存在，所以所求策略即为最优收获策略.

证毕.

注从上面定理的证明过程看到，对于给定的初值N0，为保证定理中获得的n次优化策略可行，如果p

而如果p≥n时，则对任意T>0均可.

2 给定时间周期内的最多收获次数与最优收获策略

上一节讨论了当时间周期足够长时，在收获次数相同情况下，使得周期末种群存储量最大的最优收获时刻的选择.那么，在给定的时间周期[0,T]内，在初始种群确定的情形下，如果每次收获量均为常量E，这时需要研究最多收获次数问题，及在相同收获次数情形下，使周期末种群存储量最大的优化收获策略问题.注意到，在[0,T]内最多可收获n次意味着可行集Sn非空，而可行集Sn+1为空集.

首先给出下面结果：

由于

因此

显然只要证明下面的(14)式成立即可.

f1(N(1)(t))

(14)

进一步，

(15)

以及

(16)

由(15)可知

进一步由命题2及命题1得到：

这与(16)矛盾.

证毕.

由上面结果可知，如果定理3的条件成立，则收获越晚，周期末种群的存储量越多，因此有

推论1 如果定理3的条件成立，则对于任意[t]∈S1,N(T)[t]≤N(T)[T].

为了研究在给定的时间周期[0,T]内的最多可收获次数及最优收获策略问题，需逐步进行下面的讨论和计算：

(Ⅰ)设初始种群为N0，一定存在整数p≥0，满足A-E≤N0-pE

τ1=τ2=…=τp=0.

(Ⅱ)进一步，计算下面积分：

如果α

T-β<α+(q-1)β≤T.

则令

τp+1=α,τp+2=α+β,τp+3=α+2β,…,τp+q=α+(q-1)β.

如果α≥T，则令q=0.

(Ⅲ)再计算

如果γ≤T-τp+q，一定存在正整数s,

满足

0≤N(T)[τ1,…,τp,τp+1,…,τp+q]-sE

则令

τp+q+1=…=τp+q+s=T.

如果γ>T-τp+q，则令s=0.

记M=p+q+s,π*=[τ1,τ2,…,τM]，则有下面结果：

定理4 如果初始种群为N0，每次收获量为常数E，其中M以及τi(i=1,2,…,M)由上面讨论及计算过程(Ⅰ)～(Ⅲ)所确定.

则有：(ⅰ)在收获次数相同的情况下，收获时刻依次取τ1,τ2,…,τM时是最优的收获策略，即对于任意的m≤M及收获策略[t1,t2,…,tm]∈Sm，下面结论成立：

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

(ⅱ)在[0,T]周期内最多可收获M次，即M+1次收获可行集SM+1为空集.

证明：(ⅰ)如果m≤p，则由定理2知，[τ1,τ2,…,τm]是最优收获策略.

如果q≥1，且p

N(T)[τ1,τ2,…,τm]≥N(T)[t1,t2,…,tm].

如果s≥1，且p+q

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(t)[τ1,τ2,…,τp+q]

(17)

进一步，当tp+q<τp+q且t∈[tp+q,τp+q]时，

N(t)[t1,t2,…,tp+q]

≤N(τp+q)[τ1,τ2,…,τp+q]

(18)

结合(17)和(18)，对于所有t∈[tp+q,T],有N(t)[t1,t2,…,tp+q]

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1]

≤N(T)[t1,t2,…,tp+q]-E

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q]-E

(19)

类似地，可得

N(T)[t1,t2,…,tp+q,tp+q+1,…,tm]

≤N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(20)

注意到

N(T)[τ1,τ2,…,τm]

=N(T)[τ1,τ2,…,τp+q] -(m-p-q)E

(21)

所以(ⅰ)得证.

(ⅱ)由(ⅰ)可知，对于任意的收获策略[t1,t2,…,tM+1]，如果[t1,t2,…,tM]不属于SM，则[t1,t2,…,tM+1]不属于SM+1;如果[t1,t2,…,tM]属于SM，考虑下面2种情形.

情形1：假设tM≥τM，这时有N(tM)[t1,t2,…,tM]≤N(tM)[τ1,τ2,…,τM].对于任意的tM+1，由于τM≤tM≤tM+1≤T，由s的选择知N(tM+1)[t1,t2,…,tM]≤N(tM+1)[τ1,τ2,…,τM]

情形2：假设tM<τM，则由定理3知，对所有t∈(tM，τM]，N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM]

最后，对于任意的tM+1>τM，由于N(τM)[t1,t2,…,tM]≤N(τM)[τ1,τ2,…,τM],并且对于所有的t∈(tM，τM],有

N(t)[t1,t2,…,tM]≤N(t)[τ1,τ2,…,τM]

综上可知，任意的M+1次收获策略[t1,t2,…,tM+1]均是不可行的.

证毕.

3 数值模拟及结论

下面，通过对一个实际模型进行数值模拟以解释验证前面得到的理论结果.

假设一个实际生态系统由下面的具体模型描述：

(22)

在模型(22)中，f1(N)=0.3N(ln100-lnN)首先利用Matlab的fsolve函数进行数值计算，得到A≈47.242 7.下面，设时间周期为[0,6]，对于不同的初始种群数量，分别考虑脉冲收获情形下的最优收获策略.首先应用定理4求得优化收获策略π*，再取两组可行策略π1及π2，对应各种收获策略绘出解曲线的图形，由图形可观察比较三组不同收获策略下周期末种群存储量的差异.

下面各图中实线为采取最优收获略π*情形下的解曲线，点划线和虚线分别为采取其它两组可行策略π1,π2时对应的解曲线.

图1：取N0=50.

图1(a)表示脉冲收获3次时的最优收获策略，由定理4得到优化策略为π*=[0,1.578 3,3.413 3],并取π1=[0,1,2]，π2=[1,2,3].

图1(b)表示最多收获5次时的最优收获策略，由定理4得到优化策略为π*=[0,1.578 3,3.413 3,5.248 3,6]并取π1=[0,1,2,4,6]，π2=[1,2,3,4,6].

图2：取N0=25.

图2(a)表示脉冲收获3次时的最优收获策略，由定理4得到优化策略为π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4],并取π1=[2,3,4]，π2=[3.5,4.5,5.5].

图2(b)表示最多收获4次时的最优收获策略，由定理4得到优化策略为π*=[2.048 3,3.883 3,5.718 4,6],并取π1=[2,3,4,6]，π2=[3.5,4.5,5.5,6].

图1 N0=50时的最优收获策略

图2 N0=25时的最优收获策略

由上面图形可知，当按照最优策略π*确定的时刻进行收获时，在周期末种群的存储量最大.

4 结束语

本文研究了在有限时间周期内，假设每次以固定常量进行脉冲收获时，如何选择最优收获时刻以获得最多的收获次数，以及在收获量一定的情形下，使周期末种群存储量最大的脉冲优化收获问题.对于具体的初始种群和周期长度，获得了完全确定的优化收获策略.

由上面的讨论可知，当脉冲收获发生在周期内部时，即τi∈(0,T)时，这时由极值原理获得了最优收获时刻τi，在这些时刻，种群量应该达到值A，A应满足f1(A-E)=f1(A)，该条件的生物意义非常明显，由于当N属于区间(A-E,A)时，种群的增长率f1(N)相对较快，种群数量从A-E增加到A所需时间最短，因此，在相同的收获量情形下周期末的存储量自然最多.

我们也看到在这种情况下，最优脉冲收获时刻的时间间隔仅依赖于种群的内禀增长率r、环境容纳量K和脉冲收获量E.因此，在周期内部实施收获的最优时刻与初始种群和时间周期长短无关，而在初始时刻和周期末实施收获的次数分别与初始种群量及周期末的种群量密切相关.

[1] Zhang X，Shuai Z,Wang K.Optimal impulsive harvesting policy for single population[J].Nonlinear Anal.:Real World Application,2004,4(4):639-651.

[2] Xiao Y,Cheng D,Qin H.Optimal impulsive control in periodic ecosystem[J].Systems & Control Letters,2006,55(7):558-565.

[3] Angelova J,Dishliev A.Optimization problems for one-impulsive models from population dynamics[J].Nonlinear Anal.Ser.A:Theory Methods,2000,39(4):483-497.

[4] Zhisheng Shuai,Ling Bai,Ke Wang.Optimization problems for general simple population with n-impulsive harvest[J].J.Math.Anal.Appl.,2007,329(1):634-646.

[5] Dong L Z,Chen L S,Sun L H.Optimal harvesting policies for periodic Gompertz systems[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2007,8(2):572-578.

[6] 王丽敏,谭远顺.周期Gompertz生态系统中的最优脉冲控制收获策略[J].系统科学与数学,2007,27(4):520-528.

[7] Xue Y,Tang S Y,Liang J H.Optimal timing of interventions in fishery resource and pest management[J].Nonlinear Analysis: Real World Applications,2012,13(4):1 630-1 646.

[8] Blaquiere A.Differential games with piece-wise continuous trajectories[J].Lecture Notes in Control and Information Science.Springer Verlag,1997,(3):34-69.

[9] Rempala R,Zabczyk J.On the maximum principle for deterministic impulse control problems[J].Journal of Optimizatin Theory and Applications,1988,59(2):281-288.