一道高考解三角形题的简析

　　2011年山东高考数学（理科）试题第17题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.（1）求的值；（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S.
　　本题在知识上主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式及三角的恒等变形，在方法上主要考查转化与化归的思想，在能力上主要考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
　　一、第一问解题思路分析及解法
　　思路一：由已知条件和正弦定理进行边化角，转化为三角函数的变形和化简问题解决.
　　解法1：由正弦定理，可设===k，（k＞0），则==，∴=.即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，化简得sin（A+B）=2sin（B+C）.又A+B+C=π，∴sinC=2sinA，即=2.
　　思路二：由已知条件和余弦定理进行角化边，转化为边的关系式化简，再应用正弦定理即可解决问题.
　　解法2：由=，得（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB.由余弦定理，得（-2·）b=（2c-a），化简得c=2a.由正弦定理，得=，∴==2.
　　思路三:把已知条件化积（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB，整理为bcosA+acosB=2（bcosA+ccosB），再由△ABC的射影公式c=bcosA+acosB和a=bcosC+ccosB，转化为边的关系式，最后应用正弦定理即可解决问题.
　　解法3：由=，得（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB.整理，得bcosC+acosB=2（bcosC+ccosB）.又△ABC的射影公式c=bcosA+acosB和a=bcosC+ccosB，得c=2a.又正弦定理=，∴==2.
　　思路四：由已知条件和正弦定理进行边化角，转化为（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，再利用A+B+C=π把B消去，最后进行三角函数的变形和化简.
　　解法4：由正弦定理==，得=，∵=，∴=，即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB.又A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C），cosB=-cos（A+C）.∴（cosA-2cosC）（sinAcosC+cosAsinC）=（2sinC-sinA）（-cosAcosC+sinAsinC）.化简，得sinC=2sinA，即=2.
　　二、第二问解题思路分析及解法
　　思路一：由已知条件和余弦定理，求出a与c的值，再由同角三角函数的关系求出sinB，代入三角形的面积公式S=acsinB即可.
　　解法1：由=2，得c=2a.由余弦定理b=a+c-2accosB，cosB=，b=2，∴a+4a-a=4，即a=1，c=2.又cosBq0Ffx5pISf4D9hiQWPiAXSN5YQCo9jCm+7zIoVa2CpI==，0＜B＜π，∴sinB==.∴S=acsinB=·1·2·=.
　　思路二：由已知条件和射影公式，求出a与c的值，代入求三角形面积的海伦公式即可.
　　解法2：在△ABC中，射影公式a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=bcosA+acosB.由=2，得c=2a.
　　又cosB=，b=2，∴a=2cosC+a，2=acosC+2acosA，2a=2cosA+a.消cosA，cosC，得a=1，c=2.
　　又p=（a+b+c）=，∴S==.
　　思路三：由射影公式、正弦定理和同角三角函数关系，求出a与c的值，代入三角形的面积公式即可.
　　解法3：由=2，得c=2a.又cosB=，b=2和△ABC的射影公式c=bcosA+acosB，得2a=a+2cosA，即cosA=a.由正弦定理=，得sinA=a.又sinA+cosA=1，∴a+a=1，即a=1，c=2.又c边上的高h=asinB=，∴S=ch=·2·=.
　　思路四：由正、余弦定理得sinB=sinA+sinC-2sinAsinCcosB，再结合cosB=和sinC=2sinA，求出sinA、sinC、a，进而确定三角形的面积.
　　解法4：由正、余弦定理，得sinB=sinA+sinC-2sinAsinCcosB，又sinC=2sinA和cosB=，∴sinB=4sinA，即sinA=，sinC=.又正弦定理=和b=2，得a=1.∴S=absinC=·1·2·=.
　　综上所述，本题是把三角函数中同角三角函数关系、两角和的正弦公式、诱导公式和解三角形中的正余弦定理、三角形的面积公式综合起来命题，融入了化归与转化、方程的思想.本题虽然是解答题的第一道大题，但思维容量大、解题方法灵活，既可以用正、余弦定理和三角形面积公式通性同法来解，又可以用射影公式和求三角形面积的海伦公式特殊方法分析，考查学生综合应用知识和方法分析解决问题的能力，是一个难度适中的好题.