三垂线定理，想说爱你不容易

　　摘 要： 三垂线定理及其逆定理是高中立体几何中的两个十分重要的定理，它们不仅联系着一系列主要概念，而且其证明中包含着较为典型的证题方法，在解题中有着广泛的应用，所以一直以来被广大师生所接受.但是，最新《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》中却把如此重要的一个定理删除了，这种做法引起了一线教师的广泛关注.
　　关键词： 三垂线定理 高中立体几何 优缺点
　　一、集体备课时的争论
　　《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》明确规定，自2011年起，“三垂线定理”不能作为推理论证的依据，这实际上就是删除了三垂线定理的教学.而中职的《江苏省普通高校对口单独招生数学考试大纲》对此并没有具体明确，该定理在教材中亦未出现，许多老师对要不要教存在许多争议.
　　A教师：既然普高都不作要求了，那么我们中职更加没有教的必要性.
　　B教师：不用三垂线定理，通过线面垂直也可以证明线线垂直，少一条定理，少一种方法，对学生来说，或许更容易掌握线线垂直的证明.
　　C教师：没有了三垂线定理，证明线线垂直的时候就不得不依靠化归思想转化为线面垂直的性质，虽然方法单一，但证明过程繁复.
　　D教师：只要有考试，这个定理就不应该淡化，因为它是一个解题的利器，实际上要编一题无法用该定理的立体几何题也并不容易，想要在教学中淡化，可能只是一厢情愿，况且中职大纲并没有否定三垂线定理，让学生多一种解题的方法何乐而不为呢？
　　二、什么是三垂线定理
　　三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
　　已知：如图，斜线PO在平面α上的射影OA垂直于平面α内的直线a.
　　求证：OP⊥a.
　　证明：过点P做PA垂直于α于点A
　　∵PA⊥α
　　∴PA⊥a
　　又a⊥OA，OA∩PA=A
　　∴a⊥平面POA
　　∴a⊥OP
　　三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面上的射影垂直.
　　三垂线定理及其逆定理描述的是斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，前者实际上是平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的判定定理，后者实际上是平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直的性质定理.这两个定理的实质是：平面内的一条直线与平面的斜线及其在平面内的射影同时垂直.它揭露了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系.这两个定理历来是高中立体几何教材中“直线和平面”章节的一个重点.
　　三、三垂线定理的优缺点
　　运用三垂线定理及其逆定理时，不但要掌握其规律，还要通过分析、观察，确定垂面，找准斜线，再抓住斜足、垂足连成射影，最后还要查找垂面内的线，其中关键是要找到平面的垂线，不能想当然地见垂直就确定为垂线.然而，找垂线、射影恰恰是一个难点，整个过程对于学生来说无疑是很困难的.因此在三垂线定理教与不教的争论中，有教师提出定理即使教给学生，学生也未必能掌握，如果记错还不如不教，何况通过线面垂直也可以证明线线垂直，删掉三垂线定理的教学，从某种程度上讲是降低了立体几何教与学的难度.
　　三垂线定理及其逆定理的教学始终是教学难点之一，教师用两节课的时间也未必能让大部分学生很好地理解并掌握证明过程.用三垂线定理解题时，常常需要添加辅助线，使得教师在教学工作中很难合理地解释其原理.并且，由于三垂线定理纯粹的几何特性，使得教师在教学工作中也很难将代数与立体几何联系在一起，这样必然造成学生认知上的断层，造成学生数形结合思想形成的困难.同时由于教学时间不充裕，增加三垂线定理无疑是加重了学生的学习负担，因此有教师提出，既然没有没有明确的教学要求，就不必在此浪费时间，做吃力不讨好的事情.而且删掉三垂线定理的教学，也可以降低教师教的难度.
　　那么，三垂线定理真的有那么难吗？学习三垂线定理真的没有一点价值吗？三垂线定理是在线面垂直的基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，它阐明了平面的斜线、射影，以及平面内的直线三者的垂直关系，沟通了线线关系、线面关系，并为今后学习面面垂直、空间角、多面体与旋转体的性质等奠定基础.通过三垂线定理的教学，不但可以增强学生知识的系统性，扩大学生的视野，而且有利于培养学生的逻辑思维能力.
　　四、三垂线定理要不要教
　　三垂线定理的条件具有明确性，它的图像的模型具有清晰性，定理本身具有很高的认识性.知识是客观存在的，不应以课本有无收录而转移.《中等职业学校数学教学大纲》既注重考查考生的数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，又注重考查考生进入高等学校继续学习所必需的基本能力.中职单招学生将面临高考，高考是选拔性考试，要求考生知识全面、系统.能在高考中能用一些课外的方法来解决问题，我想这才是考试初衷.另外在思想方法层面上，三垂线定理的教学也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力.
　　邓小平说过：不管白猫黑猫，逮住老鼠就是好猫。以往的教学效果说明，三垂线定理的存在有它的合理性，是一个非常有用的定理.所以，我的观点是：三垂线定理不仅要教，而且要教好.
　　参考文献：
　　［1］王亚男，陈丽敏.高中立体几何中删除三垂线定理的利弊［J］.中国数学教育杂志，2010，1.
　　［2］江苏省教育厅.江苏省普通高中数学课程标准教学要求［M］.2011.
　　［3］中华人民共和国教育部.中等职业学校数学教学大纲［M］.2009.
　　［4］江苏省教育厅.江苏省普通高校对口单独招生数学考试大纲［M］.200