三角形角平分线与各边的长度关系

　　摘 要： 本文介绍了一个新的、巧妙的方法，仅利用三角形三边的数据即可直接计算出其任意一角平分线段的长度，从而弥补了关于角平分线知识点的空缺，避免对三角形角平分线的繁琐测量.
　　关键字： 三角形角平分线 各边 长度关系
　　一、研究意义
　　如今，有各种各样的建筑和设计都涉及了三角形，因为三角形是最稳定的图形。为了使建筑更为美观，在其中也会涉及三角形的一个重要部分——三角形角平分线.在实际建造时，经常需要对三角形的三边及角平分线进行测量.
　　在数学教材关于三角形角平分线的内容中，其只指出三角形角平分线分对边与各边的比例关系，即三角形角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.但是，对于三角形一角平分线段的长度的推算，数学教材或相关资料中并没有涉及.本文介绍了一个新的、巧妙的方法，仅利用三角形三边的长度就可以直接计算出任意角平分线段的长度，从而避免对三角形角平分线的繁琐测量.
　　二、三角形角平分线与各边的长度关系
　　如图所示，对于任意△ABC，AD为∠A的角平分线，AD交BC与D点，则有AB•AC=AD+BD•DC，即AD=.
　　三、以上关系的证明
　　（一）所用定理：
　　①同弧或等弧所对的圆周角相等；
　　②相似三角形性质；
　　③圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等.
　　（二）证明：
　　如图，对于任意的△ABC都可以作出其外接圆⊙O，然后作出∠A的角平分线，分别交BC、⊙O于D、E.
　　∵公共
　　∴∠C=∠E①
　　又AE平分∠BAC
　　∴∠BAE=∠EAC
　　∵∠C=∠E，∠BAE=∠EAC
　　∴△ABE～△ADC②
　　则=
　　则AB•AC=AE•AD
　　=（AD+DE）AD
　　=AD+AD•DE
　　又AD•DE=BD•DC③
　　∴AB•AC=AD+AD•DE=AD+BD•DC
　　所以则有AB•AC=AD+BD•DC
　　变化得AD=
　　得证.
　　四、实际运用
　　实际生活中，三角形建筑繁多.在测量时，三角形三边长度比较容易测量，但角平分线的长度难以测量.以上关系式就可以避免此类麻烦，通过测量各边的长度，就直接计算出角平分线的长度.
　　例如：如图所示，某公园的矩形湖面有两座观景桥AB和AC.为了吸引更多游客前来游玩，公园今年拟建第三座观景桥AD，且AD为∠ABC的角平分线.观赏桥AB、AC、AD共用同一桥墩A在湖的一侧，桥墩B、D、C分别在湖的另一侧，且B、D、C沿湖岸在同一条直线上.现用专业仪器精确测得观景桥AB长50米，观赏桥AC长40米，两桥墩BC间相距63米.为了确定观赏桥AD的建造所需材料，预计观景桥AD的长度为多少？
　　解：根据三角形角平分线定理（三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例）
　　===
　　又BC=63
　　则BD=63×=35
　　DC=63×=28
　　根据本文中三角形角平分线与各边的长度关系
　　则AD=
　　≈31.94
　　所以，观景桥AD长31.94米.
　　三角形角平分线与各边长度的关系可以运用于生活中.在它身上或许还有更多的奥秘等待我们去探索，以更好地让它为人所用，为我们解决更多问题，更好地造福我们的生