“平行四边形面积”的教学猜想与验证

　　探究是建立在问题的基础上的，所以通过什么样的问题来引起学生对平行四边形面积的学习兴趣，就成为教师开展教学工作时的首要任务。能够作为对“平行四边形面积”进行探究的出发点就是：长方形面积=长×宽。由此可以看出，学生对平行四边形的面积并非是一无所知的，毕竟长方形是一种特殊的平行四边形，这样就产生了第一个探究性问题：能否从长方形面积的计算公式出发，推导出平行四边形面积的计算公式。
　　作为一种特殊的平行四边形，长方形的长与宽并不仅仅代表平行四边形的邻边，也可以指代特殊平行四边形的底和高。由此可以得出两个猜想：
　　（1）平行四边形面积=一边长×邻边长。
　　（2）平行四边形面积=底×高。
　　我们从长方形面积出发，获得了上述两个猜想，它们对于长方形这种特殊的平行四边形而言无疑是正确的，但是否适用于一般的平行四边形则需要进一步验证，而验证过程就是对推论进行证明或推翻的深入探究过程。
　　在教学中，很多学生会提出第一个推论，他们认为，通过对构成长方形的边进行移动，就可以获得平行四边形，因此平行四边形的面积理应为一组邻边的乘积。当然，学生很快就发现这一推论是错误的。不过在这一过程中，学生却能够掌握“举出一个反例，来推翻不成立的猜想”这种重要的学习方法。
　　在笔者的小学教育实践中，尚未发现一例提出第二种推论的学生。在课堂教学中，很多教师都会采用让学生动手折叠、割补图形的方法让学生掌握长方形可由平行四边形转化这一内容，进而发现原平行四边形底、高与新长方形长、宽之间的对应关系，最终得出平行四边形的面积计算公式。这种探究方法实际上就是将特殊归为一般，将未知转为已知的思考过程。通过这一过程，学生对平行四边形面积计算公式的理解完全可以上升到探究认识的水平。
　　小学教育除了要推动学生在某一学科学习能力的发展外，也应注意对一般发展进行促进。对于小学数学教育而言，除了要帮助学生理解和掌握相关的数学知识，还要促进学生在学习能力、创造能力、思维能力、情感态度等方面的发展。按照这种观点，如果数学探究过程仅以学生对某一知识点的理解和掌握为中心，那么这种探究就是不完善的。学生无法从所经历的探究过程中获得有关科学方法的引导，也就无法形成有关“如何进行数学探究”的更高等级的学习思想。
　　相对而言，将猜想、验证的过程内化在有关平行四边形面积的教学活动中，将探究的方式与对象有机地结合到一起，无疑是一种更加理想、更具创新性的教学设计。不过，此种教学设计是否符合小学生认知能力发展的实际情况，是否能够将教学设计转变成具体的课堂现实则需要通过创造具体、真实的教学案例进行研究和验证。
　　期望学生从已经掌握的长方形面积的计算公式出发，在脱离教师指导和帮助的情况下独立完成第二种猜想在大多数情况下都是不现实的，其原因在于小学生尚不拥有足够的图形分析经验。长方形是平行四边形概念上的外延，因此长方形的长、宽可以理解为它的底与高，但是小学生大多会将它们看做不同的概念，无法自觉地将其联系在一起。正是受这种因素的影响，在对学生的探究性学习进行引导的同时，教师还必须给学习方式的传授留有余地，即教师可以将第二种猜想作为一种学习方式传授给学生，向他们展示这种猜想的思维过程，使学生能够体会到这种思维方式的依据、合理性以及对今后学习的重要意义。学生的学习不能单纯模仿，但是也不能脱离模仿，教师的工作就是要将模仿转变为向知识的发展和创造提供便利的阶梯。很多时候，教师的示范都是最好的指导方式，其所发挥的积极作用是其他指导方法所无法取代的。
　　在有关平行四边形面积的传统课堂教育中，有很多教师无法很好地应用图形的变式发展，有利于学生数学思维深化的探究性学习无法得到有效开展。如果我们能够在学生独立探究、自主发现的基础上，设置相应的问题来引导其进一步深入探究，不是会收到更好的教育价值和意义吗？例如，教师可以提出这样的问题：能否通过割补的方式将下面的平行四边形转变为长方形，并使生成的长方形的长与宽分别与平行四边形的短边和对应的高相等？
　　这一问题的难点在于，无法从平行四边形中寻找到较短边上的高，只切割一次无法得到符合要求的长方形，学生因此会在如何割补上花费一番心思。在这个思考、操作、探索的过程中，学生的空间智慧和关于图形变换的经验都会得到有效提