基于WN齿轮强度的齿轮参数优化设计

穆晓凯，李玉光*，陈殿华，李成超

（大连大学 机械工程学院，辽宁 大连 116622）

基于WN齿轮强度的齿轮参数优化设计

穆晓凯，李玉光*，陈殿华，李成超

（大连大学 机械工程学院，辽宁 大连 116622）

本文结合具体的WN齿轮实例，以齿轮的强度富裕最小作为优化设计目标，建立相应的强度优化数学模型，利用MATLAB优化工具箱的序列二次规划法（SQP）对其设计变量进行优化，进而分析该齿轮传动参数对接触和弯曲疲劳强度的影响。该优化方法不但实现了WN齿轮传动的优化设计，同时使设计出的齿轮装置具有重量轻、体积小等特点，提高了设计效率，为WN齿轮传动的CAD设计提供了科学的理论依据。

WN齿轮；强度设计；MATLAB；优化设计

1 引言

随着现代化机器日益向高速、重载和结构紧凑的方向发展，提高齿轮的承载能力已成为现代齿轮的研究方向之一。WN齿轮机构是承载能力较高的一种新型齿轮传动，它具有制造工艺简单、寿命长等优点，与渐开线齿轮系相比，齿面接触强度和齿根弯曲强度以及耐磨性都很高，在齿轮尺寸和材料都相同的情况下，其承载能力至少为渐开线齿轮传动的1.75～2.5倍[1]。目前已大量应用于冶金、矿山、石油、化工、煤炭、电力和建筑行业的各种机械设备上，并取得了良好的成果。

齿轮工作时，由于齿轮轴刚性不足或系统误差的影响会产生振动和冲击从而导致强度下降等工程问题，影响齿轮的正常工作，因此齿轮设计时主要考虑轮齿强度方面的要求。本文利用MATLAB语言中的二次规划方法，在给定的载荷或条件下，建立相应的强度优化数学模型并求解，从而改进WN齿轮的强度设计方法。根据齿轮相关知识可知，WN齿轮机构的强度主要与其形状参数和传动参数有关。所以，本文从齿轮的强度出发，选取各个轮齿参数作为设计变量，采用MATLAB优化工具箱中的非线性、有约束的优化方法探讨WN齿轮传动的优化设计。

2 优化设计数学模型的建立

本研究从大负载时的强度出发，保证强度富裕最小的前提下，力求WN齿轮的质量轻、体积小为设计目标。要保证强度设计的合理性，就必须选择合适的轮齿形状参数及传动参数。

WN齿轮轮齿形状如图1所示。轮齿的形状参数为：齿数Z、模数M、螺旋角β和齿宽B及凸凹齿齿廓部分的圆弧半径ρ等。工作参数有负载Fn、运转速度v、传动比i、压力角αn等。

图1 WN齿轮的齿形

2.1 目标函数的确定

根据文献[2]的理论分析和文献[3]研究结果可知，WN齿轮传动的弯曲疲劳应力值和接触应力值可由式(1)、(2)求得。

2.2 约束条件的确定

为使优化求解的参数更好地满足工程实际的要求，拟根据WN齿轮传动的工程要求，设定如下约束条件：

3 MATLAB优化工具箱及优化方法

传统的优化设计方法是按照常规的设计准则、设计规范，把设计变量处理成确定型变量，建立常规的数学模型，由于此设计方法计算量大、可靠度低，很大程度上限制了结果的最优化。MATLAB优化工具箱是以数学规划为理论基础，以计算机为辅助工具,寻求最佳机械设计方案的现代设计方法之一。它是在给定的载荷或环境条件下对机械产品的性态、几何尺寸关系或其他因素的限制（约束）范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。MATLAB语言的优化工具箱选用最佳方法求解，初始参数输入简单，语法符合工程设计语言要求，编程工作量小，优越性明显[4]。MATLAB分总包和若干个工具箱，其中优化工具箱的应用包括：线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便、快捷的途径。

在机械优化设计问题中，大多数属于非线性的约束优化问题[4]，早期的方法通常是通过构造惩罚函数来将有约束的最优化问题转化为无约束最优化问题进行求解。现在,这些方法已经被更有效的基于K-T（Kuhn–Tucker）方程解的方法所取代。MATLAB优化工具箱采用序列二次规划法（SQP）求解约束优化问题，它是将原问题化为一系列的二次规划子问题进行求解，通过使用BFGS法构造变尺度矩阵，以保证超线性收敛性，调用fmincon函数求解约束优化问题。

多变量约束非线性规划问题的数学模型表示为:

利用MATLAB解决工程中的实际问题，其具体步骤如下[5]：根据实际的最优化问题，建立相应的数学模型；对建立的数学模型进行具体的分析和研究，选择恰当求解方法；根据最优化方法的算法，选择MATLAB优化函数然后编写求解程序，最后利用计算机求出最优解。

4 优化设计实例计算及分析

例题：某炼油厂烟汽轮机用的高速双圆弧齿轮箱设计计算。设计技术要求如下：转矩T1= 7098342N·mm，电动机功率P = 9 000 kw，转速n2= 1485 r/min，鼓风机转速n1= 6054 r/min。采用普通优化方法得到设计参数：Z1= 26，Z2= 106，β= 30°，B =190 mm，Mn =8 mm，αn= 24°，按中心距a = 610 mm进行设计。大小齿轮材料均选用42CrMo。

4.1 建立目标函数与设计变量

WN齿轮的强度主要与齿形结构参数和工作参数相关，要保证齿轮强度富裕最小，故取本齿轮传动的齿数Z1、模数Mn、压力角αn、齿宽B、螺旋角β等参数为设计变量。

在实际设计时，考虑到各个目标函数的重要程度不同，所以使用加权系数构成一个综合目标函数：F(X)=αf1(X)+γf2(X)。设计时根据设计目标的重要程度，适当选择加权系数的大小，进而实现弯曲强度与接触强度的多目标最优化设计。

4.2 约束条件的确定

根据WN齿轮的传动要求及本齿轮实际的传动特点，设定如下约束条件：

4.3 应用MATLAB优化工具箱求解

将目标函数f(x)编入目标函数M文件myfun.m，将非线性约束条件编入约束函数M文件mycon.m。在命令窗口调用优化程序：

根据参数的工程要求和国家标准系列，对计算出的优化设计变量进行圆整和修正，最终确定优化设计变量值如表1所示。

表1 优化前后计算结果对比

将优化值与原始值分别代入目标函数，即代入弯曲和接触应力计算公式(1)和(2)，然后将他们的值进行比较，对设计例题有：

对于设计例题而言弯曲强度提高了18%，接触强度提高了19%。通过实例的计算结果可以看到，通过MATLAB优化工具箱优化后的设计参数使齿轮的强度提高，同时使整个齿轮装置的尺寸减小，降低了齿轮重量。

5 结论

针对WN齿轮传动设计的特点和工程实际要求，利用MATLAB优化工具箱探讨了WN齿轮传动的优化设计。研究不但实现了WN齿轮传动的优化设计，还揭示了该齿轮传动的几何与动力学参数的相互影响关系。本优化方法简单可靠，提高了设计效率，为WN齿轮传动的CAD设计提供了理论依据。结果表明，本优化设计不仅提高了齿轮的强度，而且使结构尺寸相对减少，节省了材料，提高了经济效益，具有广泛的前景及应用价值。

[1] 江婷, 陈燕青. 多级双圆弧齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J]. 湖北工业大学学报, 2011, 26(3): 00-102.

[2] 陈殿华, 李玉光. 基于弹流润滑与动力学耦合的WN齿轮传动的强度设计[J]. 工程设计学报, 2009, 16(5): 364-368.

[3] ANDRZEIOSYCZKA. An approach to multi-criterion optimization for structural design [C]//International Symposium on Optimum Structural Design, Arizona, 1991(10): 264 -269.

[4] 刘鹤松, 姜晶. 基于MATLAB算法的机械优化设计[J]. 煤矿机械, 2004(11): 11-12.

[5] NOCEDALJ, WRIGHT S J. Numerical Optimization [M]. New York: Springer Verlag, 1999.

The Gear Parameters Optimization Design of WN Gear Strength

MU Xiao-kai, LIYu-guang*, CHEN Dian-hua, LICheng-chao

(College of Mechanical Engineering, Dalian University, Dalian 16622, China)

This paper according with the example of WN gear, with the minimum gear strength as the optimization design goal and to establish the corresponding intensity optimization mathematical model. The research is to optimize the design variables by using the method of sequence quadratic programming (SQP) in MATLAB optimization toolbox. Analyzing the influence about gear drive parameters on contact and bending fatigue strength. This Optimization method not only achieved the optimization design of WN gears drive, but also makes the WN gear device has light weight and compact size. It improved design efficiency and provided theoretical basis for CADdesign of WN gears drive.

WN gears; strength design; MATLAB; optimization design

TH132.416TP311.1

A

1008-2395(2012)03-0010-04

2012-05-06

穆晓凯（1986-），男，硕士研究生；陈殿华（1953-），男，教授，研究方向：机械设计。

李玉光（1963-），男，教授，研究方向：机械设计。