一类奇异半线性椭圆方程解的渐近行为

周文书

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

一类奇异半线性椭圆方程解的渐近行为

周文书

(大连民族学院理学院，辽宁大连 116605)

利用紧致技巧、比较原理、Fatou引理以及Poincare不等式，研究了低阶项关于梯度有自然增长条件的一类奇异半线性椭圆方程边值问题解的渐近行为，阐明了此方程与相应的不含梯度项的线性椭圆方程之间的关系。

奇异椭圆方程;正解;渐近行为

考虑如下椭圆问题:式中，Ω为RN(N≥3)中有界区域，ε＞0，γ＞0，f为非负可测函数。有关问题(1)的研究背景见文献［1］。本文指出，上述方程也与如下退化抛物方程有紧密联系［2－4］:

则问题(1)当γ＜2时有解，而当γ＞2或者γ=2且λ1(f)＞1时无解。文献［5－6］作者分别证明了问题(1)当γ＜1时解的唯一性及问题(2)当γ＞0时解的唯一性。文献［7］作者证明了:如果f∈L∞(B1)且essinf{f(x);x∈B1}＞0，则当1＜γ＜时，问题(1)存在至少两个解，其中B1={x∈RN;|x|＜1}。其他相关研究请参阅文献［1，7－9］及其后所附参考文献。

本文研究问题(1)及问题(2)的解当ε→0+时的极限问题，并且建立了上述问题与如下线性问题之间的联系:

1 定理1的证明

为证明定理1，先证明如下几个引理。

引理1对任意ε∈(0，1)有

uε≤ω几乎处处于Ω。

证明注意到uε是问题(4)的一个弱下解，从而由标准的比较原理知结论成立。

引理2设0＜α＜1，则存在不依赖于ε的常数 C ＞0，使得

2 定理2的证明

先证明几个引理。下述两个引理的证明类似于引理1和式(5)，故略去。

引理3 对任意 ε∈(0，1)，有

这表明，w是问题(2)的一个弱下解，依文献［5］中推论2.10(比较原理)知结论成立。

定理2的证明由引理3—引理5知，存在{uε}的一个子列(不妨仍记为{uε})及一个非负函数w∈H10(Ω)∩L∞(Ω)，w＞0几乎处处于 Ω，使当ε→0+时有

uε→w于Ω(几乎处处收敛)，

uε→w 于 L2(Ω)(强收敛)，

▽uε→▽w于L2(Ω)(弱收敛)。

对照定理1的证明，余下只需证明ω=w几乎处处于Ω。对任意0≤φ∈(Ω)，有

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Asymptotic Behaviour of Solutions for a Singular Semilinear Elliptic Equation

ZHOU Wen－shu
(College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China)

By means of compactness techniques，comparison theorem，Fatou’s lemma and Poincare’s inequality，we study the asymptotic behaviour of solutions of boundary value problem for a singular semilinear elliptic equation with natural growth in the gradient，which appears in the study for a class of degenerate parabolic equations，and clarify the relations between this equation and the corresponding linear equation without gradient terms.

singular elliptic equation;positive solution;asymptotic behaviour

O175.25

A

1009－315X(2012)05－0466－03

2012－04－06;最后

2012－04－22

国家自然科学基金项目(10901030);中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(DC110109)。

周文书(1974－)，男，吉林怀德人，博士，教授，学校优秀学术带头人，硕士生导师，主要从事偏微分方程的理论和应用研究。

(责任编辑 邹永红)