平均跟踪性的两个性质

董彦彦，邱 祎

(1.郑州大学体育学院，河南郑州 450044;2.河南财政税务高等专科学校学生处，河南郑州 451464)

平均跟踪性的两个性质

董彦彦1，邱 祎2

(1.郑州大学体育学院，河南郑州 450044;2.河南财政税务高等专科学校学生处，河南郑州 451464)

给出了在紧致度量空间上具有平均跟踪性的自同胚f:X→X的两个性质.首先证明了f是链混合的，其次证明了若空间中周期点稠密，则f是Devaney混沌的.

平均跟踪性;链混合;Devaney混沌

1 引言及定义

伪轨跟踪性与系统的稳定和混沌性态都有着密切的联系，在动力系统的定性理论中起着重要的作用，任何一个扰动系统的轨道均可称为系统的伪轨.在刻画Anosov微分同胚性质时，平均跟踪性的概念被引入，在文献［1］和文献［2］中研究了紧致度量空间上平均跟踪性的性质.复杂性(拓扑熵、混合性、混沌等)的研究一直在动力系统理论中引起重视，本文在文献［3］的基础上进一步研究了链混合和Devaney混沌.文献［4］证明了紧致度量空间中，具有平均跟踪性的自同胚是链可迁的，本文得到了一个更强的结果，具有平均跟踪性的自同胚也是链混合的.最后我们证明了在紧致度量空间上，如果周期点稠密，且其上的自同胚f具有平均跟踪性，则这个系统是Devaney混沌的.

下面给出有关的记号和定义.设(X，d)为度量空间，f是X上的连续自映射.Z表示所有整数的集合，Z+表示所有非负整数的集合.

定义2［6］设ε＞0，n∈Z+，若序列{x，x，…，x}满足d(f(x)，x)＜ε(i=0，1，…，n－1)，则称

01nii+1此序列是从x0到xn的一个ε链.如果∀ε＞0，∀x，y∈X，都存在一个从x到y的ε链，那么称f是链可迁的.

定义3［6］如果∀ε＞0，∀x，y∈X，总存在一个正整数N，当n≥N时，总有一个从x到y长度为n的ε链，那么称f是链混合的.

定义4［7］设X是紧致度量空间，f是X上的连续自映射.如果存在δ＞0，使得对每一点x∈X和x的任意邻域Ux，存在y∈Ux和n＞0，满足d(fn(x)，fn(y))＞δ，那么称f对初值敏感依赖.

定义5［7］设X是紧致度量空间，f是X上的连续自映射，如果f满足:①f是拓扑传递的;②f的周期点在X内处处稠密，即;③f对初值敏感依赖，那么称f在Devaney意义下是混沌的.

2 平均跟踪性与链混合

从以上定义可以知道，若空间中任意两点间只要存在一条ε链就称为链可迁，若两点间存在无数条ε链就称为链混合.可见，链混合的概念要比链可迁强.

设(Xi，di)，i=1，2，是度量空间，di是Xi上的度量.X1×X2是乘积空间，且有度量d((x1，x2)，(y1，y2))=max{d1(x1，y1)，d2(x2，y2)}，其中x1，y1∈X1，x2，y2∈X2.设fi是Xi上的自同胚，令f1×f2(x，y)=(f1(x)，f2(y))(x∈X1，y∈X2)，则f=f1×f2是X1×X2上的自同胚.

定理2设f是紧致度量空间(X，d)上的自同胚，若f具有ASP，则f是链混合的.

证明 由引理1和定理1得，f有ASP⇔f×f有ASP⇒f×f链可迁⇔f链混合.

3 具有平均跟踪性的系统是Devaney混沌的条件

如果要说明一个系统是Devaney混沌的，那么要验证定义5中的3个条件，但在文献［7］中证明它们之间不是相互独立的，即:拓扑传递和周期点稠密可推出对初值敏感依赖.

定理3设f是紧致度量空间(X，d)上的自同胚，f具有ASP.如果X中的周期点稠密，那么f是Devaney混沌的.

证明 设U，V是X中任意两个非空开集.因为，所以存在周期点x，y及ε0＞0，满足B(x，ε0)⊂U，B(y，ε0)⊂V.设x，y的周期分别为m，n，即fm(x)=x，fn(y)=y.由f－1的一致连续性可得，对于ε0＞0，∃ε＜ε0，使得任意z，z'∈X，有d(z，z')＜ε⇒d(f－l(z)，f－l(z'))＜ε0，其中0≤l≤max{m，n}.设D=max(x，y)∈X×Xd(x，y).设δ=δ()＞0满足f具有平均跟踪性的定义.取足够大的N0＞0，使

那么这个序列从i=0到i=2N0－1的项为

则当n≥N0时，对∀k∈Z有

断言 存在无限多个正整数i，j，使得

只证明(4)式.若不成立，则存在自然数N，使得对所有i＞N，当xi∈{x0=x，x1=f(x)，…= fN0－1(x)}时，有d(fi(z0)，xi)≥ε，将有.这就得到一个矛盾.相似地，对(5)式也有此结果.因此断言成立.那么可以选择0＜i0＜j0，使得

因为x，y是周期分别为m，n的周期点，所以存在0≤i1＜m，0≤j1＜n，且j0－j1＞i0－i1，满足)==yj0.即d)，)＜ε，d(，))＜ε.由f－1的一致连续性可得

则fj0－j1－(i0－i1)(U)∩V≠∅，所以f具有拓扑传递性.

再由文献［7］得f对初值敏感依赖.因此系统(X，f)是Devaney混沌的.

［1］ SAKAI K.Shadowing properties of L－hyperbolic homeomorphisms［J］.Topology and Its Applications，2001，112(3):229－243.

［2］ SAKAI K.Vatious shadowing properties for positively expansive maps［J］.Topology and Its Applications，2003，131(1):15－31.

［3］ 邱祎.动力系统中两类跟踪性的研究［D］.桂林:广西师范大学，2007.

［4］ ZHANG YONG.On the average－shadowing property［J］.Acta Sci Natur Vniv Pekinensis，2001，37(5):648－651.

［5］ BLANK M L.Metric properties of trajectories of dynamical systems with stochastic behavior［J］.Ergodic Theory Dynamic Systems，1988，8(3): 365－378.

［6］ 杨润生.伪轨跟踪与一致正熵［J］.数学年刊，1996，17(4):411－414.

［7］ 周作领.符号动力系统［M］.上海:上海科技教育出版社，1997.

Two Properties of Average Shadowing Property

DONG Yan-yan1，QIU Yi2

(1.College of Physical Education，Zhengzhou University，Zhengzhou450044，China; 2.Student Affairs Office，Henan College of Finance and Taxation，Zhengzhou451464，China)

Two properties of average shadowing property with homeomorphismf:X→Xin compact metric space are given.The first property is thatfis chain mixing，the second is that if the periodic point is dense in the compact metric space，thenfis Devaney chaos.

average shadowing property;chain mixing;Devaney chaos

O189.1

A

1007－0834(2012)01－0026－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.009

2011－12－26

董彦彦(1978—)，女，河南舞钢人，郑州大学体育学院教师.