包含Smarandache LCM函数的方程的解

王明军

（渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000）

包含Smarandache LCM函数的方程的解

王明军

（渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西渭南 714000）

用分类讨论和初等方法完全解决了方程SL（n）=am（n）和SL（n）=φ（n2）的可解性，其中am（n）为n的m次幂剩余数，φ（n）为欧拉函数，丰富了数论函数SL（n）的性质和数论函数方程的研究.

Smarandache LCM函数;m次幂剩余数;Euler函数;解

1 引言及结论

在文献［1］中，MURTHY A定义了Smarandache LCM函数SL（n）:对任意正整数n，函数SL（n）表示满足n|［1，2，…，k］的最小正整数k，［1，2，…，k］表示1，2，…，k的最小公倍数，同时证明了如果n是一个素数，那么SL（n）=S（n），其中S（n）是Smarandache函数.关于函数SL（n）的性质，许多学者都进行过研究，并获得了许多有趣的结论.文献［2］中，给出满足SL（n）=S（n），S（n）≠n的整数可表示为n=12或者，其中p1，p2，…，pr，p是不同的素数且文献［3］研究了SL（n）与Dirichlet除数函数的加权均值问题，得到渐近公式

设n为任一正整数，称am（n）为n的m次幂剩余数，如果是n的标准分解式，其中pi是素数且αi≥1，那么文献［4］讨论了方程am（n）=φ（n）的解.

本文的主要目的是利用分类讨论和初等方法研究包含Smarandache LCM函数SL（n）的2个方程SL（n）=am（n）和SL（n）=φ（n2）的可解性，并给出它们的解，得到下面的定理:

定理1 方程SL（n）=am（n）有且仅有n=1和形如n=pα（1≤α＜m）的解.

定理2 方程SL（n）=φ（n2）的解只有n=1和n=2.

2 定理的证明

下面用分类讨论和初等的方法对定理1和2予以证明:

定理1的证明

1）当n=1时，SL（1）=am（1）=1，故n=1是方程SL（n）=am（n）的解.

下面分2种情况讨论:

①若k=1时，此时n=pα.

当α≥m时，SL（n）=pα，am（n）=pm－1，由于α＞m－1，所以α≥m时，n=pα不是原方程的解.

当1≤α＜m时，SL（n）=pα，am（n）=pα，所以1≤α＜m时，n=pα是原方程的解.

由于k＞1时，SL（n）是一个素数的幂，而am（n）中至少包含了2个素数的幂的乘积，此时SL（n）≠am（n），所以不是原方程的解.

综上所述，方程SL（n）=am（n）有且仅有n=1和形如n=pα（1≤α＜m）的解.

定理2的证明

1）当n=1时，SL（1）=φ（12）=1，故n=1是方程SL（n）=φ（n2）的解.

2）当n=2α时，α≥1时，SL（n）=2α，φ（n2）=22α－1，由α=2α－1得α=1.故n=2是方程SL（n）= φ（n2）的解.

此时，SL（n）是一个素数的幂，而φ（n2）中至少包含了2个素数的幂的乘积，故不是方程SL（n）=φ（n2）的解.

显然，当p1＞2时，SL（n）为奇数而φ（n2）为偶数，所以此时SL（n）=φ（n2）无解.

完成了定理1和2的证明.

［1］MURTHY A.Some notions on least common multiples［J］.Smarandache Notions Journal，2001，12:307－309.

［2］LE Mao-hua.An equation concerning the Smarandache LCM function［J］.Smarandache Notions Journal，2004，14:186－188.

［3］吕国亮.关于F.Smarandache LCM函数与除数函数的一个混合均值［J］.纯粹数学与应用数学，2007，23（3）:315－317.

［4］ZHANG Wen-peng.On the Smarandache m-th power residues:proceeding of Research on Smarandache Problems in Number Theory，Shangluo，March 22－24，2005［C］.USA:Hexis，2005:1－3.

［5］APOSTOL T M.Introduction to Analytic Number Theory［M］.New York:Spring Verlag，1976.

［6］SMARANDACHE F.Only Problems，Not Solutions［M］.Chicago:Xiquan Publ.House，1993.

Solutions of Equation Involving the Smarandache LCM Function

WANG Ming-jun

（Department of Mathematics and Information Science，Weinan Teachers University，Weinan 714000，China）

In our report，the elementary methods and classification discussion were used to solve the solvability of equation SL（n）=am（n）and SL（n）=φ（n2），in which am（n）denoted m-th power residues of n，φ（n）denoted the Euler function，and which enriched the properties of SL（n）and the study of functional equation.

Smarandache LCM function;m-th power residues;Euler function;solutions

O 156.4

A

1004－1729（2012）01－0007－02

2011－06－20

陕西省教育厅科研基金项目（11JK0478）

王明军（1972－），男，陕西合阳人，渭南师范学院数学与信息科学系讲师，硕士.