寻找梅森素数的新方法

陈德建

（黎明职业大学，福建泉州 362000）

1 序 言

定义：形如2p-1的素数称为梅森素数，记为Mp.

梅森（Mersrnne Marin 1588—1648），法国数学家、自然哲学家、宗教家.他在1644年提出了梅森素数，梅森素数的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义.

但寻找梅森素数依然很难，从欧几里德时代至今的2 300多年，人类只找到46个梅森素数.它们是：

243112609-1，这个在普通人看起来颇为奇特的数字，近来（2008年）正让国际数学界乃至科学界为之欣喜若狂.这是人类发现的第46个也是最大的梅森素数.它有12 978 189位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下去，长度可达50km!这一发现被著名的《时代周刊》评为“2008年度50项最佳发现”之一，排名29位.

为了激励人们寻找梅森素数，设在美国的电子新领域基金会（EFF）不久前向全世界宣布了为通过GIMPS项目来探寻梅森素数而设立的奖金.规定第一个找到超过1 000万位数的个人或机构颁发10万美元；超过一亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元.绝大多数研究者并不是为了金钱，而是出于乐趣，荣誉感和探索精神.

梅森素数是否有无穷多个，梅森素数有什么样的分布规律等问题都是强烈吸引一代又一代研究者的世界著名问题.

梅森素数的难寻不仅在与梅森数MP随素数p的增大而迅速增至巨大，还在于梅森合数的因子也难于寻找.1867年，人们已经知道M67是合数，但对于它的因子一无所知.直到1903年10月在美国数学会上数学家科尔（Freidric Nelson Cole）提交了一篇论文《大数的因子分解》.当科尔自在黑板上写上 267-1 = 19370771× 761838257287时，会场上爆发了强烈的掌声.

现在我们知道不大于257的素数有55个，梅森素数有12个，梅森宣告的10个梅森素数错了2个，而43个梅森合数仅错了4个，依然十分了不起.

从第13个梅森素数开始，即从M521开始，都是在1952年以后，借助电子计算机而陆续发现的.

传统的探寻方法有二：一是心算笔算，二是借助电子计算机搜索.令人不解的是台式电子计算机在检查梅森研究结果时居然漏掉了M19这个梅森素数.由此可推断虽然电子计算机在寻找梅森素数时有一定的或然性.换句话说，在已知的梅森素数之间还可能找到新的梅森素数.

数学史上有个故事，有一个人排出六角形幻方，后来忘记了，他花了47年时间才第二次找到，另一个人用证明的方法花了一年也排出了这唯一的六角形幻方.

2 证 明

定理 2：设p是一个奇素数，q是Mp的一个素因数，则q形如： q= 2 kp+ 1[2].

例如：211-1=2 047=23×89，223-1=8 388 607=47 ×178 481，229-1=536 870 911=233×1 103×2 089，237-1=137 438 953 471=233×616 318 177.

若不然，必有

其中m，n∈N.

2T p +1= 4 mnp2+ 2(m + n)p+1，两边同减去1后除以2p，得

因为 2q-1= 2sq +1= p，

由于2p-1非平方数，m≠n，不妨设m＜n.

2Mq- 1= M127是梅森素数.

整理得

约去p，得

（3）式左边首项

（3）两边同减 22sq-q得

即

也即

m＞x2，而 n＞x1.

m0为正整数.则

整理得

由综合除法

0.292893218 ×2(s-1)q＜m＜ 2(s-1)q,0.292893218 ×2sq+1＜2sq-1+m＜2sq+1

0，即

综之有

从（11）式到（17）式，m0的下限不变，上限不断下降，n0则上限不变，下限不断上升.这样的过程可以无限进行下去，其极限情况是m0、n0的上下限合而为一.此时，

[1]王元.谈谈素数[M].上海：上海教育出版社，1983.

[2]柯召，孙琦.数学讲义（上）[M].北京：高等教育出版社，1990.

[3]张四保.有关梅森素数的预测[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2009（5）.