基于信息技术测量篮球的空气阻力系数＊

李武钢 张彬玲

（广西师范学院物理与电子工程学院，广西 南宁 530023）

基于信息技术测量篮球的空气阻力系数＊

李武钢 张彬玲

（广西师范学院物理与电子工程学院，广西 南宁 530023）

为了测出篮球在一般投篮过程的空气阻力系数，使用摄像机拍摄篮球竖直下落的全过程，并用软件将视频分解为帧图像，得到篮球下落的坐标和时间实验数据.用Matlab比较理论图线和实验所得的图，最终确定空气阻力系数近似值k＝0.5±0.03.

篮球；落体；空气阻力系数；Matlab

1 引言

研究篮球在投篮过程的实际运动通常要引入空气阻力系数，例如文献［1，2］，但文献空气阻力系数来源和依据不清楚.理论上对球类的空气阻力有一些研究，如文献［3，4，5］，其中依据流体雷诺数进行计算，但所得结论没有引入实验数据支持.雷诺数涉及到的因素是多方面的，而且雷诺数随球体运动的速度变化也不是常量，因此，理论研究只能得出大概的数值范围.通过实验方法可以在一定速度范围内得到更接近真实的篮球空气阻力系数值.这里要明确的是，无论用什么实验方法都不可能在一段速度范围内得到一个统一的精确值，只能是一个近似值，原因是空气阻力大小与速度相关.不同的实验方法得到的结果接近真实程度不同.相对利用落体实验方法取篮球末端速度间接测得篮球的空气阻力系数来说，利用信息技术获取篮球下落过程的信息并加以处理得到的结果更为准确.

利用信息技术求得篮球的空气阻力系数基本方法是，用数码摄像机拍摄篮球下落的视频并用计算机软件将视频转化为帧后获取篮球下落的y—t数据，形成 Matlab的y—t线，并与理论的y—t线比较，最后确定篮球的空气阻力系数k.由于篮球在下落过程中速率较小，可认为篮球受到的空气阻力f大小与速率v的一次方成正比，即f＝kv.

2 用摄像技术采集篮球下落不同时间所在位置的数据

一般的投篮过程，篮球的速度在2m/s～8m/s，平均为5m/s，因此在篮球下落的实验中，选择从5m的高度开始静止释放篮球.为了测出篮球下落过程在不同的等间隔时间所在的位置，在篮球下落路线的一旁放置一把长标尺（用工程卷尺），在距篮球下落路线垂直距离为28m处用一部数码摄像机对球的下落情况进行摄像.实验场地四面有围墙，能较好地避免空气大的流动.环境温度为29～31℃，气压为1个标准大气压.所选的篮球为国标新球，质量是0.600kg.

摄像机摄录画面图像速度为每帧相隔0.04s，在计算机上把拍摄到的篮球下落的视频用软件分解为一帧一帧的画面.从篮球下落的瞬间起计时，每张画面的时间是知道的，并且每个画面经适当放大后能够看清篮球所对应标尺的位置.实际取值时是以每隔0.08s取一次值.y坐标以地面为原点，篮球下落起点坐标y＝5.0m.记录了通过摄像技术所得到的篮球下落过程每隔0.08s后所对应的坐标值y.表1为多次实验测量结果的平均值.

表1 实验测量篮球下落时间值和对应的坐标值

3 利用Matlab对实验和理论图线拟合确定k值

3.1 实验图线

根据表1，利用Matlab可以描出相应的实验所得时间和坐标的y—t线.由于实验数据确定，曲线不变.

3.2 理论图线

篮球在空气中下落，设y坐标轴方向向上，在速度不大的情况下所满足的运动方程［6］是

式中，m为篮球质量；k为空气阻力系数；Fb为空气浮力，因为空气质量密度是1.29g/cm3，篮球体积为7749.6cm3，篮球质量 m＝0.600kg，所以Fb/m＝0.17N/kg.

为了便于理论计算，令k＝mb，式（1）解得

式中，y是以地面为坐标原点的坐标；y0是篮球静止下落起始坐标；g是重力加速度；t是时间（初始时间为t＝0）.根据式（2）利用 Matlab［7］编写程序，并根据时间t和下落的坐标y可描出一条曲线，这是一条理论y—t线.为了对理论y—t线与实验y—t线比较，由Matlab将两者同时描绘在同一个y—t图上.通过调节b的数值，y—t线会变化.

3.3 图线拟合和k值的确定

用理论上的y—t图线与实验所得的y—t线进行比较，不断从理论上调整篮球的空气阻力系数b值，每次的步进为0.01，使理论图线逼近实验图线，在判断两者拟合程度达到最佳时，得到的b就十分接近实际数值（可手动改变也可利用某个程序来改变）.见图1，当b＝0.88时，两图线拟合程度最好，但是不可能做到完全拟合.当b的值偏离0.05时，两图线显出明显的偏差，因此得到的结果表示为b＝0.88±0.05.由此得篮球的空气阻力系数k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）.

图1 理论y—t图线与实验y—t线

4 关于实验图线与理论图线偏差的讨论

值得注意的是，无论如何拟合，由理论公式计算得到的理论图线总是不能与实验图线重合，没有出现实验点在理论图线两侧随机分布的情况.虽然由于实验条件限制和主观判断不够准确使得实验不可避免存在一定的测量误差，但实验结果的平均值形成的实验图线相当光滑，因此可以确定实验图线十分接近真实的篮球下落的y—t关系.这说明，两图线的偏差不是由于实验测量误差造成的，并且在这个实验中，实验测量误差相比两图线的偏差完全可忽略不计.

造成这种图线偏差的原因是因为传统的受空气阻力影响的物体运动理论存在问题.但理论关系式中的式（2）是由式（1）严格推出的，而式（1）是牛顿第二定律的具体运用，仅从力学关系看不存在问题.传统理论认为，空气阻力系数是一个常量，当物体运动速度较低时，空气阻力与速度的一次方成正比；当物体运动速度较高时，与速度的二次方成正比.但实际上不可能存在于两种情况之间的一个速度临界值，因此严格意义的空气阻力与速度的一次方或二次方成正比是没有的，这是造成理论图线与实验图线无法完全重合的原因.

特别要说明的是，除了两图线要求尽可能重合外，图线的相似度（即斜率和斜率变化的近似程度）具有重要意义.无论是理论上还是实验上，直接影响篮球下落的行为有三个因素：初速度、重力大小和空气阻力大小，其中初速度可通过之前篮球下落了一定距离获得.重力大小在篮球整个下落过程是不变的，考虑截取实验图线和理论图线相互对应的一个线段，当各自线段的起始处有相同的斜率时，说明起始处的初速度理论值和实验值相同，后面的斜率变化如果有偏移则一定是由空气阻力差异造成的，如果没有偏移那一定是空气阻力的理论值等于实验测量值.在图1中，两图线各自中间处附近线段相似度很高，说明在两对应线段内由理论图线定取的空气阻力系数k＝mb＝0.600×（0.88±0.05）＝0.53±0.3（kg/s）反映了实验的真实值.

5 结语

尽管实验图线和理想图线不可能做到完全重合，但在给出的偏差范围值内已足够反映篮球在一定速度范围内的空气阻力系数真实值.这一结果接近周雨青等人通过理论计算得出圆球类在速度为0～30m/s内空气阻力系数值是在0.5～0.06（kg/s）的范围内［4］.

［1］ 阎守胜.趣谈球类运动的物理［J］.物理学与体育专题，2008

［2］ 鞠衍清.垂直下落球体运动的数值分析［J］.大学物理，2008，27（11）：11～13，17

［3］ http：//baike.baidu.com/view/95279.htm？fr＝ala0＿1＿1

［4］ 周雨青，叶兆宁，吴宗汉.球类运动中空气阻力的计算和分析［J］.物理与工程，2001，21（1）：55～59

［5］ 梁兵，甘皓元.在实验室中利用自由落体测定空气阻力系数［J］.白色学院报，2009，22（6）：58～60

［6］ 周衍柏.理论理论力学教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，1986

［7］ 马格雷伯.MATLAB原理与工程应用（第二版）［M］.高会生译.北京：电子工业出版社，2006

MEASURING AIR RESISTANCE COEFFICIENT OF BASKETBALL BASED ON INFORMATION TECHNOLOGY

Li Wugang Zhang Binling
（College of Physics and Electronics Engineering，Guangxi Teachers Education University，Nanning，Guangxi 530023）

In order to measure the air resistance coefficient of basketball，the video camera is used to shoot the whole process of falling vertically of a basketball.Some software is used to divide video into frames of picture，which help us to get the experimental data of a basketball falling with the time and the coordinates.By comparing the theory chart with the experiment chart with Matlab，approximation of the air resistance coefficient is determined to be k＝0.5±0.03.

basketball；falling body；air resistance coefficient；Matlab

2011－04－26）

广西教育厅自然科学研究项目（基于MATLAB的篮球最佳投掷角度的研究）.项目号：201106LX303.

李武钢（1958年出生），男，广西藤县人，广西师范学院副教授，主要从事物理教学和计算物理研究.