γ-矩阵构成的3-李代数的结构

白瑞蒲，周恒，李佳倩

（河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

研究报告

γ-矩阵构成的3-李代数的结构

白瑞蒲，周恒，李佳倩

（河北大学 数学与计算机学院，河北 保定 071002）

γ-矩阵是物理上有重要应用的矩阵，且γ-矩阵与3-李代数之间有着紧密的关系.证明γ-矩阵按照通常的换位运算不构成李代数，但γ-矩阵可构成复数域上的单的3-李代数.研究γ-矩阵构成的3-李代数的结构性质、度量结构及3-Hom李代数结构.

3-李代数；γ-矩阵；3-Hom-李代数；度量3-李代数

MSC 2010：15A69；17B05

n-李代数［1］的研究之所以受到越来越多的数学家及物理学家的关注，是因为人们发现多元李代数在很多领域都有着广泛的应用.特别是3-李代数的应用更为广泛.3-李代数被广泛地应用到几何学、力学系统、弦论及 M2-膜理论［2-4］.例如，Bagger-Lambert理论的重要模型就是建立在度量3-李代数的结构上.因为 Hom-代数理论与向量场的形变理论及微分计算有很密切的关系，Hom-李代数中的Jacobi等式利用线性映射进行了扭转，或是形变.所以在多元代数理论中也被广泛的研究.

关于有限维n-李代数及n-Hom李代数的例子还很少，在文献［5-6］中研究了特征零域上低维n-李代数的分类，及3-李代数的实现，为研究n-李代数的结构提供了很多依据.目前利用矩阵的基本运算直接构成n-李代数的实现问题及n-Hom李代数的实现，一直是人们在探讨的问题.在数学物理中，γ-矩阵（γ1，γ2，γ3，γ4）也称为Dirac矩阵，有着非常重要的应用.γ-矩阵构成了时间空间中反变向量的一组正交基的矩阵值表示，且γ-矩阵与3-李代数之间有着紧密的关系.本文利用γ-矩阵的乘积运算构造的3-李代数的结构，且讨论构造的3-李代数的度量结构及3-Hom李代数结构.本文假设所讨论的代数是复数域上的代数.首先介绍要用到的定义及符号.

3-李代数 A是具有3-元运算［，，］的域F上的线性空间，且满足下列恒等式：∀x1，x2，x3，y2，y3∈A，

γ-矩阵γ1，γ2，γ3，γ4（也称为Dirac矩阵）分别为：γ4＝diag（1，1，-1，-1），

记Λ为由γ1，γ2，γ3，γ4张成的复数域上的线性空间.直接计算可知，

从上面的计算可知，线性空间Λ按李代数的换位运算不能构成1个李代数.

定义矩阵

其中［γi，γj］＝γiγj-γjγi为换位运算，则有下列定理.

定理1［6］线性空间Λ按运算（1）构成1个3-李代数，且具有乘法表

为进一步研究3-李代数Λ的性质，引进下面的概念.

定义1 设L是域F上的3-李代数，μ：L⊗L→F是线性空间L上的非退化的对称双线性型，如果μ满足

则称μ是L上的一个度量，（L，μ）是度量3-李代数.

3-李代数L上的双线性型μ如果满足等式（2），则称μ是具有不变性的双线性型.

定义2 设L是域F上的线性空间，［，，］：L∧L∧L→L是L的斜对称的3-元线性运算，α：L→L是线性变换满足α（［x，y，z］）＝［α（x），α（y），α（z）］，∀x，y，z∈L.如果α满足对任意x，y，z，u，v∈L，有

则称（L，［，，］，α）为3-Hom-李代数.如果α＝idL，则称（L，［，，］，idL）是平凡的3-Hom-李代数.

下面首先研究3-李代数Λ的度量结构.

定理2 设μ是由γ-矩阵构成的3-李代数Λ的不变双线性型，H＝（hij）是μ在基γ1，γ2，γ3，γ4下的度量矩阵，即hij＝μ（γi，γj）∈F，1≤i，j≤4.则hij满足

证明根据定理1及式（3），如果

综合上述讨论可得到μ的度量矩阵为H＝diag（λ，λ，λ，-λ），λ＝μ（γ1，γ1）.

推论由γ-矩阵构成的3-李代数Λ上的对称不变双线性型μ非零的充要条件μ是Λ的一个度量，且在基γi，i＝1，2，3，4下的度量矩阵为diag（λ，λ，λ，-λ），λ∈F，λ≠0.

最后研究3-李代数Λ的Hom结构.

定理3 设Λ是由γ-矩阵按式（1）构成的3-李代数.α∶Λ→Λ是非零线性变换.则（Λ，［，，］，α）是-3-Hom-李代数的充要条件是α＝idΛ，即Λ按式（1）定义的3-元运算构成的3-Hom-李代数结构仅有平凡结构.

证明由定理1可知，Λ的乘法表为：

设α是3-李代数Λ的非零代数同态，且满足式（3）.因为Λ是单的3-李代数，所以α是3-李代数同构.因为Λ的自同构群Aut（Λ）的李代数为Der（Λ）＝ad（Λ），所以Λ的代数同构都为内自同构.记：

［1］ FILIPPOV V T.n-Lie algebras［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6），126-140.

［2］ NAMBU Y.Generalized Hamiltonian dynamics［J］.Phys Rev D，1973（7）：2405-2412.

［3］ TAKHTAJAN L.On foundation of the generalized Nambu mechanics［J］.Comm Math Phys，1994（160）：295-315.

［4］ BAGGER J，N LAMBERT.Gauge symmetry and supersymmetry of multipleM2-branes［J］.Phys Rev D，2008（77）：065008.

［5］ LING Wuxue.On the structure ofn-Lie algebras［D］.Siegn：University-GHS-Siegn，1993.

［6］ BAI Ruipu，BAI Chengming，WANG Jinxiu.Relations of 3-Lie algebras［J］.J Math Phys，2010，51：063505.

［7］ 白瑞蒲，沈彩虹.一类低维可解3-李代数［J］.河北大学学报：自然科学版，2009，29（2）：126-128.

BAI Ruipu，SHEN Caihong.A class of solvable 3-Lie algebras of low dimension［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2009，29（2）：126-128.

Structures of 3-Lie algebras generated byγ-matrices

BAI Ruipu，ZHOU Heng，LI Jiaqian
（College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

γ-matrix is impotant in physics，and it has close relaships with 3-ary algebras.The paper proved that the vector spaceΛofγ-matrices is non a Lie algebra in the multiplication defined by commutators.The simple 3-Lie algebra constructed on the vector space，metric structures and the Hom-structures are studied.

3-Lie algebra；γ-matrix；3-Hom-Lie algebra；metric 3-Lie algebra

O152.5

A

1000-1565（2012）05-0449-04

2012-03-27

国家自然科学基金资助项目（10871192）；河北省自然科学基金资助项目（A2010000194）

白瑞蒲（1960-），女，河北保定人，河北大学教授，博士，主要从事李群、李代数方面的研究.

E-mail：bairuipu＠hbu.cn

王兰英）