超混沌反同步控制及其在保密通信中的应用

彭战松，魏增辉

(黄河水利职业技术学院，河南 开封 475004)

0 引言

1987 年Fujisaka 和Yamata[1]对混沌同步的研究和1990 年Pecora 和Carroll[2]对混沌同步的实验研究引起了人们的广泛重视，至今，人们已经提出了各种不同的混沌同步和混沌控制的方法[3-8]，如反馈控制[5]、模糊控制[6]、自适应控制[7]、反同步[8]等。 混沌保密通信的研究在国际上起源于20 世纪90 年代初期，迄今已经提出了同步混沌通信4 大保密技术[9]，即混沌掩盖、混沌调制、混沌键控和混沌扩频。

超混沌系统是人们在对混沌系统的研究中提出的。 它与混沌系统相比，具有更复杂的动力学特性。 根据现实应用的发展，超混沌同步系统被应用到保密通信中，具有重要的应用价值和广阔的发展前景。 本文将超混沌异结构反同步方法应用于混沌掩盖保密通信，实现了超混沌的自同步和反同步控制。

1 超混沌系统反同步控制

1.1 超混沌系统的描述

最近，由Aimin chen 等人在研究Lü 系统[10]的控制过程中，用状态反馈的方法，在Lü 系统中增加一个新变量，获得了一个新的超混沌系统，称为超混沌Lü 系统。 其具体描述如式（1）。

式中：a，b，c，d 是Lü 系统的参数。 当系统参数取值为a=36、b=3、c=20、-0.35＜d≤1.30 时，系统（1）处于超混沌状态。 此时取d=0.8，超混沌吸引子如图1（a）所示。

刘崇新在2007 年提出了一个四维自治超混沌Liu 系统[11]，该超混沌系统模型如下:

式中：X=(x，y，z，w)T∈R4为系统的状态变量；a、m、b、e、h、k、g、c、d 为系统的参数。

当系统参数a=10、m=1、b=1、e=2.5、h=1、k=1、g=2、c=4、d=0.25 时，系统处于超混沌状态，超混沌吸引子如图1（b）所示。

图1 超混沌吸引子Fig.1 Hyper-chaos attractor

1.2 超混沌异结构反同步控制

令驱动系统为超混沌Lü 系统，响应系统为超混沌Liu 系统，为了区别与系统（1）的参数，将系统（2）中的a、b、c、d 改写为a1、b1、c1、d1，将系统（2）改写为

其中μ1，μ2，μ3，μ4，为控制器，定义误差e1=x1+x，e2=y1+y，e3=z1+z，e4=w1+w，则反同步误差系统为

选择如下控制器:

此时反同步误差系统为

取ki>0（i=1,2,3,4）。 显然反同步误差系统（6）的Jacobi 矩阵特征值均为负，根据Lyapunov 稳定性定理[12]可知，系统（6）零解稳定，此时lim｜｜ei（t）｜｜=0（i=1，2，3，4）。 即驱动系统（1）和响应系统（3）达到了反同步。 图2 为驱动系统（1）和响应系统（3）反同步控制后的吸引子和反同步误差曲线模拟结果。

图2 控制器(5)式作用下系统(1)与(3）的反同步误差曲线和吸引子Fig.2 Anti-synchronous error curve and attractor of system (1) and (3) with the action of controller (5)

2 异结构超混沌反同步控制在保密通信中的应用

基于上述混沌反同步控制方法，现将其用于混沌掩盖保密通信中。 以下仿真在超混沌Lü 系统和超混沌Liu 系统反同步的基础上实现。

2.1 基本原理

混沌遮掩保密通信的基本原理是发送端的混沌系统为类似噪声的混沌信号，将有用信号叠加到混沌信号上进行遮掩，通过物理信道把混合信号发送出去；同时接收端与发送端混沌系统达到同步，从接收的混合信号中减去重构的混沌信号，从而解出发送的有用信息。 同步的条件和它们的方程结构及参数空间作为信号解调的密匙。

2.2 数值仿真实验

设待加密信号为i（t）。 在i（t）与超混沌信号x1（t）叠加之前，先经函数f(·)转换，并与混沌信号叠加，产生混合信号，以增加隐藏的效果。 进入作真实验时，只要保证系统仍然是稳定且混沌的，并且存在逆函数f-1(·)。 因此，系统的安全性就不仅依赖于混沌遮掩，还与函数f(·)有关，即使破译者得到了经函数f(·)变换后的有用信号，也无法得到原始信号。 这增加了信号被截获后的破译难度，有利于提高信息传输的安全性。

根据异结构超混沌反同步控制方案，把系统（1）作为发射系统，把同步系统（3）改写为

作为接收系统，s（t）=x（t）+f（i（t）），设待加密信号为 i（t）=0.5sin（10t），变换函数为f（x）=tan（x）+1与混沌信号x（t）叠加后的混合信号s（t），在接收端提取信号f'（i（t））=s（t）+x1（t）=x（t）+x1（t）+f（i（t））=f（i（t）），当系统工作时间t>10、解密后信号与原信号之间的误差在10-6以下时，f（x）的反函数为f-1（x）=arctan[s（t）+x1（t））-1]=i'（t），i'（t）为解密后的有用信号，与原始信号的误差为e（t）=i'（t）-i（t）（如图3 所示）。 由仿真结果可以看出，接收系统有效地恢复了传输的有用信号，由图3（a）、（b）可以看出，有用信号与混沌信号毫不相干。 结合混沌序列的特性实现保密通信，（c）为变换加密信号，（d）为在物理信道中传输的变换加密信号和混沌序列，（e）为解密后恢复信号，（f）为有用信号加密前后的误差。

图3 混沌掩盖保密通信仿真波形图Fig.3 Chaos masks secret communication simulation oscillogram

3 结语

本文首先用反同步控制方法，实现了超混沌自同步。 分析了超混沌系统同步误差的稳定性，然后将超混沌异结构反同步控制应用于保密通信，系统在混沌遮掩保密通信中分别进行了仿真。 数值仿真结果表明，该方法可以较好地应用在混沌遮掩保密通信方案中。 混沌同步的一个重要领域的应用就是在保密通信领域，不同超混沌系统之间混沌同步的实现。 它增加了超混沌系统的应用范围，验证了该方法在混沌通信保密方面具有的良好实用价值。

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