核实数据下的递归核密度估计

宇世航, 赵世舜

(1. 齐齐哈尔大学 理学院, 黑龙江 齐齐哈尔 161006; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

基于替代数据和核实样本推断的研究目前已有许多结果[1-10]. Sepanski等[1]研究了基于核实数据的非线性EV模型; Wolvreton等[11]提出了f(x)的递归型核密度估计:

由于递归型核密度估计在添加样本点时, 不必重新计算所有项, 只需计算添加项, 因此使计算更方便. 基于此, 本文考虑借助于核实数据, 构造一递归型概率密度估计量, 并研究其渐近正态性.

1 主要结果

于是在一些正则条件下,f(x)可被如下递归核估计量一致估计:

定义

AppendixA条件:

(A·f):f(x)是k阶有界可导的;

(A·K):K(·)在有界支撑集上是k阶非负有界的核函数;

定理1在AppendixA条件下, 有

证明:

(3)

这里C为任意常数, 且在不同处可取不同的值. 于是, 由式(3)～(6)有

则

从而

其中

而

及条件(A·bn,ηn), 可得

(8)

同理, 有

(10)

于是由式(2)～(10), 有

(11)

同理, 由(A·f),(A·K),(A·hj), 得

(13)

综上所述, 有

令

由条件(A·K)和(A·h), 有

由式(15)～(17), 显然有

I1→N(0,θ1σ2(x)),

(18)

I2→N(0,θ2σ2(x)),

(19)

而

故结合式(15),(18)～(20)可得

2 模拟结果

(n,N)=(20,100),(50,100),(50,300),(100,300),

图1 n=20, N=100时的模拟结果Fig.1 Simulation result for n=20, N=100

图2 n=50, N=100时的模拟结果Fig.2 Simulation result for n=50, N=100

图3 n=50, N=300时的模拟结果Fig.3 Simulation result for n=50, N=300

图4 n=100, N=300时的模拟结果Fig.4 Simulation result for n=100, N=300

由图1～图4可见, 给定样本总数N的情况下, 模拟效果随核实数据样本容量n的增加而渐好； 当固定核实数据样本容量n时, 顶部随样本总量N的增加模拟效果渐好, 尾部变差； 如果同时增大N和n, 模拟结果更趋近于f(x), 并且也更平滑.

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