基于Copula理论的金融资产传染效应研究

尹新哲

(四川外语学院国际商学院,重庆 400031)

一、前 言

随着当今世界经济全球化的程度不断加深,某一金融极端事件的发生极有可能波及到整个金融市场从而爆发金融危机。研究外部冲击对一国金融系统的传染性影响,成为当今世界所面临的重大现实问题。世界银行对金融危机传染的定义是通过对金融市场间在危机时期和非危机时期影响概率进行判断,如果危机时期比非危机时期影响概率大,则表明两个金融市场之间产生了传染效应。基于传染效应的定义,多数学者们将检验金融危机传染效应的视角主要集中在检验危机时期相关性是否显著增加上,即运用简单的线性相关系数来考察危机前后相关结构的改变。Chang&Majnoni[1]指出如果国际投资者因为某一个国家的金融危机的发生而理性地改变自己对另外一个国家的投资信心时,那么就会产生危机传染。Forbes&Rigobon[2]指出,所谓金融危机传染是指当一个国家的金融市场发生较大波动后,跨国金融市场之间的联系显著增强。张志波等[3]通过分析危机前后各国市场波动性之间的因果关系的变化、以及被传染国家对危机发源国的脉冲响应变化,来检验金融危机传染效应。Chiang et al.[4]采用了动态条件相关性研究发现在亚洲金融危机期间存在传染效应的证据。Skintzi等[5]用EGARCH模型研究了美国债券市场和欧洲债券市场对12个欧洲国家债券市场,发现存在显著的波动溢出效应。

上述对于传染效应的研究多集中于各个金融市场本身的异常波动而对于金融市场之间的关系仅仅用线性相关与否来衡量,但考虑到金融市场中的数据通常是厚尾分布,线性相关系数没有办法捕捉变量间非线性等相关关系。而基于Copula的方法被认为能很好地捕获变量间的非线性、非对称相关关系,特别是容易捕捉到分布尾部的相关结构变化[6],在研究金融市场之间的联动性方面,Copula方法与其他计量分析方法相比有着明显的优势,近年来在金融领域中得到广泛应用并逐渐被用来度量金融危机传染的大小[7～9]。因此本文考虑引入Copula函数方法,实证考察美国次贷危机时期多变量之间相关结构的改变,首先确定Copula函数的边际分布及参数估计,然后采用非参数估计方法做Copula函数的参数估计,最后通过尾部相关性的变化分析美国次债危机前后美国股票市场与主要的亚洲股票市场指数之间相关模式的变化,以考察次债危机对亚洲股票市场是否存在风险传染。

二、Copula理论

Copula理论是1959年由Sklar提出的,他定义了一个联合分布分解为它的K个边缘分布和一个Copula函数,其中Copula函数描述了变量间的相关结构。具体表述如下:

令F为具有n维边缘分布F(x1),F(x2),…,F(xn)的联合分布函数,则存在一个Copula函数C,满足:

若F(x1),F(x2),…,F(xn)连续,则Copula函数是唯一确定的;反之,如果C是n维copula函数,F1,F2,…,Fn是分布函数,则由上面定义的函数F是边际分布为F1,F2,…,Fn的n维随机变量的联合分布函数。由此可知,确定了单个变量的边缘分布以及定义一个能较好地描述边缘分布相依结构的Copula函数,就能计算出多维随机变量的联合分布。根据Sklar定理,可将Copula函数表述为边际分布为 [0,1]均匀分布的n维变量的联合分布函数。并且,用Copula理论建模时,可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究。

(一)Copula函数的参数估计

Copula函数中阿基米德族Copula函数的建模方式比较灵活,它可将多元变量之间复杂的相依结构转换为一个相对简单的生成函数φ,这样就将复杂的多维问题转换为一个一维问题,从而有利于对实际问题的求解和估计。同时,它能刻画与实际情况更为接近的非对称性风险和尾部风险;Gumbel Copula能较好地拟合上尾部数据,Clayton Copula则能够较好地刻画下尾部风险,且对单个变量的边缘分布形式没有限制[10]。因此,本文选取Gumbel Copul函数与Clayton Copula函数来对金融数据进行拟合。

阿基米德族Copula定义:对任意φ∈Ψ,存在逆函数φ-1:[0,∞] →[0,1],且每个φ(t)均可生成一个Copula,也即生成一个具有固定边际分布是服从 [0,1]上均匀分布的n维分布函数,其表示形式为:

其中φ-1是算子ψ的分位数函数。选择不同的算子,会产生不同类型的阿基米德族Copula函数。

1.当算子φ(t)=(-1nt)θ时,得到的Copula函数称之为Gumbel Copula,其表达式为:C(u1, …,un)=exp{-[(-1nu1)θ+…+(-1nun)θ)1/θ},其中θ∈ [1, ∞];当θ=1时,变量独立;当θ→∞时,变量完全相关。

Copula函数参数估计的方法多样,可以用极大似然函数法、IFM(inference function for margins)法等,但若边缘分布函数的假设模型有误,会导致Copula函数一个有偏估计[11]。鉴于Archimedean Copula的特性,本文采用非参数估计方法估计Copula函数,即根据τ统计量来估计Copula函数中的参数θ。具体表达式为:

(二)Copula函数的相关性测度

Copula函数的相关性指标用来度量变量间的相关性变化、溢出效应等,通常采用Kendall秩相关系数τ及尾部相关系数。

设(x1,y1),(x2,y2)是独立同分布的随机向量,x1,x2∈x,y1,y2∈υ则:

τ=p{x1-x2)(y1-y2)＞0}-p{(x1-x2)(y1-y2)＜0}

由定义,在已有观测样本的情况下,可以根据以下公式估计Kendallτ[12],

根据(3)式:若^τ=1,表示x与y正相关;若^τ=-1,表示x与y负相关;若^τ=0,则x与y不能确定是否相关。令变量X与Y的分布函数形式分别为F(t)和G(t),则X与Y的上尾相关性与下尾相关性可分别定义为:

其中:F-1(t)=inf(x|X＞t),G-1(t)=inf(y|Y＞t)。如果λ上尾或λ下尾存在且λ上尾∈ [0,1]或λ下尾∈ [0,1],那么X与Y具有渐近上或下尾相关性;如果λ上尾=0或λ下尾=0,X与Y在上或下尾独立。

结合尾部相关系数和Copula函数的定义,得到尾部相关系数的Copula表示形式:

(三)边际分布模型

大量实证表明,金融资产收益不符合正态分布,而是具有尖峰厚尾、异方差性等特征。为此,本文选取t-GARCH(1,1)作为股票收益率的边际分布模型,其具体表现形式为:

其中:rt为收益序列,μ为回报的无条件期望值,σt为条件方差,εt为残项;α0＞0,α1＞0,β1≥0;ηt～t(0,1,v),v为该t分布的自由度;该序列为平稳过程的充要条件为:α1+β1＜1。

由于Copula函数是边际分布为 [0,1]的均匀分布构成的n维变量分布函数,因此,在构建过程中需要进行分布检验,以确保经过边际分布模型过滤得到的序列服从独立的 [0,1]均匀分布。检验独立均匀分布的主要步骤:对边际分布模型过滤后得到的序列进行自相关检验,以确保序列独立性;对过滤后得到的残差序列进行概率积分变换;运用K-S统计量检验概率积分变换后的序列是否服从 [0,1]均匀分布。

三、实证分析

(一)样本选择与描述性统计

本文选取美国证券市场与具有代表性的亚洲证券市场作为研究对象,分析美国次贷危机对亚洲股市的传染效应。具体以美国标准普尔指数、中国沪深300指数、印度BSE30指数、马来西亚综合指数、汉城综合指数、日经225指数日收益率作为研究对象,股票市场日收益率计采用百分比的方式:

2007年2月13日美国新世纪金融公司(New Century Finance)发出2006年第四季度盈利预警,随后汇丰控股为在美次级房贷业务增加18亿美元坏账准备,标志着美国次级债危机爆发。由于我国沪深300指数交易日始自2005年4月8日,因此本文以2005-4-8～2009-12-31为样本区间,以2007年2月13日为分界点将样本期划分为平稳期和危机期2个子区间,定义2007-2-13前为危机前的平稳期,共计376个观察值;2007-2-13后为危机期,共计591个观测值,数据来源于雅虎财经网。采用Matlab 7.1软件进行数据分析。

表1、2给出了平稳期与危机期指数收益率的描述性统计。由表中可知,平稳期各指数均呈现正的日平均收益率;危机期间,各指数日均收益率均出现较大幅度的下降,其中标准普尔、新加坡指数和日经指数的日均收益率均为负,认为美国次级债爆发对各证券市场股指收益率均具有负面影响。从标准差来看,危机后各指数收益率标准差均出现了大幅的上升,这表明证券市场间存在波动溢出效应,次级债危机的爆发加剧了各股市的波动。从偏度和峰度指标来看,2个子区间内的各证券指数收益率均存在着尖峰和厚尾的性质,结合Jarque Bera统计量检验结果,认为证券市场的日收益率序列并不满足正态分布的假设,也因此可知,选取刻画非对称分布及尾部风险能力更强的阿基米德族中Gumbel Copula函数与Clayton Copula函数作为连接函数比椭圆族Copula函数与实际情况更加符合。

表1 危机前各指数收益率的描述性统计(2005.4.8～2007.2.13)

表2 危机期间各指数收益率的描述性统计(2007.2.14～2009.12.31)

(二)边际分布参数估计结果及检验

由表1、表2所作的描述性统计可知各指数收益序列不满足正态分布,LM检验表明存在波动聚集效应即ARCH效应,因而可以应用GARCH类模型建模,此处采用t-GARCH(1,1)作为各股指收益率的边际分布模型。参数估计结果如表3、4所示。在求得t-GARCH(1,1)模型系数的估计值后,需要对原序列作概率积分变换,运用K-S统计量检验经过概率积分转换后的序列是否服从区间为 [0,1]的均匀分布。检验结果表明,在5%的显著水平上经过概率积分转换的序列均通过了服从标准均匀分布的原假设。认为t-GARCH(1,1)模型能够很好地过滤股票收益率的异方差性,该模型作为边际分布模型是合理的。

表3 危机前t-GARCH(1,1)的边际分布模型估计结果

表4 危机期间t-GARCH(1,1)的边际分布模型估计结果

(三)基于Copula函数的参数估计及尾部相关性检验

通过t-GARCH(1,1)模型过滤各股收益后,再由式(3),采用Matlab编程计算,得到稳定期和危机期时作为传染源的美国股指与被检验股指之间的Kendall秩相关系数τ值(表5)。

表5 两阶段股指收益率之间的Kendall秩相关系数τ值

从上表的计算结果可以看出:美国股指与被检验股指两两之间的Kendall秩相关系数τ值从稳定期到危机期几乎都有大幅度的上升,除与沪深300间的相关系数增幅23.7%外,与其它股指间的相关系数增幅几乎都在一倍以上。说明次债危机爆发后,各股票市场间的一致变化程度显著加强。求得各指数之间的秩相关系数后,根据秩相关系数与Copula函数中的参数关系[10]可分别计算Gumbel Copula和Clayton Copula中的参数(表6、7):

表6 Gumbel Copula中参数θ的估计值

表7 Clayton Copula中参数θ的估计值

确定了Copula函数的参数后,可以对分析中更有实际意义的金融市场间的尾部相关性进行研究。尾部相关性反映了某个市场出现上涨(下跌)后,另一个市场出现上涨(下跌)的概率。结合Copula函数并根据式(3)、(6)、(7)可以推导出Gumbel Copula和Clayton Copula分别度量金融市场间上尾部相关性和下尾部相关性的公式[11]:

根据表6、7对Gumbel Copula和Clayton Copula参数θ的估计结果以及式(9)、(10),可以得到次债危机前后美国股指与被检验股指间的尾部相关性度量结果(表8、9):

表8 两阶段股指收益率之间的上尾部尾相关性λ上尾值

表9 两阶段股指收益率之间的下尾部相关性λ下尾值

表8和表9给出了次债危机前后标准普尔指数与其它股票指数之间的上、下尾部相关性的计算结果。据此发现,与稳定期相比,在危机期美股与其它股指之间的上、下尾部相关性指标均呈现较大幅度的增长。而金融时序的尾部波动常常是衡量金融资产风险大小的重要参考依据,尾部波动性加大,可认为持有该金融资产的风险加大。由此可知,美国次级债危机对亚洲各大股票市场的相关结构产生了显著的影响,认为次债危机对亚洲证券市场存在着风险传染。另外,我们也看到,相比于其它的亚洲证券市场,次债危机前后美国普尔指数与沪深300指数间的上、下尾部相关性变化相对较小,表明我国金融市场与国际金融市场间的关联性较弱,次债危机对我国的风险传染性较低,这也与我国的金融市场发展的时间较短,正在逐步、有序开放的现实情况相符合。

四、结束语

考虑到资产收益的厚尾性、波动的异方差性对金融资产间相关结构的影响,本文采用了t-GARCH(1,1)模型对股指收益序列进行了过滤。同时,应用非参数法作为Copula函数的参数检验,采用阿基米德族Copula函数中的Gumbel Copula函数与Clayton Copula函数刻画指数收益波动的上下尾部风险进而分析资产间的传染效应,并实证考察了稳定期与危机期美国证券市场与具有代表性的亚洲证券市场间的风险传染性,由检验结果可知,次债危机的爆发改变了各股票市场的平均收益率水平、波动及相关结构,从稳定期到危机期美国股票市场和被检验股票市场间的Kendall秩相关系数τ值及上下尾部相关性都有相当程度的增强,认为次债危机对亚洲股票市场存在风险传染。另外,检验结果也表明t-GARCH(1,1)模型及Copula函数的类型选择是合理的,对市场的风险传染分析与实际情况较为符合。同时,我们也看到,本文所应用的GARCH类模型及阿基米德族Copula函数对于其它的多元资产如混型资产的适用性还有待检验,例如可以考虑应用其它类型的模型如SV类随机波动模型来描述资产收益的波动以及其它各类的Copula函数来刻画金融资产间的非线性、非对称性等相关结构,这也是下一步要研究的问题。

[1]Roberto Chang,Giovanni Majnoni.Fundamentals,beliefs and financial contagion[R].European Economic Review,2002,46(5):801-808.

[2]Kristin J,Forbes and Roberto Rigobon.No Contagion,Only Interdependence:Measuring Stock Market Comovements[J].Journal of Finance,2002,57(5):2223-2261.

[3]张志波,齐中英.基于VAR模型的金融危机传染效应检验方法与实证分析[J].管理工程学报,2005,19(3):l 15-120.

[4]Chiang,T.C,Jeon,B.N,Li,H.Dynamic Correlation AnalysisOf Financial Contagion:Evidence From Asian Markets[J].Journal of International Money and Finance,2007,26(7):1206-1228.

[5]Skintzi,V.,A.Refenes.Volatility spillovers and dynamic correlation in European bond markets[J].Journal of International Financial Markets,Institutions&Money,2006,16(1):23-40.

[6]Rodriguez J C.Measuring financial contagion:A copula approach[J].Journal of Empirical Finance,2007,14(3):4012423.

[7]Juan,C.R.Measuring financial contagion:A Copula approach[J].Journal of Empirical Finance,2007,14(3):401-423.

[8]韦艳华,齐树天.亚洲新兴市场金融危机传染问题研究—基于Copula理论的检验方法 [J].国际金融研究,2008,(9):22-29.

[9]李建平,丰吉闯,宋浩,蔡晨.风险相关性下的信用风险、市场风险和操作风险集成度量 [J].中国管理科学,2010,18(1):18-25.

[10]Frees E W,Valdez E A.Understanding relationships using Copulas[J].North American Actuarial Journal,1998,2(1):1-25.

[11]Nelsen RB.An introduction to copulas[M].New York:Springer-Verlag,1999.

[12]李悦,程希骏.上证指数和恒生指数的copula尾部相关性分析 [J].系统工程,2006,24(5):88-92.