形变映射法及其在BBM方程中的求解应用

王 庆

(辽宁对外经贸学院基础课教学部，辽宁 大连 116052)

形变映射法及其在BBM方程中的求解应用

王 庆

(辽宁对外经贸学院基础课教学部，辽宁 大连 116052)

形变映射法在求解非线性方程的过程中起着重要作用，借助于计算机代数几何系统，不仅得到了一类非线性波动方程与非线性Klein⁃Gordon(NKG)方程特殊类型解之间的代数映射关系，而且由此给出BBM方程的许多显示精确解。并且由这些解再次映射出了诸多行波解，在物理学的研究方面具有重要的指导意义。

形变映射法；BBM方程；非线性Klein⁃Gordon(NKG)方程

近年来,人们对非线性问题的研究逐步升温, 非线性问题涉及到自然科学和社会科学的诸多领域。但要得到描述这种关系的非线性演化方程的精确函数却并不容易。随着数学和计算机代数几何系统的巨大发展,非线性演化方程的许多新的求解方法不断应运而生,如Jacobi椭圆函数展开法[1]、双曲函数法、李对称群变换法、形变映射法、Darboux变换法、Backlund变换法、反散射法、齐次平衡法、对称约化法[2]等。各种求解方法都有其各自的特点和优势，而形变映射法在求解非线性发展方程中，解法简便灵活，解的形式多样，深受学习者的偏爱。其基本思想是通过建立与所给的非线性方程同已知的线性或非线性方程及其解之间的代数映射关系,从而获得所求的非线性方程的解。通过形变映射法针对BBM方程求解,它的最大优点是能够给出更多的显式精确解。下面，笔者对形变映射法及其在BBM方程中的求解应用进行了研究。

1 形变映射法

我国著名科学家楼森岳先生在20世纪80年代首先提出了形变映射法[3],他通过建立三次非线性Klein-Gordon(NKG)方程得到了代数映射关系，从而可以获得非线性偏微分方程丰富的新的显示精确行波解[4]，包括孤子解、周期波解、雅可比椭圆函数解以及其他一些精确解。具体步骤如下：

(i)假定非线性物理方程：

F(x,t,u,ut,ux,uxx,…)=0

(1)

具有如下的形波解u(x,t)=u(ξ)，ξ=k(x-ct)，其中，k，c为待定常数。则方程(1)可以转化为关于u(ξ)的非线性常微分方程：

F(u,uξ,uξξ,…)=0

(2)

(ii)引入中间函数Φ=Φ(ξ)，满足非线性Klein-Gordon方程：

(3)

2 BBM方程的求解

Benjamin、Bona和Mahony研究表明[1]，Kdv方程作为流体当中长波单向传播的模型方程是有缺点的，进而提出了另一个更合适的非线性色散介质中长波单向传播模型方程即BBM方程：

ut+ux+uxt+αuxxt=0

取代了Kdv方程，这类方程还出现在其他许多数学物理问题中。在文献[5]中，三次非线性NKG方程的许多精确解已经给出。下面，笔者利用代数变换关系u=a0+a1φ2得到BBM方程多种类型的显式精确解，如孤波解、周期波解、Jacobi椭圆函数解等。

首先，对BBM方程作行波约化：

u(x,t)=U(ξ)ξ=k(x-ct)

(4)

式中，k为波数；c为波速。将式(4)代入BBM方程，得到下面的常微分方程：

(1-c)U′+UU′-αck2U‴=0

(5)

式(5)两边对ξ积分一次，得：

(6)

式中，A为积分常数。建立代数变换关系：

u(x,t)=U(ξ)=U(φ(ξ))=a0+a1φ2

(7)

式中，a1为待定常数，φ=φ(ξ)为三次非线性NGK方程：

(8)

的解，b，λ，μ是常数，ξ=k(x-ct)。

将式(7)和式(8)代入方程(6)，得到：

(9)

令式(9)中φi(i=0,2,4)项前面的系数为零，得到：

(10)

式中，α,b,c,k,λ,μ均为任意常数。根据文献[5]就可以得到BBM方程一系列解,其中大部分解与前面所求的解形式一样，下面只列出新形式的椭圆函数解。

这样就得到了BBM方程的新的复合形式的椭圆函数解。

3 结 语

运用形变映射法建立三次非线性Klein-Gordon(NKG)方程，解得代数映射关系，得到了一类Kdv方程(6)丰富的新的显示精确行波解，包括孤波解、周期波解、雅可比椭圆函数解和其他一些精确解。当然，这只是在非线性方程的求解方法做出了一点尝试，求解非线性方程有很大难度，为寻求更一般的更有普遍意义求解方法还需要更多的努力。

[1]李德生,张鸿庆.非线性演化方程椭圆函数解得一种简单求法及其应用[J].物理学报,2006,55:1565-1570.

[2]谷超豪.孤立子理论与应用[M].杭州：浙江科技出版社，1990:176-215.

[3] Lou S Y,Ni G J.The relations among a special type of solutions in some (D+1)-dimensional nonlinear equations[J].J Math Phys,1989,30:1614.

[4]傅海明,戴正德.一类Kdv方程的孤波解[J].宁夏师范学院学报,2009,30(3):1-4.

[5]范恩贵.可积系统与计算机代数[M].北京:科学出版社,2003.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.004

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16731409(2012)11N01002