一类具有分布时滞的SIR传染病模型的稳定性分析

王桂臻，李必文(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引 言

数学模型在分析传染病的传播和控制方面已经成为重要的工具.近几十年来,国际上传染病动力学的研究进展十分迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题,所涉及的因素也不断增多,方程的形式越来越复杂,如引起广泛关注的时滞微分方程模型.时滞在传染病模型中是广泛存在的，Betertta等在文献中研究了一类具有时滞的SIR传染病模型,他们得到了无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点的局部稳定性;如果时滞充分小,地方病平衡点还是全局稳定的.这是时滞模型的一个基本结果,即地方病平衡点对于小时滞是全局稳定的.2000年,Taketlchi、Ma和Betertta又研究了另一个时滞SIR模型,得到了类似的结果.2002年,Ma和Taketlchi研究了一类具有分布时滞的SIR传染病模型,得到了只要地方病平衡点存在,模型就是持久的.

在[1]中，已经研究了下面的分布时滞模型

(1)

(2)

满足初始条件S(0)≥0,I(0)≥0,R(0)≥0.

1 平衡点分析

令系统(2)的右端为零, 可给出系统(2)的平衡点:

2 全局渐近稳定性

由于系统(2)的前两个方程不依赖于变量R，因此我们仅考虑前两个方程的稳定性.

定理1 若R0>1 ，那么E*是全局渐近稳定的.

b=βm(S*)I*+μ1S*

(3)

(μ2+λ)I*=βm(S*)I*

(4)

(5)

下面我们来研究Lyapunov泛函的表现形式，定义如下

(6)

用(3)替代b，得到

(7)

用(4)代替(μ2+λ)I*，得

(8)

用定积分的分部积分法，我们有

(9)

(10)

结合式(7)，(8)，(10),可得

对上式进行变形，得到

参考文献:

[1]Takeuchi Y,Ma W,Beretta E.Global asymptotic properties of a delay SIR epidemic model with finite incubation times[J]．Nonlinear Anal，2000,42:931～947.

[2]ConnellMcCluskey C.Complete global stability for an SIR epidemic model with delay-Distributed or discrete[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010,11:55～59.

[3]Hale J,Lunel S V.Introduction to Functional Differential equations[M].Berlin:Springer-Verlag,1993.

[4]Kar T K,Ashim Batabyal.Stability analysis and optimal control of an SIR epidemic model with vaccination[J].BioSystems,2011,104:127～135.

[5]廖晓昕.稳定性的数学理论及应用[M]. 武汉:华中师范大学出版社，1988.

[6]陈晓英,吴 亭.一类具有分布时滞饱和特性发生率的SIR传染病模型[J].福州大学学报(自然科学版),2010,38(6)：808～812.