从加权Bloch空间到Qk(p,q)空间上的复合算子

龙见仁，伍鹏程

(贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550001)

从加权Bloch空间到Qk(p,q)空间上的复合算子

龙见仁，伍鹏程*

(贵州师范大学数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550001)

复合算子； 加权Bloch空间；Qk(p,q)空间； K-Carleson测度； 紧性； 有界性

1 引言及主要结果

D上广义加权Bloch空间和广义加权小Bloch空间，其定义分别为：

文献[5]研究了一类Möbius不变的函数空间，被称为QK(p,q)空间.其定义是，设0

(a)K为非减函数；

(b)K在(0，1)上二阶可微；

(d)K(t)=K(1) (t≥1)；

(e)K(t)≈K(2t) (t≥0)；

则称dμ为紧K-Carlerson测度.

本文中C表示正常数，且在不同的地方可以不同，A≈B意味着存在正常数C,C′，使得CA≤B≤C′A.

本文主要证明以下结果.

K(g(z,a))dA(z)<∞.

(1)

定理3 令K(r)在[0,∞)上非负非减，1≤p<∞，-2

户名：中国气象局气象探测中心，账号：4043200001819900025525， 开户行：华夏银行北京紫竹桥支行

K(g(z,a))dA(z)=0.

(2)

2 引理

为证明上述定理，需要以下一些引理.

引理3[13]假设权函数K满足条件(f)，则

(1)D上的正测度dν为K-Carlerson测度当且仅当

(2)D上的正测度dν为紧K-Carlerson测度当且仅当

引理4 假设K满足条件(a)和(e)，则

等价.

其中C是正常数.

引理6[3]令K(r)在[0,∞)上非负非减，0

K(g(z,a))dA(z)<∞；

K(g(z,a))dA(z)=0.

利用紧算子的定义及Montel定理，容易证明引理7.

3 定理的证明

定理1的证明利用引理6知(1)⟺(3).

(1)⟹(2)是显然的.

令s→1，于是条件(3)成立.

(3)⟹(4)，假设条件(3)成立.欲证条件(4)成立，由引理3，则只需证

K(g(z,a))dA(z)<∞.

于是条件(4)成立.

而

于是条件(1)成立.从而定理1证毕.

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)<∞.

K(g(z,a))dA(z)=M<∞.

因此

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)

K(g(z,a))dA(z)≤

结合以上两方面知

定理3的证明(2)⟹(1)，这是显然的.

K(g(z,a))dA(z)=0.

于是条件(3)成立.

(3)⟹(4)，假设条件(3)成立.由引理3欲证

为D上的紧K-Carleson测度，则需证

K(g(z,a))dA(z).

利用条件(3)得

于是条件(4)成立.

(4)⟹(1)，假设

为D上的紧K-Carleson测度，则由引理3得

(4)⟹(2)，假设

因为

为D上的紧K-Carleson测度，则由引理3得

K(g(z,a))dA(z)≤

令

K(g(z,a))dA(z)，

K(g(z,a))dA(z)<ε.

由引理1及引理4得

于是当n≥N时，

K(g(z,a))dA(z)

又fn(φ(0))→0 (n→∞).因此

于是条件(2)成立.

K(g(z,a))dA(z)≤

K(g(z,a))dA(z)<ε.

因此，

K(g(z,a))dA(z)

另一方面，

结合上面两方面，有

(2)⟹(5)是显然的.

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Keywords： composition operator； weighted Bloch space；Qk(p,q) space； K-Carleson measure； compactness； boundedness

CompositionOperatorsfromWeightedBlochSpacetoQk(p,q)Space

LONG Jianren， WU Pengcheng*

(Shool of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

2011-01-11

国家自然科学基金项目(11171080);贵州省科学技术基金项目(LKS[2010]07)

*通讯作者，wupc@gznu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0048-06

O174.5

A

【责任编辑 庄晓琼】