一类非线性微分差分方程亚纯解的性质

彭长文,陈宗煊

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631； 2.贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018)

一类非线性微分差分方程亚纯解的性质

彭长文1,2,陈宗煊1*

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631； 2.贵州师范学院数学与计算机科学学院，贵州贵阳 550018)

利用值分布理论，研究了几类非线性差分方程是否有有限级超越亚纯解的问题，还考虑了“微分差分方程fn(z)+M(z,f)=h(z)是否存在有限级超越整函数解”的问题，其中n(≥3)是整数，h(z)是非零的有理函数，M(z,f)是关于f的线性微分差分多项式.

微分差分多项式； 差分多项式； 微分差分方程； 非线性差分方程

1 引言与结果

本文使用值分布理论的标准记号[1]，用ρ(f)表示复平面上的亚纯函数f的级，m(r,f)表示均值函数，N(r,f)表示积分计数函数，T(r,f)表示f的特征函数.亚纯函数g是函数f的小函数是指：g满足T(r,g)=S(r,f)=o(T(r,f))，至多除去一个对数测度为有限的集合.

本文中，假设关于f的差分多项式是形如

其中亚纯系数b(J,J是一个有限指标集)满足T(r,b)=o(T(r,f)),μ(J,j=1,…,)是正整数且满足

并且至少有一个δ是非零的,n是P(z,f)的次数.

类似地，关于f的微分差分多项式是形如

其中亚纯系数b(J,J是一个有限指标集)满足T(r,b)=o(T(r,f)),μ(J,j=1,…,),nl,ni是不全为零的非负整数，且满足

ci,δ是复常数，n是Q(z,f)的次数.

假设f(z)是亚纯函数，定义

为f的e-型级.

近几年来，许多研究者对复差分进行了大量的研究，得到了许多有意义的结果[2-5].非线性差分方程的超越解的性质也一直受到关注，YANG和LAINE[6]对几类非线性差分方程解的增长性进行研究，并且得到如下定理.

定理A 假设q(z),p(z)是多项式且q(z)不恒为零,则非线性差分方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

没有有限级的超越整函数解.

定理B 若q(z)为非常数多项式，b,c为非零复常数，则方程

f3(z)+q(z)f(z+1)=csinbz

无有限级整函数解.如果q(z)=q是一个非零常数，当b=3n,q3=(-1)n+1c2，n是一个非零整数，则该方程有3个互相判别的有限级整函数解.

定理C 令n≥4是一个整数，M(z,f)是关于f的线性微分差分多项式，h是一个有限级亚纯函数.则微分差分方程

fn(z)+M(z,f)=h(z)

最多有一个有限级超越整函数解使得M(z,f)的系数是关于f的小函数.如果这个解存在，则f和h的级相同.

本文将以上几个定理的结果推广到更一般的情况，得到了如下结果.

定理1 假设n(≥4)是整数，q(z)是非零多项式，b,c为非零复常数，则非线性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+1)=csinbz

(1)

无有限级的整函数解.

YANG和LAINE[6]考虑了n=3和q(z)是非常数多项式的情形，得到了定理B.而在本文中，讨论了当整数n≥4，q(z)是非零多项式的情形，得到了定理1，推广了定理B的结果.

定理2 假设q(z),p(z)是非零多项式,则非线性差分方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

(2)

无有限级超越亚纯解.若存在无穷级超越亚纯解，则σe(f)≥log 2.

定理3 假设c1,…，cm是非零复常数，m,n是正整数，且n≠m，q(z),p(z)是多项式且q(z)不恒为零,则非线性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+c1)…f(z+cm)=p(z)

(3)

没有有限级的超越整函数解.

定理3精炼和推广了定理A.

定理4 若q(z)为多项式，p(z)为有限级超越整函数，则方程

f2(z)+q(z)f(z+1)=p(z)

(4)

的所有有限级超越亚纯解的级满足ρ(f)=ρ(p).

定理5 令n(≥3)是一个整数，M(z,f)是关于f的线性微分差分多项式，h是一个有理函数.则微分差分方程

fn(z)+M(z,f)=h(z)

(5)

没有有限级超越整函数解.

定理C研究了在h是亚纯函数的条件下，导出方程(5)至多有一个有限级的超越整函数解f，且ρ(f)=ρ(h).而定理5专门讨论若h是有理函数，则方程(5)无有限级的超越整函数解.

注1 当m=n时，方程(3)存在有限级超越整函数解.

例1 方程

f2(z)-f(z+1)f(z-1)=sin21

有解f(z)=sinz，ρ(f)=1.

当m≠n时，方程(3)可能存在无限级超越整函数解.

例2 方程

fn(z)-f(z+1)=0

有解f(z)=exp(ezlog n)，ρ(f)=∞.

2 引理

为了证明定理，需要下面的引理.

引理1[7]若f是非常数的级为ρ<+∞的亚纯函数，则对于任意给定的复数c1,c2和任意的ε>0，有

成立.

引理2[7]若f是亚纯函数，其极点收敛指数()=<+∞，η≠0是一固定的复常数，则对任意的ε>0，有

N(r,f(z+η))=N(r,f)+O(r)+O(logr)

成立.

引理3[7]令f是一个级为ρ<+∞的亚纯函数，η是一固定的非零复常数，则对任意ε>0，有

T(r,f(z+η))=T(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr).

有有限级的超越亚纯解，则d=max{p,q}≤n.

的差分方程，其所有系数的增长是o(T(r,y)) (r→∞)，di不恒为零，并且假设y是该方程的非有理亚纯解，d=max{p,q}>n，那么对任意ε,0<ε<(d-n)/(d+n)，存在r0>0使得当r≥r0有

其中C=max{|c1|,…,|cn|}和K>0是常数.

引理6[9]假设fj(z) (j=1,…,n;n≥2)是亚纯函数，gj(z) (j=1,…,n)是整函数，满足

(2)当1≤j

引理7[10]假设g:(0,+∞)→，h:(0,+∞)→是单调增函数，且在一个对数测度为有限的集合E外满足g(r)≤h(r),则对任意的α>1，存在r0>0，使得对所有r>r0，有g(r)≤h(αr)成立.

引理8[6]若c是一个非零常数，α是一个非常数亚纯函数.则微分方程f2+(cf(n))2=α没有超越亚纯解满足T(r,α)=S(r,f).

引理9[6]形如

H(z,f)P(z,f)=Q(z,f)

的微分差分方程，其中H(z,f),P(z,f),Q(z,f)是关于f的微分差分多项式，H(z,f)的最高次数是n，并且Q(z,f)的次数小于等于n.如果f是该微分差分方程的级为ρ<+∞的超越亚纯解，且H(z,f)只包含一项次数最大的项，则对任意ε>0，有

m(r,P(z,f))=O(rρ-1+ε)+S(r,f)

在一个对数测度为有限的集合外成立.

3 定理的证明

定理1的证明假设Q(z)是方程(1)的多项式解，则有

Qn(z)+q(z)Q(z+1)=csinbz.

(6)

显然式(6)左边是多项式，而右边是超越整函数，所以方程(1)没有多项式解.

假设f是方程(1)的超越整函数解，对方程(1)两边微分有

nfn-1(z)f′(z)+q′(z)f(z+1)+

q(z)f′(z+1)=cbcosbz,

(7)

bfn(z)+bq(z)f(z+1)=bcsinbz.

(8)

对式(7)、(8)两边平方相加有

f2n-2(z)[b2f2(z)+n2f′(z)2]=Tn+1(z,f),

Tn+1(z,f)是关于f的次数小于等于n+1的微分差分多项式，其系数是多项式.

下面分2种情形讨论：

(一)Tn+1(z,f)≡0时，有b2f2(z)+n2f′(z)2≡0，从而

T(r,b2f2(z)+n2f′(z)2)=

m(r,b2f2(z)+n2f′(z)2)=S(r,f)

成立，进而由引理7知α=b2f2+n2f′2是关于f的不恒为零的小函数.由引理8可知α必是一个常数.对α=b2f2+n2f′2两边微分也有

解得

f(z)=l1eibz/n+l2e-ibz/n,

整理得

(9)

即

(10)

式(10)的所有系数是常数或是多项式.

(11)

综上可知，当n≥4时，方程(1)不存在有限级的整函数解.

定理2的证明若f(z)是方程(2)的不具有极点的超越亚纯函数解，即f(z)是超越整函数.将方程(2)变形为

由p(z),q(z)是多项式，f(z)是超越整函数，有

T(r,p)=o(T(r,f)),T(r,q)=o(T(r,f)) (r→∞)

且d=max{2,0}=2>1=n,C=1，由引理5可知对任意ε,0<ε<(d-n)/(d+n)=1/3，存在r0>0使得当r≥r0有

其中K>0是常数，从而有

(12)

令ε→0有

若f(z)为方程(2)具有极点的超越亚纯函数解，设z0为f(z)的k阶极点，则z0+1为f(z)的2k阶极点，z0+2为f(z)的22k阶极点，…,z0+s为f(z)的2sk阶极点.从而

n(|z0|+s,f)≥2sk+O(1),

logn(|z0|+s,f)≥slog 2+O(1),

则

综上可知σe(f)≥log 2.

注2 在定理2的证明过程中，如果f是方程(2)有极点的超越亚纯解时，也可直接应用引理5证明，过程和f是方程(2)的超越整函数解时的证明完全一样，从而定理2的证明可综合为上述证明过程中的第一部分.

定理3的证明当n>m时，有n=max{p,q}= max{n,0}>m,由引理4可知方程(3)无有限级超越整函数解.

当m>n时，由引理1和方程(3)，有

mm(r,f)=m(r,fm)=

m(r,fn)+O(rρ-1+ε)+O(logr)=

nm(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr).

因此

(m-n)T(r,f)=(m-n)m(r,f)≤

O(rρ-1+ε)+O(logr),

所以ρ(f)<ρ，矛盾.

综上可知，当m≠n时，方程(3)没有有限级的超越整函数解.

若考虑方程(3)是否存在有限级超越亚纯解，直接由引理4可得到下面的推论1.

推论1 假设c1,…,cm是非零复常数，m,n是正整数，n>m,且q(z),p(z)是多项式，q(z)不恒为零,则非线性差分方程

fn(z)+q(z)f(z+c1)…f(z+cm)=p(z)

没有有限级的超越亚纯函数解.

定理4的证明设f是方程(4)的级为ρ<+∞的超越亚纯函数解，则有

ρ(p)=ρ(f2(z)+q(z)f(z+1))≤

max{ρ(f2(z)),ρ(q(z)f(z+1))}=ρ(f).

从而ρ(p)≤ρ(f).

若ρ(p)<ρ(f)，则存在σ使得ρ(p)<σ<ρ(f)=ρ，从而由方程(4)和引理3有

2T(r,f)=T(r,f2)=T(r,p(z)-q(z)f(z+1))≤

T(r,p)+T(r,f(z+1))+T(r,q)≤

T(r,f)+rσ+O(rρ-1+ε)+S(r,f).

(13)

对所有充分大的r，式(13)在一个对数测度有限的集合外成立.当ε充分小时，由引理7可得

ρ(f)≤max{ρ-1+2ε,σ+ε}<ρ.

矛盾，所以ρ(f)=ρ(p).

定理5的证明若设f是方程(5)的级为ρ(f)=ρ<∞的超越整函数解，将方程(5)变形为

从而

T(r,h)+T(r,f)+O(rρ-1+ε)+S(r,f)=

T(r,f)+O(rρ-1+ε)+O(logr)+S(r,f).

因此

(n-2)T(r,f)≤O(rρ-1+ε)+O(logr)+S(r,f).

(14)

若ρ(f)=0，则有

(n-2)T(r,f)≤o(1)+O(logr)+S(r,f).

(15)

若0<ρ(f)=ρ<∞，由h是有理函数可知ρ(h)=0.设0=ρ(h)<σ<ρ(f)=ρ，则

T(r,h)+T(r,f)+O(rρ-1+ε)+S(r,f)≤

T(r,f)+O(rρ-1+ε)+rσ+S(r,f).

因此

(n-2)T(r,f)≤O(rρ-1+ε)+rσ+S(r,f).

(16)

由式(16)导出ρ(f)<ρ矛盾.

综上可知方程(5)不存在有限级的超越整函数解.

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Keywords： difference-differential polynomial; difference polynomial; difference-differential equation; nonlinear difference equation

PropertyofMeromorphicSolutionsofCertainNonlinearDifferentialandDifferenceEquations

PENG Changwen1,2, CHEN Zongxuan1*

(1.School of Mathematics，South China Normal University，Guangzhou 510631, China;2.School of Mathematics and Computer Sciences, Guizhou Normal College, Guiyang 550018, China)

By applying Nevanlinna’s value distribution theory of meromorphic functions, the following problems are investigated: the existence of finite order transcendental meromorphic solutions of several kinds nonlinear difference equations, and the existence of finite order transcendental entire function solutions of differential-difference equations with the formfn(z)+M(z,f)=h(z), wheren(≥3) is an integer,h(z) is a given non-vanishing rational function, andM(z,f) is a linear differential-difference polynomial inf.

2010-12-14

国家自然科学基金项目(10871076)

*通讯作者，chzx@vip.sina.com

1000-5463(2012)01-0024-05

O174.52

A

【责任编辑 庄晓琼】