α次殆β型螺形映照的充分条件

唐雪梅， 刘名生

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

α次殆β型螺形映照的充分条件

唐雪梅， 刘名生*

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

给出了n中单位球Bn上的α次殆β型螺形映照的一个充分条件和一般复Banach空间单位球B上的α次β型螺形映照的一个充分条件，所得的结果推广了相关结果.

局部双全纯映照;α次殆β型螺形映照;α次β型螺形映照

设D2f(z)(·,·)表示f在点z的二阶Fréchet导数，亦可看作n×n到n的有界线性算子，它在{z}×n上的限制为一个n阶复方阵，表示为

D2f(z)是X×X到X的有界线性算子，满足

更高阶的情形与此类似.

文献[1]建立了多复变数单位球上的全纯映照的一些偏微分不等式，并得到星形映照和螺形映照的充分判别条件；文献[2]在n中的有界星型圆型域和复Banach空间中的单位球上建立了一些偏微分不等式，分别给出了α次的殆星映射在这两类域上的充分判别条件；文献[3]在单位球上给出了α次星形映照的一个充分判别条件.文献[4]、[5]研究了α阶星形映照的充分条件. 本文借鉴他们的研究方法，结合α次殆β型螺形映照和α次β型螺形映照在单位球上的性质，分别得到α次殆β型螺形映照和α次β型螺形映照的充分条件.

Re{e-iβDf(z)-1f(z),z}≥α‖z‖2cosβ,∀zBn,

则称f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

Rep(z),z>0,0<‖z‖<‖z0‖,

(1)

则f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

证明设p(z)=e-iβDf(z)-1f(z), 则p(0)=0,Dp(0)=e-iβI. 下面只需证明

Rep(z),z≥α‖z‖2cosβ,zBn{0}.

Rep(z),z≥α‖z‖2cosβ⟺Req(z),z≥0,

Req(z0),z0=0,Req(z),z>0,‖z‖<‖z0‖,

(2)

其中

s=Imq(z0),z0/‖z0‖2.

因为p(z)=q(z)+αzcosβ, 所以

2αz0cosβ=(m+2αcosβ)z0.

(3)

又因为p(z)=e-iβDf(z)-1f(z), 则

Df(z)-1D2f(z)(p(z),·)=e-iβI-Dp(z).

取z=z0, 则

Df(z0)-1D2f(z0)(p(z0),z0)=e-iβz0-Dp(z0)z0.

将上式两边同时与z0作内积, 结合式(3)，得

e-iβ‖z0‖2-(m+2αcosβ)‖z0‖2+z0,p(z0).

令w0=p(z0), 则w0≠0，由式(2)可得

α‖z0‖2cosβ,

所以

(m+2αcosβ)‖z0‖2+Rez0,p(z0)≥‖z0‖2cosβ+

α‖z0‖2cosβ=(1-α)cosβ+

‖z0‖2=(1-α)cosβ+

ReDf(z)-1D2f(z)(w,z),z<(1-α)‖z‖2cosβ,

则f为Bn上的α次殆β型螺形映照.

在定理1中分别取β=0，α=0和α=β=0,可得到下面的3个推论.

则f是Bn上的α次殆星形映照.

则f是Bn上的β型螺形映照.

ReDf(z)-1D2f(z)(w,z),z<

则f是Bn上的星形映照.

2 复Banach空间中单位球B上的结果

则称f为B上的α次β型螺形映照.

‖f(a)‖=max{‖f(ζa)‖:|ζ|≤1}>0,

则存在实数s≥1,使得

‖Df(a)(a)‖=s‖f(a)‖.

若Df(0)=0,则s≥2.

定理2 设f:B→X为B上正规化局部双全纯映照，且f(0)=0.若f满足

(i)当1/2<α<1时，

(ii)当α=1/2时，

则f是B上的α次β型螺形映照.

证明(i)设p(z)=2α(1-i tanβ)Df(z)-1f(z)-(1-2αi tanβ)z.首先证明

(4)

‖p(a)‖=max{‖p(ζa)‖:|ζ|≤1}=1.

于是根据引理2知，存在实数s≥1，使得

‖Dp(a)(a)‖=s‖p(a)‖=s≥1.

(5)

因为

Df(z)-1D2f(z)(p(z)+(1-2αi tanβ)z,·)+

Dp(z)=(2α-1)I,

则

1≤s=‖Dp(a)(a)‖=‖(2α-1)a-

[Df(a)]-1D2f(a)(p(a)+(1-2αi tanβ)a,a)‖≤

(2α-1)‖a‖+‖[Df(a)]-1D2f(a)(a,·)‖×

‖p(a)+(1-2αi tanβ)a‖≤(2α-1)‖a‖+

‖[Df(a)]-1D2f(a)(a,·)‖(1+

因此

出现矛盾，所以‖p(z)‖<1.因为p(0)=0,由Schwarz引理知‖p(z)‖≤‖z‖.

于是

所以f是B上的α次β型螺形映照.

(ii)当α=1/2时,由于Dp(0)=0,此时根据引理2知，存在实数s≥2，使得式(5)成立，类似(i)可以证得结论成立.定理得证.

注1 在定理2中取β=0,可得文献[3]的定理4.2.

证明由简单的计算可以得到：

Df(z)=I+2A(z,·),D2f(z)(z,·)=2A(z,·).

又因为‖D2f(z)(z,·)‖≤2‖A‖

‖(Df(z))-1D2f(z)(z,·)‖≤

由定理2知，f是B上的α次β型螺形映照.

[1] LIU H, LI X S. Some partial differential inqualities for holomorphic mappings inn[J]. J of Henan University, 2000,30(2): 10-14.

[2] FENG S X,LIU T S. Sufficient conditions for almost starlike mappings of orderα[J]. Acta Math Scientia,2007,27A(3):506-514.

[3] HAMADA H, KOHR G, LICZBERSKI P. Starlike mappings of orderαon the unit ball in complex Banach spaces[J]. Glasnik Matematicki, 2001, 36(56):39-48.

[4] LIU M S, ZHU Y C. On some sufficient conditions for starlikness of orderαinn[J].Taiwanese J of Mathematics, 2006, 10(5): 210-228.

[5] 刘名生, 石莉芬. 星像函数和关于k折对称点近于凸函数的一些充分条件[J].华南师范大学学报:自然科学版, 2007(3):1-7.

[6] FENG S X, LIU T S, REN G B. The growth and covering theorems for several mappings on the unit ball in complex Banach spaces[J]. Chin Ann of Math, 2007, 28A(2):215-230.

[7] TAYLOR A E, LAY D C. Introduction to functional analysis[M].New York:Wiley,1980.

SufficientConditionsforAlmostSpirallikeMappingofTypeβwithOrderα

TANG Xuemei, LIU Mingsheng*
(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

A sufficient condition for almost spirallike mapping of typeβwith orderαeither on the unit ballBninnor on the unit ballBin the complex Banach space is obtained. Some of the results, presented in this paper, generalized the related results in the references.

2011-07-07

教育部博士点基金资助项目(20050574002)

*通讯作者,liumsh@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)03-0032-04

O174.51

A

10.6054/j.jscnun.2012.06.007

Keywords： locally biholomorphic mapping; almost spirallike mapping of typeβwith orderα; spirallike mapping of typeβwith orderα

【责任编辑 庄晓琼】