带扰动参数的拟线性椭圆方程正解的存在性

孔丽华， 沈自飞

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

1001-5051(2012)04-0388-07

带扰动参数的拟线性椭圆方程正解的存在性

孔丽华， 沈自飞

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

研究了带扰动参数的拟线性椭圆方程

-ε2Δu-ε2Δ(u2)u+ε2V(x)u=h(u),x∈RN,N≥3

正解的存在性.其中V(x)为正的连续位势函数.在h(u)及V(x)满足适当的条件下,建立了方程正解的存在性定理.

椭圆方程;变分法;临界点;正解

-ε2Δu-ε2Δ(u2)u+ε2V(x)u=h(u),x∈RN,N≥3

0 引 言

本文主要研究拟线性椭圆方程

正解的存在性.这类方程起源于对拟线性Schrödinger方程

的研究,方程(2)的驻波解与方程(1)的解有密切的联系.

文献[2-6]及其参考文献讨论了方程

非平凡弱解的存在性,这对于拟线性椭圆方程的进一步研究有很大的帮助.例如,文献[2]对于方程(3)中不同的非线性项,通过极小化理论研究了方程正基态解的存在性;文献[3]利用变量替换的方法,把拟线性椭圆问题转化为半线性问题,通过山路引理,在Orlicz空间中证明了方程(3)正解的存在性;文献[4]运用了与文献[3]相同的方法,在一般的Sobolev空间中对于不同类型的非线性项,证明了方程(3)正解的存在性;文献[5]研究了N=2的情形,假定非线性项h:R→R满足临界指数增长,通过Ambrosetti-Rabinowitz条件、山路引理及R2上的Trudinger-Moser型迭代不等式得到了问题解的存在性.本文是在一般的Sobolev空间上考虑问题,并且在非线性项前乘了一个小的扰动常数,通过山路引理及变量替换等理论讨论了方程(1)解的存在性.

1 主要结果

本文运用变分方法证明方程(1)在空间H1(RN)上正解的存在性,即相应变分泛函

为了方便起见,本文用H替代H1(RN).

方程(1)中由于二阶非齐次项Δ(u2)u的出现,使得Jε(u)在空间H中不是良定的,因此不能直接讨论Jε(u)临界点的存在性.为了克服这类困难,将采用文献[3-4]中变量替换的方法,首先引入函数f：

然后令u=f(v),λ=ε-2,将问题转化为研究下列相关泛函:

临界点的存在性,即Iλ所对应的Euler-Lagrange方程

解的存在性.下文的引理2将给出方程(1)的解与方程(5)的解之间的关系.

由于区域RN的无界性导致了紧性的缺失,所以为了寻找泛函Iλ的临界点,将证明Iλ满足山路几何性质,即

Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,Iλ(γ(1))<0}≠Ø;

且

于是由Ekeland变分原理可知,在山路水平cλ处存在Iλ的一个Palais-Smale序列{vn}⊂H,即当n→∞时,

Iλ(vn)→cλ,I′λ(vn)→0.

由下文的引理3可知序列{vn}是有界的Palais-Smale序列.

如果位势函数V(x)及非线性项h(s)满足以下条件:

那么Iλ在空间H上是良定的,并且是C1的.

本文的主要结果是以下的定理1:

2 引 理

为了证明定理1,先给出几个引理.

引理1[3-4]由方程(4)所定义的函数f(t)具有下列性质:

1)f是唯一的,f∈C2且是可逆的;

2)对所有的t∈R,f′(t)≤1,f2(t)/2≤tf′(t)f(t)≤f2(t);

3)对所有的t∈R, |f(t)|≤min{|t|, 21/4|t|1/2};

4)当t→0时,f(t)/t→1;

5)对所有的t>0,f(t)/2≤tf′(t)≤f(t);

7)存在常数C>0,使得

如果u∈H∩L∞loc(RN),且对所有的φ∈C∞0(RN)有

那么称函数u:RN→R为方程(1)的弱解.

引理2方程(1)的解与方程(5)的解之间有以下关系:

1)若v∈H∩L∞loc(RN)是泛函Iλ的临界点,则f(v)为方程(1)的弱解;

2)若v是方程(5)的古典解,则f(v)为方程(1)的古典解.

证明 对于1),由引理1的2)和3)可知,|u|2=|f(v)|2≤|v|2且|▽u|2=|f′(v)|2|▽v|2≤|▽v|2,从而f(v)=u∈H∩L∞loc(RN).由于v是Iλ的一个临界点,于是对所有的ω∈H有

于是

从而对所有的φ∈C∞0(RN) 有f′(v)-1φ=(1+2|u|2)1/2φ,且

在式(7)中令ω=f′(v)-1φ,则由式(7)～式(10)易得式(6),即f(v)是方程(1)的弱解.

对于2),由于

故由式(8)可知

Δv=(1+2|u|2)1/2Δu+2u(1+2|u|2)-1/2|▽u|2,

所以

即

Δu+2|u|2Δu+2u|▽u|2=-(λh(u)-V(x)u).

注意到

2|u|2Δu+2u|▽u|2=Δ(u2)u,

因此有-ε2Δu-ε2Δ(u2)u=h(u)-ε2V(x)u,即2)成立.引理2证毕.

都有一个非平凡的临界点.

引理3[1]设X是一个Banach空间,其范数为‖5‖X,

Iλ(v)=A(v)-λB(v),∀λ∈Ω

是空间X上的一族C1类泛函,其中Ω是一个区间, 如果

1)对∀v∈X,B(v)≥0,且当‖v‖X→∞时,要么A(v)→∞,要么B(v)→∞.

2)存在v1,v2∈X,使得

其中,Γ={γ∈C([0,1],X):γ(0)=v1,γ(1)=v2}.那么对几乎所有的λ∈Ω,存在序列{vn}⊂X使得:1){vn}是有界的;2)Iλ(vn)→cλ;3)I′λ(vn)→0.

引理4对于泛函

如果令

那么对所有的v∈H,有B(v)≥0,且当‖v‖H→∞时,有A(v)→∞.

证明 由(H1)可知,B(v)≥0.下证A(v)→∞.假设A(v)是有界的,即存在C>0,使得

则有

由(V2)可知,

从而由式(11)和式(12)可得

引理5如果(H1),(H2),(H3),(V1),(V2)成立,那么

其中,Γ={γ∈C([0,1],H):γ(0)=0,γ(1)=v}.

所以只需证明对任意的v∈H{0},存在t∈R,使得当

(13)

另一方面,由于v≠0,从而 |tnv(x)|→∞,于是当n→∞时,由条件(H3)及引理1的6)可知

∞.

这与式(13)矛盾.即1)成立.

对于2),由引理1的2)可知

由文献[1]的注3.3可知,

即证明了2).引理5证毕.

证明 因为{vn}是有界的,所以{vn}必有收敛子列,不妨假设vn⇀vλ.下面证明vλ是Iλ的一个非平凡临界点.

即证明了〈I′λ(vλ),φ〉=0.

其次,证明vλ≠0.若不然,则假设vλ= 0.一方面由文献[1]的定理5.1可知

式(14)中:l≥1;vλ是Iλ的临界点且

ωkλ为I∞λ的非平凡临界点(k=1,2,…).而I∞λ对应的Euler-Lagrange方程为

-Δv=g(v),

其中,g(v)=-V(∞)f(v)f′(v)+λh(f(v))f′(v).不难验证非线性项g满足文献[1]中定理3.2的条件(K0)至(K3),于是对于I∞λ的任一非平凡临界点ωλ,有I∞λ(ωλ)>0, 从而由式(14),并注意到Iλ(vλ)=0,有

另一方面,假设ωλ为方程

-Δv+V(∞)f(v)f′(v)=λh(f(v))f′(v)

这与cλ≥mλ矛盾,即vλ≠0.引理6证毕.

3 定理1的证明

事实上,当v≥0时,有v-=0,从而有h(f(v))f′(v)(-v-)=0及f(v)(-v-)=0;当v<0时,有f(v)<0及-v-=v,于是有h(f(v))=0,即式(15)成立.

由式(15)有

即

由f的定义得到

因此v-=0恒成立,即v≥0.定理1证毕.

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Theexistenceofpositivesolutionforthequasilinearellipticequationwithperturbationparameter

KONG Lihua, SHEN Zifei

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

It was showed the existence of positive solution for the quasilinear elliptic equation with perturbation parameter as

withV(x) a positive continuous potential function. Under some assumptions onV(x) and the nonlinear termh(u), the existence of positive solution for the above equation was obtained.

elliptic equation; variational method; critical point; positive solution

2012-04-21

国家自然科学基金资助项目(10971194)

孔丽华(1986-),女,江西吉安人,硕士研究生.研究方向：非线性泛函分析.

O177.91

A

(责任编辑 陶立方)