简谈如何因“材”施“探”——基于探索勾股定理教学中的思考与认识

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(瑞安市滨江中学 浙江瑞安 325200)

简谈如何因“材”施“探”
——基于探索勾股定理教学中的思考与认识

●季丽珍

(瑞安市滨江中学 浙江瑞安 325200)

新课程改革的一个重要而具体的目标就是要改变普遍存在的学生被动接受、大量反复操练的学习方式，倡导学生主动参与的探究式学习.作为一线教师，面对不同的教学对象、教学内容和教学条件，该如何有效地开展探究性教学、提高课堂教学实效呢？因此，如何因“材”施“探”就成了我们一直都在探索的问题.

勾股定理不仅在几何中具有非常重要的地位，而且在现实生活中也具有普遍性和应用性.虽然探索勾股定理的方法很多，但寻找一种让学生能够在思维上比较“自然地”发现该定理的方法是非常困难的.如何设计勾股定理教学，一直是初中数学教学的一个难点.在探索勾股定理的教学中，笔者碰到一些让人回味的教学案例，在反思的同时，有一些教学感悟和思想油然而生.本文通过笔者对勾股定理教学设计的一些做法和思考，抛砖引玉，希望得到同行专家的批评指正.

1 教学案例

1.1 案例

案例1在引入课题之后，教师甲安排了如下的合作学习:

(1)作3个直角三角形，使其2条直角边长分别为3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分别测量这3个直角三角形斜边的长；

(3)根据所测量的结果填写表1：

表1 测量结果

观察表1中后2列的数据.在直角三角形中，3条边长之间有什么关系？再任意画一个直角三角形试一试.

教师甲将学生分成4人一小组后让他们合作学习，在大部分学生完成以上任务之后，组织学生交流探究成果.

生甲：我测量得到它们的斜边长分别是5 cm，10 cm，13 cm.

教师：其他同学得到的结果是否也是这样的呢？

此时，有位学生说自己量得的第3个直角三角形的斜边长是12.8 cm.教师说那是因为该生的图画得不准确，便让他坐下了.于是师生继续校对表1的后2列数据,然后得出a2+b2=c2，进而指出这种关系在几何上称为勾股定理，并要求学生用文字表述.

案例2在引入课题之后，教师乙安排了合作学习：

(1)作3个直角三角形，使其2条直角边长分别为3 cm和4 cm，6 cm和8 cm，5 cm和12 cm；

(2)分别测量这3个直角三角形斜边的长；

(3)根据所测量的结果填写表2：

表2 测量结果

在直角三角形中，3条边长之间有什么关系？再任意画一个直角三角形试一试.

教师乙也将学生分成小组后让他们合作学习，然后组织学生交流探究成果.

在校对表2后，教师提了一个问题：这三角形的3条边3，4，5；6，8，10；5，12，13之间有何特殊的关系呢？

一个学生马上回答：因为直角三角形2条直角边的平方和等于斜边的平方，所以32+42=52，即两边的平方和等于第三边的平方！

教师乙(有些惊讶)：你怎么知道“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”？

该生自豪地回答：因为我预习过了.

于是该教师顺势将话题转移到了前人的伟大，发现了这一著名的定理.

这时另一位学生的嘀咕声传入了笔者的耳朵：我只想到两边之和与第三边或两边之差与第三边的关系，怎么会想到平方的关系呢？

1.2 案例带来的困惑

(1)从案例1看，学生似乎经历了合作探究的过程，学生的活动也很多，有作图、测量、填表、计算、归纳、验证、交流，但这些活动都缺乏思考的力度.实际上，整个过程是在教师预设的轨道上进行，是一种典型的假“探究”，是一种浅层次上的“合作”.上述所谓的“合作探究教学”，究竟存在哪些问题？

①作图、测量、填表、计算，以及提醒学生“观察表1中后2列的数据”来回答“在直角三角形中，3条边长之间有什么关系”，这样设置的问题对于八年级的学生来说能不能独立完成？

②遇到学生作图与测量的误差，教师该如何作合理的引导？

③为什么要计算边长的平方？如果没有表1的后2列提示，学生能发现勾股定理吗？这个发现对学生而言全是无意识的，或者说是“碰巧的”，在未来的学习、工作、考试中，没有教师的引导，学生还能“碰巧”发现其他规律吗？学生更关心的是如何想到的.

④合作探究是追求课堂形式的活泼还是追求让学生体验基本的探索方法和思路？

(2)案例2中的探究学习没有达到预设的目标，这个探究问题的设置对于学生来说太难了，教师乙的指导又缺乏坡度和机智[1].如果说教师甲的探究问题设计是“牵着学生的鼻子走”，不能达成让学生体验勾股定理的探索过程这一教学目标，属于“引”过度，那么教师乙的教学设计就是从一个极端走向了另一个极端，属于“放”过度.探究性教学在引导学生猜测时应该怎样选择合适的“潜在距离”，使学生现有的认知水平与新学知识之间的冲突最为强烈也恰到好处，从而引发学生合作探究的欲望呢？

2 改进策略

2.1 策略1:合作学习,探索验证

(1)大胆尝试,猜想结论.

活动1在引入课题之后，教师安排合作学习(同案例2中的合作学习材料).

(2)操作验证,确认定理.

活动2①在图1和图2中，直角三角形3条边长的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流.

(注：本文出现网格中的每一个小正方形的边长均为1.)

②在图3和图4中的直角三角形是否也满足这样的关系呢？

图1 图2

图3 图4

在此基础上，进一步提问：在一般的直角三角形中，所猜想的结论还成立吗？然后移除图4中网格这个平台，引导论证.

策略1的设计说明提供以网格为背景的勾股图，并从面积这一学生熟悉的角度为学生搭建探究平台，让学生在无声的探索中受到“猜想—归纳—证明”这一数学思想的熏陶.通过求特殊图形的面积，让学生掌握分割方法和部分面积和等于总面积的等积思想.这里的关键是要把握住学生的起点，为学生的“同化”和“顺应”提供必要的条件或情境，把学生原有的知识和经验充分调动起来，使数学学习成为再发现、再创造的过程.

2．2 策略2:收集资料,自主学习

(1)课前(活动1)

奇异值分解方法在日负荷曲线降维聚类分析中的应用//陈烨,吴浩,史俊祎,商佳宜,孙维真//(3):105

向学生提供“勾股定理的探究”合作学习工作单.合作学习工作单围绕着勾股定理的背景、证明、应用这3个层次设计了如下的问题：①勾股定理有很多不同的命名，它们背后都有特别的原因，请选出2个你们认为特别的，并解释它们的由来；②收集、整理验证勾股定理的各种方法，并从中选出2种你们认为有趣或容易理解的验证方法；③尝试举出勾股定理在日常生活应用的一些例子.

将学生以4人为一小组进行分工合作：每人从不同的途径搜集、整理资料，经过讨论，由其中一位学生执笔填写工作单.通过这个活动，旨在使学生对勾股定理有一定程度的了解.但更重要的是希望学生能通过本活动，体验与他人合作的相处之道，提高收集信息和处理信息的能力.

(2)课内(活动2)

以合作学习工作单中所布置的任务为主线，交流分享合作学习的成果.在勾股定理的应用这一环节，教师可视具体情况予以引导、补充和调整.

(3)课外(活动3)

布置学生根据所收集的资料和上课后的体会，制作一份有关勾股定理的简报在班级内交流.

策略2的设计说明舍弃了教材中的合作学习材料，重新安排探究路线.这样在整个的学习过程中，学生们通过各种形式的合作学习不仅了解了知识的来龙去脉，而且认识了学习的真正含义，更为思维发展留下了空间.该策略得以顺利实施的关键在于学生自主学习的意识和能力以及实际学习条件允许学生开展课前的活动1.

2.3 策略3:开门见山，直接证明

2.3.1 引入勾股定理

(1)复习提问：已经学过直角三角形的哪些性质?

直角三角形的2个锐角互余.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

图5

(2)提出问题：如图5，甲船以15 km/h的速度从港口A向正南方向航行，乙船以20 km/h的速度，同时从港口A向正东方向航行.行驶2小时后，两船相距多远？

教师引导学生将实际问题转化成数学问题,即“已知一直角三角形的2条边，如何求第3条边”.学生发现根据已学的直角三角形性质无法解决，从而制造悬念，激发学生的积极性，顺势提出学习关于直角三角形3条边的关系——勾股定理.

2.3.2 认识勾股定理

(1)勾股定理的历史背景.介绍关于勾股定理的几个常见名称和相关纪念意义的事件.

(2)勾股定理的内容:直角三角形2条直角边的平方和等于斜边的平方,即如果a，b为直角三角形的2条直角边长，c为斜边长，则a2+b2=c2.

将介绍勾股定理的历史背景放在明确勾股定理的内容之前，旨在激发学生的好奇心，从而引发学生对勾股定理的关注.

2.3.3 验证勾股定理

师生一起验证勾股定理的正确性.

图6

已知Rt△ABC的2条直角边分别为a,b，斜边长为c，画一个边长为c的正方形，将4个这样的直角三角形纸片按图6放置在这个正方形内，就构成了我国历史上著名的弦图.

由于用面积法来证明勾股定理是学生从未经历过的，较难形成思路，因此教学中可以通过问题串的设置作适当的启发.小结数形结合的思想方法并启发学生用不同的方法证明.

2.3.4 应用勾股定理

在这一环节可以通过例题、习题的变式教学安排学生对勾股定理应用的探究.

策略3的设计说明基于学生的认知水平和具体条件的限制，如果教师所面对的学生基础较弱，不具备像策略1中的探究能力或由于条件限制完成像策略2中的合作学习工作单有一定的困难时，本策略索性直接介绍勾股定理的结论及其证明，让学生掌握“什么是勾股定理”、“为什么有勾股定理”、“怎么用勾股定理”.将教材中的合作学习材料舍弃不用，也没有安排对勾股定理的探究活动，不为“表演”而活动.如果说前2种策略的课题叫“探索勾股定理”的话，那么策略3的课题叫“验证勾股定理”就更为合适了.

3 课后思考

3.1 如何合理地因“材”施“探”？

这里的“材”可以从学生和探究的主题内容这2个方面加以理解.从学生方面讲，不同地区、不同学校、不同家庭背景的学生，知识基础和能力有一定的差异.从探究的主题内容来看，可探究性和可操作性也有差异.笔者认为让学生自己对勾股定理进行完全探究是不可能的，那么该如何合理地因“材”施展不同程度的“探”呢？

3.2 如何探究才是适时、适度的?

虽然一节课可能完成一个主题的探究，但不是每一个主题都能在一节课内探究出结果[3].在策略2中安排学生带着问题在课前尝试探究，将探究性教学转变成研究性学习，在课内交流自己的感悟、收获和疑惑，让学生体验成功的喜悦和解决问题后的欣喜.在实际教学中，教师该如何调控探究的时间和空间才是适时、适度的呢？

3.3 如何在“探究性教学”与“传统式教学”之间寻找到一个结合点？

重基础知识轻探究应用的观念陈旧落后，需要改变；而重探究应用轻基础知识，也是片面的观念.探究性教学必须以基础知识、基本技能的掌握为前提，而在基础知识和基本技能的掌握方面，传统的“接受式”教学有独到的作用.教师在实施探究性教学时，不能一概否定传统的“接受式”教学[3].在策略3中学生学习的探究味少了，接受味浓了，那么该如何在两者之间寻找一个结合点，来实现有效整合呢？

[1] 王南林.试谈数学探究性学习中教师的指导策略[J].中学数学教育：初中版,2006(3):18-20.

[2] 章飞.探究教学的一些思考——从勾股定理的探索谈开去[J].中学数学教与学,2007(1):20-28.

[3] 蒋雨华.对新课程背景下探究性教学的几点思考[J].中国教育学刊,2005(11):37-39.