关于下沉时间函数模型的探讨

焦 彪 吴长俊 曾 武

(1.陕西彬长胡家河矿业有限公司，陕西 咸阳 713600;2.中交四航局，广东 广州 510231)

0 引言

在采矿工程中，地下矿物的开采也会引起地表下沉［1］，由于影响地表下沉的因素很多，很难建立一种理论来准确描述地表的下沉规律。根据实际的观测资料进行各种模型的曲线拟合，从而建立较为准确的地表下沉时间函数模型是目前研究地表下沉的重要手段。同样，在基础工程中，对地基沉降进行监测是十分必要的［2，3］。根据监测的地表下沉数据，建立合理的w—t函数也是非常重要的，它可以较为准确的反映地基沉降的一般规律，进而可以预测地基的后期沉降和最终沉降，从而为分析建筑物的安全性能提供可靠依据。下面对各种地表下沉的时间函数模型进行简单介绍。

1 Knothe 时间函数模型［4，5］

Knothe时间函数模型的表达式为:

其中，wmax为地表下沉稳定时的最大下沉值，mm;c为地表下沉影响系数，它与工作面的开采速度和上覆岩层的力学性质有关。

对式(1)求导，就得到了地表下沉的速度表达式:

如图1所示为Knothe时间函数模型的下沉曲线和下沉速度曲线，从图1b)中可以看出，当t=0时，下沉速度v(0)=cwmax，随着时间的增加，下沉速度呈指数减小，这显然不符合地表下沉的一般规律。所以Knothe时间函数模型在应用中具有局限性。

图1 Knothe时间函数模型

针对Knothe时间函数的局限性，有学者对其进行了改进［6］，改进后的Knothe时间函数表达式为:

其中，wk为该地表点的最终下沉值;T为下沉总时间c为岩性时间系数。

对式(3)求导，即可得到地表下沉速度函数:

从式(1)～式(4)可以看出，虽然改进后的Knothe时间函数模型在曲线形态上有一定进步，但在初始时刻t=0时，v(0)=0.5cwke－cτ≠0，对于采矿工程中的地表下沉，这显然是不符合的。所以改进的Knothe时间函数模型也有其局限性。

2 改进的幂函数模型

文献［7］对幂函数模型进行了分析，并在此基础上提出了一种新的模型，其表达式如下:

其中，a，b均为待定参数，且 a，b＞0;t为时间。

对式(5)求导，就得到了下沉速度函数:

如图2所示为改进幂函数模型的下沉曲线和下沉速度曲线。

图2 改进的幂函数模型

从图1，图2可以看出，两种模型的曲线形态是相似的，故改进幂函数模型的优点和缺陷与Knothe时间函数模型一样，在此不再进行分析。

3 双曲线函数模型［8，9］

其中，s0为t0时刻的沉降量;α，β均为待定参数。

由于双曲线法能够在一定程度上反映次固结的影响，在实际工程中应用较广。但这种方法也具有一定的缺陷，公式中待定参数的确定需要很长的时间，对工程顺利进行具有一定的影响，另外此模型未考虑地基土变形的非线性和固结性质是随荷载的变化而有所变化的。基于上述缺陷，文献［10］提出一种基于双曲线模型的分级预测法，使双曲线模型得到推广，从而增加了改进模型的实际应用性。

分级预测法的表达式如下:

双曲线函数模型主要用于预测地基和路基的沉降，其表达式为:

其中，ak，ai分别为第i级加载和第k级加载参数a的关系;Δσi'，Δσk'分别为第i级和第k级加载引起的地基土的附加应力;σ0'为地基土的初始应力;β取即为各荷载级下初始沉降与压缩土层厚度的比值。

其中，smk为第k级荷载下t=tmk时刻的实测沉降;当m≥1时，sfk可取各自计算结果的算数平均值。

由式(8)～式(10)即可根据现场施工情况和最初的几组少量数据计算出下一级荷载的沉降量。

4 Gomepertz 时间函数模型［11，12］

Gomepertz曲线是由英国统计学家和数学家B.Gomepertz提出的，它是一种生长曲线，其基本数学表达式为:

其中，a，b，c均为待定参数。

对式(11)求导，可以得到地表下沉速度的表达式:

对式(12)求导，即可得到下沉加速度的表达式:

如图3所示为Gomepertz时间函数模型的下沉曲线、下沉速度曲线和下沉加速度曲线。

图3 Gomepertz时间函数模型

从图3中可以看出，Gomepertz时间函数模型的下沉曲线是“S”形［13］的，这符合地表下沉的一般规律。Gomepertz预测模型与线性或近似线性加载条件下路堤沉降的变形特征较符合［14］，此模型多用于路堤或地基的沉降预测中。在采矿工程中，一般认为当t=0时，地表的下沉w(0)=0，然而从图3中可以看出，当t=0时，w(0)，v(0)，a(0)≠0，故此模型在矿物开采引起的地表沉降中具有应用局限性。

5 Logistic 时间函数模型［14，15］

Logistic时间函数模型的表达式为:

其中，t为时间;a为时间影响系数;K为最终沉降量;c为待求参数。

对式(14)求导，得到地表下沉速度函数:

对式(15)求导，得到地表下沉的加速度函数:

如图4所示为Logistic时间函数模型的下沉曲线、下沉速度曲线和下沉加速度曲线。

由图4可以看出，Logistic时间函数模型与Gomepertz时间函数模型相似，都是“S”形曲线，不同的是Logistic时间函数模型具有对称性，这与一般的地表下沉规律是有一定出入的。另外还可以看出，Logistic时间函数模型也未解决在t=0时，w(0)也应等于0的问题。

图4 Logistic时间函数模型

6 Weibull时间函数模型［16，17］

Weibull时间函数模型的表达式如下:

其中，wmax为地表下沉稳定时的下沉值;n，k均为待定参数。

对式(17)求导可以得到下沉速度表达式:

对式(18)求导即可得到下沉加速度表达式:

从图5中可以看出，Weibull时间函数模型所表示的下沉量时间函数、速度时间函数、加速度时间函数能较好的反映地表下沉的特征。因此，Weibull时间函数模型可预测一般情况下的地表沉陷的动态过程。

图5 Weibull时间函数模型

7 结语

1)本文总结了目前常用的下沉时间函数模型，对各个模型的曲线形式和适用性进行了简要的分析。

2)本文在对各种模型进行总结的基础上，简要说明了各个模型的特征及其缺陷。

3)对几种模型的曲线极值点进行了计算，得出了几种模型的最大下沉速度和最大下沉加速度与时间的关系。

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