独立指数分布卷积的矩的计算

丁 勇

（南京医科大学数学教研室，南京 210029）

独立指数分布卷积的矩的计算

丁 勇

（南京医科大学数学教研室，南京 210029）

求和；指数分布；矩

1 引 言

矩是随机变量的重要数字特征.对于随机变量X，若E（Xr）存在，则称它为X的r阶原点矩；若E（［X－E（X）］r）存在，则称它为X的r阶中心矩.一阶原点矩即为数学期望，二阶中心矩即为方差，而偏度与峰度则与三阶、四阶矩有关［1］，利用各阶矩可对随机变量分布的参数进行估计.近年来，高阶矩在其它领域的应用日益广泛［2－6］.高阶矩计算量大，找到简便计算公式或易于计算机计算的算法，很有必要［7－9］.

指数分布是最常用的分布之一，在Poisson过程、增殖过程、更新过程和生存分析等方面有重要应用［10］.本文探讨独立指数分布卷积的矩的计算问题.为此先解决如下求和公式

其中λi为s个互不相同的实数，s，r为整数，且s≥2，简记为θs，r.

对0≤r＜s，θs，r的求和结果已得到［10－11］

下面讨论θs，r其它各种情况的计算公式.

2 r≥s的递推公式

故（4）式成立.

上述递推公式特别适用于计算机编程.

3 r＜0的转换公式

4 特殊情况的解析公式

证取r＝－1，由（5），（2）式可得（9）式.取r＝－2，由（5），（6）式可得（10）式.取r＝－3，由（5），（7）式可得（11）式.取r＝－4，由（5），（8）式可得（12）式.

5 λi有相等的极限公式

在（1）式的θs，r定义中，要求λi互不相同，但从（6）～（8）式看出，λi可以相同，甚至全都相同，这提示我们有如下的极限公式.

6 独立指数分布卷积的矩的计算

设X1，X2，…，Xs是s个相互独立的服从指数分布的随机变量，Xi的密度函数为

则它们的和X＝X1＋X2＋…＋Xs的密度函数为各Xi的密度函数的卷积［9－10］

更高阶的原点矩的计算量更大，公式复杂，寻找简便计算方法很有必要，命题2和命题1较好地解决了这一问题.

在（17），（18）式中假定了λi≠λj，由命题3可知，实际上可取消λi≠λj的限制，从而对于λi＝λj也可计算各阶矩.

证X的密度函数为Xi的密度函数的n次卷积，服从gamma分布［10］.由（18），（5），（15）可得E（Xr）的表达式.

［1］王学民.应用概率统计［M］.上海：上海财经大学出版社，2005.

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［11］丁勇.一类指数和函数的性质和应用［J］.数学的实践与认识，2005，35（11）：194－198.

Moment Calculation for Convolution of the Independent Exponential Distribution

DINGYong
（Department of Mathematics，Nanjing Medical University，Nanjing 210029，China）

exponential distribution；convolution；moment

O211

C

1672－1454（2012）04－0124－05

2010－03－25；［修改日期］2010－07－09