新型直驱四轴混联数控机床运动学分析*

陈 静

（博世汽车柴油系统股份有限公司技术研发中心，江苏无锡 214000）

作为新型数控加工装备，并联机床相对于传统数控机床具有刚度高、承载能力强、动态性能好等诸多优点，因而具有十分广阔的应用前景。然而，随着研究的不断深入，研究人员发现多自由度并联机床存在诸多缺陷，如工作空间小、奇异位形、运动耦合、加工精度低等，限制了并联机床的进一步实用化。因此，出现了基于少自由度并联机构的混联机床。混联机床属于并联机床概念范畴，在结构上扩大了工作空间，同时降低了机床设计和控制的难度。可以说，混联机床更具有灵活性和实用性，从而为并联机床的应用拓展了发展空间［1－2］。直线电动机驱动伺服系统是当前国际上公认的最具前途的高速、高精度数控机床快速进给系统，采用直线电动机和智能化数字式伺服控制的高速加工中心已成为当前主要机床制造商竞相研究和开发的关键技术和产品［3－4］。直线驱动技术的应用将原始的回转运动转变为直接的直线运动，因此机床的速度、加速度、负载刚性、精度以及动态性能彻底得到改观。

博世汽车柴油系统股份有限公司致力于先进的柴油发动机高压共轨系统和尾气后处理系统相关产品的研发。为满足产品开发过程中，专用、复杂零部件的高精密、高效率的数控加工需求，基于模块化设计技术，研制开发出完全由直线电动机驱动的新型四轴混联数控机床。以该机床并联主轴模块为研究对象，建立了其运动学方程，研究了主轴机构位置正逆解和工作空间分布，并对其运动性能进行了仿真分析，为机床主轴的运动性能优化和运动控制提供了理论依据。

1 新型机床结构描述

基于模块化设计技术，研制开发了一种完全由直线电动机驱动的新型四轴混联数控机床，物理样机如图1所示。该机床采用混联式单立柱结构，主要由2－DOF并联主轴头和XY工作台两大功能模块组成;除此之外，还包括配重机构、立柱和底座3大部分。并联主轴头为非对称式P3RP构型，由单边直线电动机双动子驱动结构实现“Z轴平动+A轴转动”两自由度运动;XY工作台为“十”字形串联结构，由双直线电动机驱动实现“X轴 +Y轴”的XY平面运动。

在2－DOF非对称式P3RP并联主轴机构中，P定义为Z轴方向与滚动直线导轨滑块及直线电动机动子联接的两个滑座（文中定义下滑座运动轴为U轴，上滑座运动轴为V轴），定长杆通过旋转副R分别与摆动平台和V轴滑座相连，摆动平台则通过旋转副R与U轴滑座相连，从而构成P3RP型非对称式并联机构。当单边直线电动机的双动子在竖直导轨上以不同速度运动时，上下滑座驱动摆动平台和定长杆，使得摆动平台作“Z轴平动+A轴转动”两自由度运动，设计工作空间为［z，θ］= ［0～320 mm，0 ～1.57 rad］，即主轴头可实现立卧转换功能。

2 运动学分析

2．1 运动学方程的建立

在图2中，以主轴轴线与XY工作台面交点位置为原点建立固定坐标系{S}:O－YZ，其Y轴为水平方向，Z轴为竖直导轨方向;以摆动平台的转动点t（与A点重合）看作机构运动的输出点建立动坐标系{M}:t－yz，y轴为水平方向，z轴为TA方向。图中，摆动平台在O－YZ平面内作Z轴平动和绕X轴转动两自由度运动，l1为铰链点A和B回转中心的距离;l2为铰链点B和C回转中心的距离;Q点为机构的运动奇异点，由分析可知在其运动空间之外，故在文中不作详细讨论。假定摆动平台在机床坐标系O－YZ中的位姿为（z，θ），θ为摆动平台的偏转角（逆时针方向为正）。由几何关系可得:

式中:δ为l1与lAT的固定夹角;a为A点到摆动平台下端面m的垂直距离;b为B点到平面m的垂直距离;h为B点到摆动平台右端面n的垂直距离;r为摆动平台轴线到平面n的径向距离。

由图2可得机床主轴机构的位置矢量关系，如图3所示。由图可知，动坐标系t－yz在固定坐标系OYZ中的位置向量为（z，θ）;OA矢量在O－YZ中的位置为（0，z1），OC矢量在O－YZ中的位置为（e，z2）;l1在O－YZ中的矢量为AB，l2在O－YZ中的矢量为BC;ψ为矢量AB与Z轴逆时针方向夹角，φ为过C点作Z轴平行线，按逆时针方向转至与BC矢量相重合时所扫过的夹角，0≤φ＜π/2;Z0（0，s0）为下滑座（或是t点）的初始位置点，Z1（0，s1）为下滑座（或是t点）行程的最大位置点，Z2（0，s2）为上滑座行程的最大位置点。

由图3可知，封闭矢量方程如下式所示:

在固定坐标系O－YZ中，列式（1）的投影方程，得运动学方程如下:

式中:ψ=θ+δ。

综合图3中的几何关系，则机构的运动约束方程为:

2．2 位置逆解

机构的位置逆解是给定末端动平台的位姿求输入件的运动参数，这里是给定摆动平台的位姿（z，θ），根据机构的运动约束方程求得两个滑座的位置（z1，z2）。

给定（z，θ）后，由运动学方程（4）～（6）和约束条件（7）～（9）可得位置逆解为:

2．3 位置正解

机构的位置正解是给定输入件的位置求末端动平台的位姿，这里是给定两个滑座的位置（z1，z2），根据机构的运动约束方程求得摆动平台的位姿（z，θ）。

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给定（z1，z2）后，由运动学方程（4）～（6）和约束条件（7）～（9）可得位置正解为:

若θ≤－π/2，则用 π+θ进行修正;若－π/2＜θ＜0，则舍弃。

3 运动空间与性能分析

3．1 运动空间

由设计目标经优化设计，可确定该机床并联主轴机构结构参数及机床U/V轴滑座极限位置，如表1、表2所示。

表1 并联主轴机构结构参数

表2 U/V轴滑座极限位置

由表1、表2中的参数值和式（10），即可求得机床并联主轴机构的位置逆解，由此可得机构的逆运动空间，如图4所示。

由图4可知，当偏转角θ=0时，滑座D的运动范围为［200，518.5］，滑座 E 的运动范围为［506.5，825］;当偏转角θ=1.57 rad时，滑座D的运动范围为［200，365］，滑座 E 的运动范围为［600，825］。由于受到杆长约束和行程限制，滑座D的运动空间端部近似呈锲型状圆弧，滑座E的运动空间近似呈梯形状圆弧面。

由表1、表2中的结构参数和式（11），即可求得机床并联主轴机构的位置正解，由此可得机构的正运动空间，如图5所示。

由图5可知，机构输出点t在设计的位置空间［200，520］和姿态空间［0，1.57］时，与对应的两滑座z1和z2的位置关系。机构的工作空间由位置工作空间和姿态工作空间组成。综合图5a和5b，由此可得到该P3RP机构输出点t的工作空间，即并联主轴头的工作空间分布。

3．2 运动性能

根据该机床并联主轴头的设计性能指标:zmax=320 mm，zmax=1g;θmax=1．57 rad，θmax=30 rad/s2。由式（12）和（13）可得工作空间内的运动性能图谱，如图6所示。

4 运动仿真研究

4．1 雅克比矩阵

雅克比矩阵［J］在并联机构运动学中是一个十分重要的参数，它表示机构输入与输出的微分关系。利用雅克比矩阵，可以方便地进行机构速度分析、加速度分析、静力学分析和灵巧度分析等［5］。

雅克比矩阵定义为

式中:q=［z，θ］T，p=［z1，z2］T;Jt是以t为输出点时并联主轴机构的雅克比矩阵。

对式（7）求导，由此可得并联主轴机构在t点处的雅克比矩阵为:

4．2 仿真算例

为了验证摆动平台的实际运动效果，这里给定了一组摆动平台的运动参数，对该并联主轴机构进行了运动仿真。仿真过程中，取表2中的结构参数，假定摆动平台的T形速度规划为

在初始时刻t=0时，摆动平台的位姿由（z，θ）=（200 mm，0），经过加速0.1 s、匀速0.8 s和减速0.1 s的运动过程，在停止时刻t=1 s时，摆动平台的位姿为（z，θ）=（335 mm，0.9 rad）。在整个运动过程中，利用上述推导的机构运动公式仿真得到摆动平台的位姿曲线、U轴滑座D和V轴滑座E的运动规律，如图7所示。

由图7可知，滑座D运动较为平稳，滑座E运动速度、加速度变化较大，最大速度达0.26 m/s，最大加速度达2.6 m/s2。同时，摆动平台与滑座之间的运动关系是严格非线性的，因此该并联主轴机构的高性能运动控制则较为复杂。

5 结语

本文基于模块化设计技术，研制开发了一种完全由直线电动机驱动的新型四轴混联数控机床。通过对机床并联主轴模块的运动学分析，得到了机床主轴的正逆运动空间分布，为其运动性能的优化提供了理论依据。基于运动仿真研究，得到了主轴摆动平台与滑座的运动规律，为该机床并联主轴模块的较优运动控制奠定了基础。

［1］张曙，Heisel U．并联运动机床［M］．北京:机械工业出版社，2003．

［2］汪劲松，李铁民，段广洪．并联构型装备的研究进展及若干关键技术［J］．中国工程科学，2002，4（6）:63－70．

［3］刘泉，张建民，王先逵．直线电动机在机床工业中的最新应用及技术分析［J］．机床与液压，2004（6）:1－3．

［4］刘强，陈静，吴文镜，等．高性能数控机床几项关键设计技术的研究应用进展［J］．航空制造技术，2009（5）:42－45．

［5］张秀峰，于凌涛，孙立宁．并联机构雅克比矩阵的新式解法［J］．机械设计与制造，2003，12（6）:60－61．