关于信号系统中的幅度和相位关系

李力利

(上海交通大学电子工程系，上海200240)

0 引言

在“数字信号处理”课程的教学中会涉及到系统的幅度响应和相位响应之间的关系问题。对于具有有理系统函数的离散时间线性时不变系统，也即由差分方程描述的系统，其幅度和相位之间有某种约束关系。在零点和极点个数已知的情况下，幅度已知则相位的选择有限，反之，相位已知则除了一个加权因子外也仅有有限种幅度可供选择。如果零点和极点个数不加限定，则选择有无穷多种［1]。

文献［1] 只给出了由幅度确定系统函数的方法，没有给出理论依据，很多教师和学生对此都心存疑问，认为结果并不全面。本文针对各种情况进行详细分析，讨论了由相位确定系统函数的方法。

1 根据幅度确定相位

我们给定系统的幅度平方特性为H(ejω)，并且已知系统函数H(z)是z的有理函数。我们在下面讨论根据|H(ejω)|2确定系统函数H(z)和其频率响应H(ejω)的方法［1，2]。

1)有理系统函数对应的幅度平方函数

因为H(z)是z的有理函数，所以可以表示成

其中，ck和dk是H(z)的零点和极点。我们已经知道频率响应是系统函数在单位圆上的取值，所以有

则幅度平方函数具有如下形式:

2)由幅度平方函数确定系统函数

C1(z)的零点是ck和，它们互为共轭反演，极点是dk和，也互为共轭反演。如果H(z)的系数都是实数，则零点四个一组和1/ck互为共轭和反演关系［1，3]，位于单位圆上或实轴上的零点则两个一组甚至单独存在。极点的特点也是如此。这些零点和极点分别来自于H(z)和H*(1/z*)。

下面我们讨论一下除了上述方法确定的系统函数，还有没有其他的可能。考虑到|H(ejω)|中的ejω也可能是H(z)中的转换得到的，所以也可以将式(3)的ejω)用1/z*替换以还原系统函数，即有

该表达式仅仅是式(4)的共轭，所以C2(z)的零点极点和C1(z)具有相同的特点。将C2(z)的因式分成两部分，其中一部分构成H(z)就得到系统函数的另外一些可能的表达式。比较式(4)和式(5)发现，两种方法得到的H(z)的表达式互为共轭关系。所以两种方法其实就是同一种方法，也就是说，将采用式(4)确定的H(z)取共轭，得到的系统函数也满足给定的幅度响应。

另外，我们还可以令式(3)中的某些ejω=z，另一些ejω=1/z*，得到z的其它有理函数表达式。比如:

或

C3和C4的零点和极点全是二阶的。如果H(z)的系数都是实数，则具有互为共轭的二阶零点对和互为共轭的二阶极点对。

式(3)中各因式对在用ejω=z和ejω=1/z*分别进行替换时还可以有不同的组合方式，得到的所有的表达式其实都包括在式(4)得到的结果中。所以，采用式(4)确定的系统函数就涵盖了所有的情况，最多再扩充同等数量的取共轭的系统函数。文献［1] 只给出了这种方法。

如果H(z)的零点和极点个数没有规定，根据以上方法确定的系统H(z)级联任意全通系统Hap(z)，得到的新系统［H(z)Hap(z)] 也具有规定的幅度响应，所以H(z)有无穷多种可能选择。

3)由幅度平方函数确定频率响应

按照前面的方法确定了H(z)，也就是可以确定H(ejω)。下面再讨论根据直接确定H(ejω)的问题，对这个问题的分析要简单得多。从式(3)看出是ejω的有理函数，并且分子必然是互为共轭的两个因式成对出现，分母亦然。在这些因式对中任取其一进行组合则得到H(ejω)的若干种不同的表达式。如前所述，如果H(z)的系数全是实数，则式(3)可能存在如下形式:

分组时前两项必须一起，后两项必须一起。

同理，这个级联任意全通系统后的频率响应［H(ejω)Hap(ejω)] 也可以是此所求，所以结果可能无穷多。

2 根据相位确定幅度

给定系统的相位响应arg［H(ejω)] ，并且已知系统函数H(z)是z的有理函数。我们下面讨论根据arg［H(ejω)] 确定H(ejω)或H(z)的方法。

我们采用简写符号a(ejω)=tan{arg［H(ejω)] }。因为

所以，H(z)是z的有理函数的情况下，a(ejω)是ejω的有理函数。由式(8)可以求得

如果H(ejω)具有式(2)的形式，则

可见C(ejω)也是ejω的有理函数，其分子和分母必然是互为共轭的两个因式成对出现。如果任取其中的一个因式则得到H(ejω)的表达式，比如说取或，结果也是不唯一的。如果H(z)的系数全是实数，则式(10)可能存在形如的因式组，则选取时分子中的两个因式必须同时取舍，分母中的两个因式也必须同时取舍。

我们也可以将式(10)的ejω替换成z，得到

与前面类似地，将C(z)的因式分成两组，得到H(z)的若干种表达式。

另外，根据上述方法求出H(ejω))或H(z)后，级联一个相位为零的系统，得到的新的系统也满足给定的相位。

综上所述，相位给定的情况下，幅度的选择也不是唯一的，在零点极点个数确定的情况下，幅度响应只有有限种可能。

3 结语

本文针对具有有理系统函数的系统，首先分析了由给定的幅度响应确定系统函数的方法，全面考虑了各种情况以验证教材上给出方法的正确性，然后讨论了由幅度响应直接确定频率响应的方法，接下来又讨论了由相位响应确定系统函数和频率响应的方法，从而全面验证了幅度和相位之间存在着某种约束关系。

［1] Alan V.Oppenheim.Discrete-Time Signal Processing(second edition).Prentice Hall，1999

［2] 倪养华，王重玮.数字信号处理-原理与实现.上海:上海交通大学出版社，1998

［3] 刘兴钊，李力利.数字信号处理.北京:电子工业出版社，2010