《空间解析几何》课程的教学探讨

郭春晓

（中国矿业大学(北京)理学院数学系，北京 100083）

《空间解析几何》是高等院校数学系开设的一门重要的基础课程,它对培养学生的数学素质，训练与提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力有重要作用.同时,它又与数学分析、高等代数等课程有着密切的联系.该课程的基本思想是用代数的方法来研究几何，坐标法和向量法是其基本的研究方法[1].但是在实际教学中，学生认为空间解析几何课程的内容相对抽象，对一些基本概念难以理解.如何使学生掌握课程的主要内容并培养他们严密的逻辑思维能力，是我们教学活动所要解决的问题.针对这些现象，笔者结合自己的教学实践谈一点教学体会.

1 提高绪论课和章节小结在教学中的比例

绪论是每门课程的第一堂课，是教师与学生的第一次正面接触，因此讲好绪论课，能促使学生对该门课程产生浓厚的学习兴趣，同时又能使教师赢得学生的充分信任与尊重，从而为这门课程的进一步教学奠定良好的基础.通过绪论课的学习，学生能从整体上把握这门课程，了解该课程的研究内容、研究对象、研究方法，进而了解整本书以及每个章节的重点、难点，使学生在学习过程中做到“有的放矢，胸有成竹”.在《空间解析几何》的教学中，绪论课的教学尤为重要，因为绝大多数学生在高中时期就或多或少接触了一些向量和坐标的基础知识，使得他们无论是从学习动力还是从投入精力方面都有所减少，正是这种状况使得学生对解析几何课程的学习出现了懈怠情绪.笔者在教学过程中经常听到学生们说学过这门课程的相关知识，他们基本上做完作业就很少再花时间在这门课程的学习上，而把更多的时间和精力留给了数学分析和高等代数.介于此种情况，如果绪论课不能激发学生的学习兴趣，那么以后的学习可能越来越困难，慢慢就失去了学习的动力；相反若绪论课能讲好，引起学生浓厚的兴趣，那么学生会主动地学习，积极配合教学，能产生良好的教学效果.

好的开始是成功的一半，但是在教学过程中忌讳“虎头蛇尾”.因此，“趁热打铁”及时对所学内容进行归纳总结，可以使学生把前后所学内容联系在一起，融会贯通，更深刻地掌握所学知识.比如，当讲授完向量与坐标这一章后，可以将向量积和行列式结合起来考虑，结束平面与空间直线这一章的教学后，可以将平面的参数式方程、点位式方程、三点式方程、截距式方程等进行比较，直线的参数式、射影式、一般式等进行比较，使学生能更好地掌握它们的联系、区分这些基本方程式的区别，并能熟练的实现几种方程的相互推导转化.同时，再将平面和直线的方程与行列式的知识结合起来讲解[2,3]，使学生能把分散的知识点系统化、有序化.

2 加强基本概念、重点概念的教学

数学概念是现实世界中客观事物在数量关系上的抽象,反映了客观对象普遍的本质属性,这就决定了数学概念的抽象性.解析几何是以向量、共线、共面、线性表示、线性相关等一系列抽象概念为主线的数学课程.对于抽象概念，若不注重引入方法而直接讲解，会使学生难以接受.即使勉强接受也不能在实际中熟练应用.在这些概念的教学中，教师在授课过程中应注意用精练的语言准确的讲清概念，强调揭示概念的实质，具体来说教师应注意以下几点：

2.1 将抽象概念和实际问题相结合

解析几何作为基础课程，在数学专业的相关课程中都有应用.但在解析几何教学过程中我们会发现，满堂灌的教学方法往往会使学生感到单调乏味，因此在解析几何教学中增加实用性教学就显得尤为重要.可以考虑在解析几何教学中引人生活或者数学中的实际案例，并引导学生用已经学过的知识去解决，这样就使抽象枯燥的知识点变得实用有趣.例如，向量法讲过之后，就可以用来解决三角形三条边上的高、中线、角平分线交于一点的问题.而上面这些问题实际上是大家从初中高中就知道的一些基本常识.另一方面，讲授概念时首先从概念的背景出发，由引例来导入概念，做到先具体后抽象，再到具体的问题中去.例如，在讲向量的点积、向量积、混合积的概念时，就可以从计算点到直线的距离、三角形的面积、六面体的体积等实际问题引入.

2.2 借助概念的直观性

数学的最大特点就是严谨，数学中每个概念都有严格的定义，在解析几何的实际教学中，为了让学生理解一些定义相对抽象的概念，如：向量、线性相关、线性无关等概念，教师可以先依托二维、三维向量，二维、三维向量空间等已知概念，逐步帮助学生实现由具体到抽象的思维过程.尽管抽象性是解析几何的特点，但在教学中我们也要注意直观性教学在本门课程中的应用.

再如，在讲授空间直线方程的时候提到一个概念—方向数[1]：直线的方向向量的坐标或者与它成比例的一组数，称为直线的方向数.对于标准式给出的直线方程，直接通过观察法就可以得到这组数.但是对于由一般方程表示的直线如何求方向数呢？设直线L的一般方程为：

教材中用行列式的形式给出了这组数：

教师可以通过直观的方法来解释这组数.直线L可以看作两个平面相交得到，故其一般式是由两个平面方程联立而得.那么第一个平面的法向量与直线垂直，第二个平面的法向量也与直线垂直.结合两向量的向量积的概念，直线的方向向量可看作由两个法向量做向量积得到，再结合向量积的行列式表示，自然就得到了由一般方程表示的直线的方向数.

2.3 注重概念的体系化

数学的概念很少是孤立的，理解概念之间的相互联系既能促进新概念的引入，也有助于加强学生对已有知识的理解.解析几何的知识点很多，看起来错综复杂，这就需要在讲课过程中注重知识点的衔接和转化.如向量共线、共面问题，既可以从向量的线性相关性方面理解，也可以从行列式是否为零的角度理解.让学生把一个个孤立的知识点串联成一套完整的理论体系.

3 注重习题课的教学，精选习题，归纳总结

目前，习题课的教学主要存在以下几个问题：1.学生完成作业的质量不高，究其原因，教师布置了作业之后，一部分学生盲目地完成“任务”，并未挖掘题目深层次的内容；一部分学生参考习题集草草完成作业；一部分学生索性“拿来主义”，抄袭他人作业.2.由于课时的限制，往往留给习题课的课时很少，教师并未能充分地利用好这一环节.因此，精心组织好习题课，是提高教学质量的一个重要环节.在习题课上，教师要充分调动学生的积极性，把学生由被动学习转变为主动思考，积极探索，归纳总结，吸收和消化所学知识内容.针对上面教学中的问题，习题课应该分两大块内容：一是充分发挥教师的作用.前面我们已经提到了章节小结的重要性.因此，习题课首先要总结这一章的主要内容，如向量法和坐标法是贯穿解析几何课程始终的重要方法，为了使学生掌握并灵活应用这两类方法，除了书上的例题，书后还有涉及此类问题的相关习题，结合这些题目教师可以总结出向量法和坐标法解题的一般思路.同时，在讲习题课的过程中，培养学生归纳问题、总结问题的能力.二是精讲典型习题.针对学生在做习题过程中出现的应付、抄袭等现象，首先，教师要解决的是习题的选取问题，要尽量按以下原则选题：1.题目形式要简明，学生容易看懂，容易引起学生兴趣，而且解法具有一定的技巧；2.所选习题要有代表性和启发性.其次，教师在讲解这些习题的时候要使得学生在正确理解和掌握基本概念的基础上培养一定的解题能力，并灵活运用这些解题技巧.最后，通过批改作业，发现学生存在的共性问题，详细讲解，使学生真正明白问题的原因，并在以后的学习中加以改进.

4 发挥多媒体优势,增强教学效果

多媒体教学是当前高校教学模式的重要手段.传统的黑板加粉笔的教学模式已经很难满足学生的学习需求.《空间解析几何》课程的特点是课时少，而内容多，尤其是琐碎的知识点比较多，再加上在教学过程中教师板书多，因此，在较短的时间内想把这门课讲清楚，有一定的困难.而丰富的多媒体资源以其优异的计算功能和图像功能可以弥补板书教学的不足，但同时，由于PPT页面切换较快，又容易使学生产生“过眼不过脑”的结果.因此，如果PPT与板书两者能完美的结合，我们的课程不仅会在教学内容、教学方式、教学手段上获得很大的进步，也会使学生由怕数学转变为爱数学.例如，第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面的教学，如果可以将多媒体教学和板书形式结合的恰如其分的话，教学效果会事半功倍.平行截面法是我们研究曲面的主要方法，但是有些曲面如马鞍面本身图就不太好画，如果进一步在黑板上画出曲面截面的话更是体现不出立体性，倘若我们借助于PPT教学，可以让学生直观的看到一些立体图形，这样不仅节省教学时间，对学生能深刻理解这些曲面也有很大的帮助.

5 “交流”有助于提高教学效果

作为年轻老师，需要从学生的角色迅速转换成“传道授业者”的角色.要想成为一名合格的大学老师除了有较高的学术水平外，还需要有充足的教学经验.因此，教学活动中就需要积极的交流.一方面，教师应主动跟学生交流.我们都知道,教师与学生相处是否融洽对学生的学习成绩有很大影响,而这主要取决于教师的表现.笔者讲授的《空间解析几何》课程，每周都有固定时间组织学生答疑，在答疑的时候，基本会先了解一下学生最近的学习情况,哪些知识点好学,哪些比较困难不好理解等等.根据这些信息,教师可以相应地调整教学内容和进度,重点讲解那些“拦路虎”,不必浪费太多时间在简单的知识点上面.如学生对向量的点积的计算比较熟悉，而对向量的向量积却是第一次接触，根据这些实际情况，教师可以把更多的精力放在向量积的教学上.像解析几何这类课程，教师应采取启发式、问题式教学模式,通过在引导、解惑和练习训练上下功夫,激发学生的学习兴趣,为学生创造充足的自主学习时间,调动学生自主学习的能动性.另一方面，教师之间经常交流可以促进教学水平的提高.在教学中，经常会有这样的问题：老师在上面滔滔不绝，学生在下面不知所云.这种状况要求教师要多与老教师交流、请教，并且多与学生交流，从中发现教学中的问题，并及时改正.笔者作为一名年轻教师，在与有经验的教师的交流中获益匪浅.

〔1〕吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2006.

〔2〕韩瑞珠.线性代数与空间解析几何教学中的一点体会[J].工科数学,2002,18（6）:52-58.

〔3〕杨纯富.《解析几何》课堂教学改革的实践与思考[J].重庆文理学院学报，2006，5（1）：82-83.