基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法在武咸城际铁路中的应用研究

叶珉吕 ，花向红，刘金标，杨发群

(1.武汉大学测绘学院，湖北武汉 430079; 2.武汉市勘测设计研究院，湖北武汉 430022;3.武汉大学灾害监测与防治研究中心，湖北武汉 430079)

1 引言

城际铁路是高速铁路的一种，是指在人口稠密的都市圈或者城市带规划和修建的高速铁路客运专线系统，其特点是短距离、公交化。我国城际铁路大量采用无砟轨道技术，其突出的特点是轨道的高平顺性和高精度。线路的平顺性差将使列车在高速行车条件下，在平稳性、舒适性及安全性等方面深受影响，甚至导致列车脱轨［1］。因此，无砟轨道为保证线路的高平顺性，对城际铁路桥梁、路基、涵洞、隧道、过渡段等线下工程沉降量有着严格的要求，必须进行预测评估，以此确定铺设无砟轨道的时间。目前，城际铁路线下工程沉降预测一般使用曲线拟合法。为了弥补曲线自身收敛性质导致的对观测数据拟合和预测与实测值的差异，评估中一般要求以3个月为周期反复进行曲线拟合以不断逼近真实的沉降变形状况，且规定间隔不少于3个月的两次曲线拟合预测的最终沉降的差值应小于8 mm［2］，但由此带来的是观测周期长、工作量大及经费高等问题。GM(1，1)模型精度较高，其预测值与实测结果较为接近，但由于其是一个增长的模型，具有无限增长的特性，且需要不断有“新鲜”数据补充进去以保证其预测精度，因此GM(1，1)模型作短、中期预测是合适的，作长期预测可靠性明显削弱［3］。为了解决上述两个问题，本文首先对传统预测方法进行对比分析，然后综合考虑曲线拟合法与GM(1，1)模型的优点，提出将基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法用于城际铁路线下工程沉降情况的预测评估。

2 预测方法

2.1 曲线拟合法

目前，基于实测数据的沉降预测方法主要有曲线拟合法、灰色理论及神经网络等，其原理都是直接分析沉降观测数据的变化趋势，进而推算出未来时刻的沉降发展情况。其中，工程中常用的曲线拟合法主要有双曲线法、指数曲线法、抛物线法等。

(1)双曲线法

双曲线法是假定下沉平均速度以双曲线形式减少的经验推导方法［4］，其公式为:

式中，t0、S0分别为拟合计算起始参考点的时间与对应的沉降值;t、St分别为拟合曲线上任意点的时间与对应的沉降值S∞为最终沉降量(t=∞);a、b为将实测数据经过回归求得的系数。

(2)指数曲线法

指数曲线法是假定下沉平均速度以指数曲线形式减少的经验推导方法［4］，其公式为:

公式中 t0、S0、t、St、S∞、a、b 的定义与双曲线法一致。

2.2 GM(1，1)模型

灰色系统理论［5］是一种综合运用数学方法对信息不完全的系统进行分析、预测的理论方法。灰色模型通常表示为GM(m，n)，其中m表示模型微分方程的阶数，n表示预测变量的个数。作预测分析用的灰色模型一般为GM(1，n)，其中最重要的同时也是工程实际中应用最广的是单一变量的GM(1，1)模型。

设原始数据序列为:

即可得到一次累加生成序列:

对此生成序列建立一阶微分方程:

记为GM(1，1)。式中，a和u是灰参数，其白化值(灰区间中的一个可能值)为 ^a=［a u］T。用最小二乘法求解，得:

对^x(1)(k+1)作累减生成可得还原数据:

式(10)、(11)即为灰色预测的两个基本模型。当k＜n时，称^x(0)(k)为模型模拟值;当k=n时，称^x(0)(k)为模型滤波值;当k＞n时，称^x(0)(k)为模型预测值。

2.3 基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法

基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法综合利用曲线拟合法与GM(1，1)模型的优点，其基本思想是根据GM(1，1)模型精度较高的优点，利用其拟合值与短期或中期的预测值对拟合曲线进行“修正”。具体步骤如下:

(1)分别使用曲线拟合法与GM(1，1)模型对实测数据进行拟合及预测分析;

(2)将GM(1，1)模型计算出来的拟合值和预测值分别代替拟合曲线相应的拟合值和预测值;

(3)将代替后的数值与原拟合曲线的其他数值一起形成一条新的拟合曲线。

新曲线即可作为最终的沉降预测模型。

3 工程实例分析

武咸城际铁路位于湖北省南部，自武汉枢纽武昌站引出，途经东湖新技术开发区、庙山经济开发区、江夏区纸坊镇、于贺站进入咸宁市境内。全线运营长度90.12 km，新建正线长度77 km，正线部分均为无砟轨道。限于篇幅，本文仅选取桥梁墩台的沉降数据进行分析与预测。以武咸城际铁路汤逊湖特大桥DK012+690.465墩为例。通过长期观测后，利用观测的高程计算得到的累计沉降量与时间的关系如表1所示。

汤逊湖特大桥DK012+690.465墩左累计沉降表 表1

由表1数据可以看出，观测初期沉降较快，直到架梁前已经趋于稳定状态。架梁后，由于荷载的增加，桥梁墩台在荷载的作用下开始另一阶段的沉降变形，因此可以仅选取架梁后这一阶段的实测数据进行沉降分析与预测。

分别使用双曲线法、指数曲线法与GM(1，1)模型对表1实测数据进行分析，结果如图1与表2所示，其中GM(1，1)模型的原始数据序列仅选取靠近被预测值的最新的几期数据，因为数据过多，时间跨度长，其中包含的噪声多，模型精度反而会降低［6］。GM(1，1)模型经后验差方法检验，C=0.088 2，P=1，模型精度为1级;双曲线拟合相关系数为0.978，标准差为±0.013;指数曲线拟合相关系数为0.975，标准差为±0.014。

图1 三种模型结果对比

三种模型结果对比/mm 表2

由图1与表2可知，双曲线法和指数曲线法整体上对实测数据的拟合结果都较为良好，但由于曲线自身收敛性质的限制，曲线对后期数据的拟合和预测与实测值都有较大差异，而且指数曲线法较双曲线法收敛更快，其对后期数据的拟合和预测结果更较双曲线法稍差。GM(1，1)模型较曲线拟合法所需数据量大大减少，且拟合精度高，其预测值与实测结果最为接近，更有利于工程安全。但为了解决引言提出的两个问题，本文提出使用基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法。

仍以武咸城际铁路汤逊湖特大桥DK012+690.465墩为例，利用GM(1，1)模型的拟合值和预测值对双曲线对应的拟合值进行“修正”，得到一条新的拟合曲线，其结果如图2所示。

图2 预测新方法结果比较

根据城际铁路线下工程评估细则，认为当曲线回归的相关系数不低于0.92时，所确定的沉降变形趋势是可靠的;当预测的6个月以后的沉降与实际沉降的偏差小于8 mm时，说明预测是稳定的;但要达到准确的预测还要求最终建立沉降预测的时间t应满足:S(t)/S∞≥0.75。“修正”后的双曲线对实测数据拟合的相关系数为0.952 3，预测的6个月以后的沉降值6.20 mm与实际沉降值 6.36 mm的偏差远远小于8 mm，而建立沉降预测时的沉降量6.16 mm与根据曲线预测的最终沉降量7.04 mm的比值为0.88＞0.75，皆满足城际铁路线下工程评估细则的要求，而且由于新曲线包含有预测精度较高的数据，使得曲线在不进行实测的情况下也能最好地逼近真实的沉降变形状况。因此，基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法用于城际铁路沉降变形观测的预测、评估是可行的。

4 结论

本文通过多模型的对比分析，综合考虑曲线拟合法与GM(1，1)模型的优点，提出将基于GM(1，1)模型数据的曲线拟合预测方法用于城际铁路线下工程沉降情况的预测评估。通过武咸城际铁路工程实例的验证，说明此方法用于沉降变形观测的预测、评估是可行的。

［1］铁道部.客运专线无砟轨道铁路工程测量暂行规范［S］.北京:中国铁道出版社，2006(189)号.

［2］湖北城际铁路有限责任公司.武汉城市圈城际铁路沉降变形观测实施细则［R］.2010.

［3］吴剑，刘昌辉，张迎春.软基路堤最终沉降量的灰色预测［J］.城市勘测，2003(3):6～9.

［4］铁道部工程管理中心.客运专线铁路变形观测评估技术手册［R］.北京:中国铁道出版社，2009.

［5］黄声享，尹晖，蒋征.变形监测数据处理［M］.武汉:武汉大学出版社，2003.

［6］邓聚龙.灰色系统基本方法［M］.武汉:华中理工大学出版社，2005.